专题07 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（4个考点七大类型）（题型专练）（解析版）

专题07弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（4个考点七大类型）【题型1弧长的计算】【题型2利用弧长公式求周长】【题型3计算扇形的面积】【题型4计算不规则图形的阴影部分面积】【题型5旋转过程中扫过的路径或面积】【题型6圆锥的计算】【题型7圆柱的计算】【题型1弧长的计算】1.（2023春•永嘉县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交边AC于点E，若AD＝6，则的长为（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OB，OE，∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠BOE＝2∠BAC＝120°，∵AD＝6，∴OD＝3，∴的长为＝2π．故选：B．2.（2023•东区二模）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，点C是弧BD的中点，∠DAC＝30°，BC＝6，则弧BC的长为（）A．π B．2π C．4π D．6π【答案】B【解答】解：连接OC，∵点C是弧BD的中点，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝6，∴的长＝＝2π．故选：B．3.（2023•秦都区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC＝AD，若∠ABC＝130°，⊙O的半径为9，则劣弧的长为（）A．4π B．8π C．9π D．18π【答案】B【解答】解：连接OD，OC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝130°，∴∠ADC＝50°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝50°，∴∠DAC＝80°，∴∠DOC＝2∠DAC＝160°，∴的长＝＝8π．故选：B．4．（2023•柘城县模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠DCB＝130°，OB＝3，则的长为（）A．π B．π C．π D．π【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣130°＝50°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝100°，∴弧BD的长为＝π，故选：C．5．（2023•枣庄二模）如图，用一个半径为9cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物约上升了18.8cm．（π≈3.14，结果保留0.1）【答案】18.8．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为9cm，圆心角为120°所对应的弧长，∴，故答案为：18.8．6．（2023•长春模拟）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为9cm，经过20分钟，分针针尖转过的弧长为6πcm．（结果保留π）．【答案】6π．【解答】解：∵分针经过60分钟，旋转360°，∴分针经过20分钟，旋转120°，∴分针针尖转过的弧长为：＝6π（cm），故答案为：6π．7．（2023•薛城区二模）2023年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“S”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为57米，圆心角都为120°，则这“S”型圆弧堤坝的长为76π米．（结果保留π）【答案】76π．【解答】解：“S”型圆弧堤坝的长为2×＝76π（米）．故答案为：76π．8．（2023春•金安区校级期中）如图，⊙O的半径为9，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若∠ADB＝50°，∠ACD＝80°，则劣弧的长为5π．【答案】5π．【解答】解：连接BO，DO，∵∠ACD＝80°，∴∠ABD＝80°，∵∠ADB＝50°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝50°，∴∠BOD＝100°，∵⊙O的半径为9，∴劣弧的长为，故答案为：5π．【题型2利用弧长公式求周长】9．（2023•滨湖区一模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为3，则勒洛三角形的周长为（）A． B．3π C． D．【答案】B【解答】解：如图．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝a，∴的长＝的长＝的长＝＝π，∴勒洛三角形的周长为π×3＝3π．故选：B．10.（2023•郁南县校级模拟）最近“羊了个羊”游戏非常火热，杨老师设置了一个数学版“羊了个羊”游戏．如图，一根6米长的绳子，一端拴在点A处，另一端拴着一只小羊（把小羊近似看作点D）．已知墙体AB的左边是空地，∠ABC＝60°，墙体AB长3米，小羊D可以绕到草地上活动，请问小羊D在草地上最大活动区域的周长是（）A． B．2π+6 C．π+6 D．3π【答案】B【解答】解：小羊D在草地上最大活动区域的周长是+6＝（2π+6）（米）．故选：B．11.（2022秋•防城港期末）如图，圆的半径是2，圆内阴影图案的周长是（）A．4π B．3π C．2π D．