机械工程控制基础(第三章 系统的时间响应分析)Rev12

机械工程控制基础Email：chenlinlin@Tel讲：陈林林聊城大学机械与汽车工程学院目录一、时间响应及组成二、典型输入信号三、一阶系统

五、高阶系统四、二阶系统

六、系统误差分析与计算七、函数在时间响应中的作用九、设计实例：数控直线运动工作台位置控制系统八、利用MATLAB分析时间响应2.典型的输入信号及一阶、二阶系统的典型时间响应。

典型输入信号便于进行时间响应分析。任何高阶系统均可化为零阶、一阶、二阶系统等的组合；任何输入产生的时间响应均可由典型输入信号产生的典型时间响应而求得。1.概括地讨论系统的时间响应及其组成。

因为这是正确进行时间响应分析的基础。所谓系统的时间响应及其组成就是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。本章主要内容∶1.熟悉时间响应的组成及类型

2.熟练掌握一阶系统脉冲、阶跃响应函数的求解

3.熟练掌握二阶系统脉冲、阶跃响应函数的求解

4.熟悉控制系统时域性能指标的定义

5.了解高阶系统定性分析的方法

6.明确误差和偏差的概念，掌握求取系统稳态偏差的方法本章教学要求∶

为了分析系统的性能，首先要建立其数学模型，然后可用各种不同的方法对其进行分析研究。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法，根轨迹法和频率响应法。本章仅讨论控制系统的时域分析。时域分析法是一种直接分析法，是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是根据所描述系统的微分方程或传递函数得到系统的时间响应（求出系统的输出量随时间的变化规律），然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。一、时间响应及其组成1、时间响应

定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。时间响应：——提供了系统输出量随时间变化的全部信息；——是一种在时域中直观、准确的分析的方法；——是系统时域分析的关键，为评价系统提供了依据。在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点：直观、简便2、时域分析的目的

3、时间响应分析步骤(1)建立控制系统的数学模型；(2)求解描述系统的数学模型(微分方程等）；(3)获取系统对输入信号的响应曲线和函数；(4)确定控制系统的性质和特征。其中，求解数学模型是时域分析的关键。在此基础上,可对系统进行深入的研究:——找出系统响应的共同规律——研究参数变化对系统性能的影响——如何改进系统，提高其控制品质等4、时间响应分析的内容(1)系统的稳定性不稳定的系统是不能工作的，所以必须对控制系统的稳定性进行判断并且研究影响稳定性的因素。

指标:收敛、振荡次数N等。(2)系统的动态特性系统的动态特性是指系统从一个稳定状态变化到另一个稳定状态的过渡过程中输出与输入间的关系。系统的动态特性，可以通过系统的暂态响应来评价。

指标:超调量Mp、调节(过渡)时间ts等。(3)系统的稳态特性系统的稳态性能就是系统进入稳定状态后所表现出的特性，主要靠系统的稳态响应来评价。

指标:稳态误差ess等。a收敛b振荡次数N稳定性指标c延迟时间td动态性指标d上升时间tre峰值时间tpf调节时间tsg超调量Mp稳态性指标h稳态误差ess快稳准5、时间响应的性能指标（参阅第六章）控制系统特性的优劣，是通过性能指标来评价的。控制系统的时域性能指标通常是按系统的单位阶跃响应的某些特征量来定义的。由于多数控制系统的动态过程都具有振荡特性。因此，我们选择具有衰减振荡过程的阶跃响应为典型代表，来定义控制系统的性能指标，并用这些指标来描述控制系统的工作品质。它们的定义如下：收敛、振荡次数①稳定性指标：收敛是指系统从一个状态运动到另一个状态，在其动态响应过程中，振荡逐渐减弱并稳在某一状态。反之则称为发散。振荡次数N是指在ts内输出量h（t）进入稳态前，穿越稳态值h（∞）次数的一半，反映了控制系统的阻尼特性。延迟时间td、②动态性指标：上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts、超调量Mp延迟时间是单位阶跃响应第一次达到其稳态值h（∞）的50％所需的时间。tr是响应从稳态值的10％上升到90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到稳态值所需的时间。峰值时间是响应超过稳态值h（∞）到达第一个峰值所需的时间。调节时间是响应到达并停留在稳态值的允许误差范围内（

±5%或±2%）所需的最小时间。超调量是在动态过程中，输出量的最大值h（tp）超出稳态值h（∞）的百分比。定义为Mp③稳态性指标：稳态误差ess稳态误差：期望值与稳态值之差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳态误差：期望值与稳态值之差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。4、典型示例分析动力学方程为：动力学方程的解？…二阶线性非齐次方程根据微分方程的结构理论：通解特解动力学方程的解？…二阶线性非齐次方程★根据

求通解y1(t)当特征方程中有一对共轭复根时特征方程为为系统的无阻尼固有频率当时其中：当为特征方程根,则β=1；否则β

=0。★根据

求特解y2(t)代入原方程可求得,b=max(l,n)。特征根特征根代入原方程得A、B根据初始条件及上式决定：对t求导得：(初始条件)得其解可分解为：第一、二项：初始条件（初始状态）引起自由响应（振动），第三项：作用力引起的自由响应，其振动频率均为Wn，幅值受到F的影响。第四项：作用力引起的强迫响应，其振动频率为作用力频率W。初始条件引起的自由响应输入引起的强迫响应自由响应（强迫响应）输入引起的自由响应系统初始状态为零，仅由输入引起的响应（零状态响应）分析：对应特解对应通解(零输入响应)系统输入为零时，初始状态引起的响应按响应的来源分为：