π【答案】A【解答】解：如图，∵OA＝OB＝AB＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴圆内阴影图案的周长＝6的弧长＝6×＝4π．故选：A．12．（2023•南关区校级二模）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为.（结果保留π）【答案】．【解答】解：连接BD，如图，∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点D处，点C的对应点为点E，∴AB＝AD＝BC＝BD＝2，∠ADE＝∠ABC＝90°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴弧AD的长＝，弧AE的长＝，∴阴影部分的周长＝＝，故答案为：．13．（2023春•泰兴市月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD∥AB，AB＝12，CD＝6，则图中阴影部分的周长为．【答案】．【解答】解：连接OC、OD，OC与AD相交于点E，∵AB是⊙O的直径，AB＝12，CD＝6，∴OA＝OB＝6，∴OC＝OD＝CD＝6，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠OCD＝60°，∵CD∥AB，∴∠COA＝∠OCD＝60°，∴△OCA也是等边三角形，∴四边形OACD是菱形，∴AC＝CD＝6，∠DAO＝30°，∴，，∴，∴，∴阴影部分的周长为．故答案为：．14．（2022秋•舟山期中）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆．若AO＝2，则阴影部分图形的周长为2+2π．【答案】2+2π．【解答】解：扇形OAB中，∠AOB＝90°，AO＝2，∴阴影部分的周长为：，故答案为：2+2π．15．（2022•寿阳县模拟）利用如图所示的基本图形若干个相同的图形可以组成的美丽图案，基本图形的相关数据：半径OA＝4cm，∠AOB＝120°．则基本图形（实线部分）的周长为πcm（结果保留π）．【答案】π．【解答】解：由图可得：的长+的长＝的长．∵半径OA＝4cm，∠AOB＝120°，∴图2的周长为：2×＝π（cm），故答案为：π．16．（2022•绿园区模拟）如图，分别以正方形ABCD的顶点D，C为圆心，以AB长为半径画AC，BD．若AB＝2，则阴影部分的周长为2π+4（结果保留π）．【答案】2π+4．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴的长＝的长＝•π×2＝π，∴阴影部分的周长＝的长+的长+AD+BC＝π+π+2+2＝2π+4．故答案为：2π+4．17．（2022•武威模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝1．分别以点A、B为圆心，AO、BO长为半径画弧，与相交，则图中阴影部分的周长为π+2．【答案】π+2．【解答】解：如图，连接AC，OC，则AC＝OA＝OC，∴∠OAC＝∠AOC＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠COB＝30°，∴图中阴影部分的周长为2（++OA）＝2×（+1）＝π+2，故答案为：π+2．【题型3计算扇形的面积】18.（2022秋•郊区期末）如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的面积等于（）A．2π B． C． D．【答案】A【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴由图可知，∠AOB＝90°，且OA＝2．由弧长公式可得：扇形OAB的面积等于＝2π．故选：A19．（2023•道外区二模）有一个半径为2cm的扇形，它的圆心角为120°，则该扇形的面积为cm2．【答案】．【解答】解：∵半径为2cm的扇形，圆心角为120°，∴该扇形的面积＝＝＝π（cm2）．故答案为：．20．（2023•鼓楼区一模）已知扇形的半径为4，弧长为π，则该扇形的面积为2π．【答案】2π．【解答】解：扇形面积＝lR＝×π×4＝2π．故答案为：2π．【题型4计算不规则图形的阴影部分面积】21.（2023•南宁三模）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝8，∵AD∥BO，∴∠OAD＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，∴S阴影＝S扇形AOB＝＝π．故选：B．22.（2023•阳泉一模）如图，扇形AOB的圆心角为直角，OA＝20，点C在AB上，以OB，CB为邻边构造▱OBCD．边CD交OA于点E．若OE＝12，则图中两块阴影部分的面积和为（）A．200π﹣240 B．200π﹣216 C．100π﹣216 D．100π﹣240【答案】C【解答】解：如图，连接OC，∵四边形OBCD是平行四边形，∴OB∥CD，∴∠OEC+∠EOB＝180°，∵∠AOB＝90°，∴∠OEC＝90°，∴EC＝＝＝16，∴S阴＝S扇形AOB﹣S梯形OECB＝﹣×（16+20）×12＝100π﹣216．故选：C．23.（2023•渝中区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，以AC为直径的半圆交AB于点D，则图中阴影部分的面积是7﹣．​【答案】7﹣．【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥AD，垂足为F，∵∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，∴∠A＝60°，BC＝4，∴OA＝2，∴OF＝，∴S阴影＝S△ACB﹣（S△AOD+S扇形DOC）＝×4×4﹣×2×﹣＝7﹣．24．（2023•萧山区二模）如图，在菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝4，∠ABC＝120°，则图中阴影部分的面积为8﹣．（结果保留π）【答案】8﹣．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝4，在Rt△AOB中，AB＝4，∠BAO＝30°，∴BO＝AB＝2，AO＝AB＝2，∴AC＝2OA＝4，BD＝2BO＝4，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝8，∴S阴影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE＝8﹣＝8﹣，故答案为：8﹣．25．（2023•剑阁县二模）如图，在⊙O中，AB为直径，C是圆上一点，连接AC，BC，以C为圆心，AC的长为半径作弧，恰好经过点B，将⊙O分别沿AC，BC向内翻折．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是2π．【答案】2π．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵以C为圆心，AC的长为半径作弧，恰好经过点B，∴AC＝BC，∴AC2+BC2＝AB2，即2AC2＝42，解得AC＝BC＝2，∵将⊙O分别沿AC，BC向内翻折，∴S1＝S2，S3＝S4，∴S阴影＝S2+S4+S5＝S1+S3+S5＝π×22﹣＝4π﹣2π＝2π．故答案为：2π．26．（2023•邗江区二模）如图，已知⊙O的半径为3，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以B的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是π﹣．【答案】π﹣．【解答】解：连接BC，如图，由作法可知AC＝BC＝AB＝3，∴△ACB为等边三角形∴∠BAC＝60°，∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，∴图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O＝4×﹣2×3××3﹣π×（）2＝π﹣．故答案为：π﹣．27．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，．以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为16﹣8﹣4π．【答案】16﹣8﹣4π．【解答】解：由题意得：AE＝AD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵AB＝4，∴BE＝＝4，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，∴∠DAE＝45°，∵矩形ABCD的面积＝AD•AB＝16，扇形AED的面积＝＝4π，△ABE的面积＝AB•BE＝8，∴阴影的面积＝矩形ABCD的面积﹣扇形AED的面积﹣△ABE的面积＝16﹣8﹣4π．故答案为：16﹣8﹣4π．28．（2023•重庆模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，过OB的中点C作CD⊥OB交弧AB于点D，以C为圆心，CD长为半径作弧交OB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：∵点C是OB的中点，∴OC＝OB＝2＝OD，∵CD⊥OB，∴∠ODC＝30°，∠COD＝60°，∴CD＝＝2，∴S阴影部分＝S扇形OBD﹣S△COD＝﹣×2×2＝﹣2，故答案为：﹣2．30．（2023•新泰市二模）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线AC于点E，则阴影部分的面积是8﹣π．【答案】8﹣π．【解答】解：阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣π×（）2＝×4×4﹣π×（）2＝8﹣π．故答案为：8﹣π．31．（2023•确山县三模）如图所示，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为．【答案】．【解答】解：连接AD、OD．根据题意可知点C是AO的中点，∴CA＝，在Rt△OCD中，，∠ODC＝30°，∴CD＝∵∠COD＝60°，∴∠AOB＝90°，∠BOD＝30°，∵AO＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴阴影部分的面积＝S△AOD+，故答案为：．32．（2023•铜梁区模拟）如图，在△ABC中，BC＝AC＝4，∠ACB＝120°，以A为圆心，AC为半径画弧，与AB交于点D，则图中阴影部分的面积为4﹣π．（结果保留π）【答案】4﹣π．【解答】解：作CH⊥AB于H，∵BC＝AC＝4，∠ACB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，AH＝BH，∴HC＝AC＝2，AH＝AC＝2，∴AB＝2AH＝4，∴△ABC的面积＝AB•CH＝×4×2＝4，∵扇形ACD的面积＝＝π，∴阴影的面积＝△ABC的面积﹣扇形ACD的面积＝4﹣π．故答案为：4﹣π．33．（2022秋•宝山区校级期末）如图，三角形ABC的边长都为6cm，分别以A、B、C三点为圆心，边长的一半为半径作弧，求阴影部分的周长．【答案】见试题解答内容【解答】解：l＝＝3.14cmC阴＝3l＝3×3.14＝9.42cm答：阴影部分的周长是9.42cm另解：C阴＝＝9.42cm答：阴影部分的周长是9.42cm【题型5旋转过程中扫过的路径或面积】34．（2022•唐河县模拟）如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（）A． B．2π C． D．【答案】C【解答】解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，∴AD＝BD＝AB＝4，在Rt△OBD中，OB2﹣OD2＝BD2＝16，∵△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，∴△ODB≌△OD′B′，∴∠DOD′＝∠BOB′＝60°，∴S扇形ODD′＝＝π，S扇形OBB′＝＝π，∴S阴影＝S扇形OBB′﹣S扇形ODD′＝﹣π＝π＝π＝π．故选：C．35.（2023•西城区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB'C'，并使点C'落在AB边上．（1）旋转角α的度数是60°．（2）线段AB所扫过部分的面积是．（结果保留π）【答案】（1）旋转角α的度数是60°；（2）．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，∴∠BAB'＝∠BAC＝60°，∴旋转角α的度数是60°；故答案为：60°；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，∴∠BAC＝60°，cos∠ABC＝＝，∴AB＝2，∵将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，∴∠BAB'＝∠BAC＝60°，∴线段AB所扫过部分的面积是＝．故答案为：．36．（2022•辉县市二模）如图，在▱ABCD中，AB＝4cm，，∠ABC＝135°，将▱ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点B'恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积（图中阴影部分）是2πcm2．【答案】2π．【解答】解：如图，连接AC，AC′，过C点作CE⊥AB交AB的延长线于E，过B′点作B′F⊥AB交AB于F，∵∠ABC＝135°，∴∠CBE＝45°，∵，∴CE＝BE＝2cm，∴B′F＝2cm，AC＝＝＝2（cm），∵▱A′BC′D′是由▱ABCD绕点B旋转得到的，AB＝4cm，∴∠BAB′＝∠CAC′＝30°，∴阴影部分的面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ABB′＝﹣＝2π（cm2）．故答案为：2π．37．（2022•靖西市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为π．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AB＝4，AC＝2，∴BC扫过的面积为：＝π，故答案为：π．38．（2022秋•上城区校级月考）如图，在△AOB中，OA＝2，OB＝5，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得△A'OB'．（1）求点B扫过的弧的长；（2）求线段AB扫过的面积．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由旋转得：∠BOB'＝90°，OB＝OB'，∴点B扫过的弧的长＝＝；（2）根据旋转的性质可得：△AOB的面积＝△A'OB'的面积，∴线段AB扫过的面积＝S扇形B'OB+S△AOB﹣S扇形A'OA﹣S△A'B'O＝S扇形B'OB﹣S扇形A'OA＝﹣＝．【题型6圆锥的计算】39．（2023•夏津县二模）如图，一块含30°角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（）A．48πcm2 B．72πcm2 C．80πcm2 D．96πcm2【答案】B【解答】解：由题意得：斜边为：12cm，∴R＝12，∴C＝2πr＝2π×6＝12π，∴＝．故选：B．40．（2023•零陵区模拟）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】B【解答】解：∵圆锥的底面半径是1，∴圆锥的底面周长是2π，∴圆锥侧面展开图中扇形的弧长为2π，故选：B．41．（2023•新吴区二模）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（）A．12π B．15π C．20π D．24π【答案】C【解答】解：∵32+42＝52，∴这个三角形为直角三角形，两直角边为3，4，斜边为5，∴以直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，母线是5，∴×2π×4×5＝20π．故选：C．42．（2023•盐城二模）已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面展开图的面积是（）A．6 B．12 C．6π D．12π【答案】D【解答】解：底面半径为3，则底面周长＝6π，侧面积＝×6π×4＝12π．故选：D．43.（2023•河东区二模）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为（）A．24π B．36π C．48π D．72π【答案】C【解答】解：设圆锥的母线长为R，∵圆锥的底面圆半径为4，∴圆锥的底面圆周长为8π，∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为8π，∴＝8π，解得：R＝12，∴圆锥的侧面展开图面积为：×8π×12＝48π，故选：C．44.（2023•玉溪三模）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），​则这个圆锥的底面半径为（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解答】解：扇形的弧长为：＝12πcm，圆锥的底面半径为：1