零状态响应：初始状态（条件）为零时，系统输入引起的响应；在控制工程中，如无特殊说明，所讲的响应往往是零状态响应。

零输入响应：系统输入为零时，初始状态引起的响应。按振动频率与作用频率的关系分为：

自由响应：振动频率与作用频率无关；

强迫响应：振动频率与作用频率相同。

若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。控制系统的时间响应零状态响应零输入响应仅有激励（输入）而初始状态为零的响应仅有初始状态而激励为零时的响应式中:为方程的特征根一般情况下,设系统动力学方程为:方程的解的一般形式为:自由响应强迫响应零输入响应零状态响应5、一般情况结论:1.系统的阶次n和si取决于系统的固有特性（结构、参数），与系统的输入和初态无关；2.由y(t)=L-1[Y(s)]=L-1[G(s)X(s)]所求得的输出是系统的零状态响应,因为在定义系统的传递函数时，已经指明系统的初态为零；3.对于线性定常系统，若引起的输出为，则引起的输出为。6、瞬态响应和稳态响应研究表明，系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡。系统特征根对自由响应的影响系统特征根对自由响应的影响由上可知：若所有的特征根均具有负实部时,系统的自由响应项收敛于0;——(系统稳定)此时,自由响应称为瞬态响应.强迫响应称为稳态响应。若存在特征根的实部为正,则系统的自由响应项发散;——(系统不稳定)Re若存在特征根的实部为零,其余的实部为负,系统的自由响应项等幅振荡.——(系统临界稳定)Re

若所有的Resi<0，则随着时间的增加，自由响应逐渐衰减，当t->无穷时，自由响应趋于0（也就是系统的极点都在左半平面），系统稳定，自由响应称为瞬态响应，稳态响应一般就是指强迫响应；反之，若有一个Resi>0，则自由响应逐渐增大，当t->无穷时,自由响应趋于无穷，自由响应不称为瞬态响应。总结：

特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况，虚部绝对值越大，则自由响应项的振荡越剧烈。二、典型输入信号控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两大类，为了求解系统的时间响应必须了解系统输入信号（即外作用）的解析表达式（也就是确定性信号），然而，在一般情况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定，因此需要选择若干确定性信号作为典型输入信号。何谓确定性信号呢？就是其变量和自变量之间的关系能够用某一确定性函数描述的信号。1、定义:

在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。2、作用:

在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但由于在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以，只要知道系统对典型输入信号的响应，再利用关系式：就能求出系统对任何输入的响应。3、选为典型输入的必备条件易于在现场或实验室实现；能基本代表实际输入作用的性能；可考验系统，又不破坏系统正常运行；数学表达式简单，便于理论计算。4、常用的典型输入信号Asin

t

正弦信号1

(t)，t=0单位脉冲信号

单位加速度信号t，t

0单位速度(斜坡)信号u(t)，t

0单位阶跃信号复数域表达式时域表达式名称图

阶跃信号

(１)阶跃信号

如果系统的输入信号是突变的量，则应取阶跃信号为宜。A——为阶跃幅值A=1——称单位阶跃函数(２)斜坡信号

图

单位斜坡函数如果系统的输入信号是随时间线性增长的函数，则应选斜坡信号，以符合系统的实际工作情况。A——为斜率，A=1——称单位斜坡函数(３)等加速度信号（抛物线信号）图

等加速度信号（抛物线信号）(４)脉冲信号

图

脉冲信号1(b)(a)如果系统的输入信号是一个瞬时冲击的函数，则显然选脉冲函数最为合适。(５)正弦信号图正弦信号

能反映系统在工作过程中的大部分实际情况。如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。5、典型输入信号的选择原则

注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。三、一阶系统1、一阶系统（惯性环节）可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。其对应的物理系统有一个储能元件和一个耗能元件。系统的数学模型只有一个特征参数，即系统的时间常数T。2、一阶系统的单位脉冲响应极点（特征根）：-1/T对应的传递函数为：输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应函数或简称为单位脉冲响应，记为。由于单位脉冲函数的拉普拉斯变换等于1，所以一阶系统单位脉冲响应的拉普拉斯变换为：经拉普拉斯反变换，得：(只包含瞬态分量)（3.3.1）w(t)只有瞬态项，而B(t)为零。由式(3.3.1)可得表3.3.1其响应曲线为：

t

0

T

2T

4T

0

0表3.3.1从图中可以看出：当t→∞时，xo（t）→0，即在后面的“稳定性分析”中我们将看到满足这个条件的系统是稳定的。图3.3.1表明，一阶系统的单位脉冲响应函数是一个单调下降的指数曲线。如果将指数曲衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为4T。称此时间为过渡过程时间或调整时间，记为ts。显然，系统的时间常数T愈小,过渡过程的持续时间愈短,系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好。脉冲响应形式类似于零输入响应。实际脉冲信号:理想的脉冲信号不可能得到，实际应用中常以具有一定的脉冲宽度和有限的幅度的脉冲来代替理想的脉冲信号,脉冲宽度与系统的时间常数T比，一般为:

一阶系统单位脉冲响应的特点

瞬态响应：(1/T)e–

t/T；稳态响应：0；xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；系统的时间常数T愈小,过渡过程的持续时间愈短,系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好。

3、一阶系统的单位阶跃响应输入信号为单位阶跃函数时，即响应函数的Laplace变换式为：其时间响应函数[记为]为：稳态分量暂态分量（3.3.2）

t

0

0

T

0.632

2T

0.865

4T

0.982

1

0由式（3.3.2）可得表3.3.2和图3.3.2表3.3.2如图3.3.2所示，式（3.3.2）表示的一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升指数曲线，稳态值为。曲线有两个重要的特征点：A点：其对应的时间t=T时，系统的响应达到了稳态值的63.2%；零点：其对应的t=0时，的切线斜率（响应速度）等于1/T。指数曲线的斜率，即速率是随时间t的增大而单调减小的，当t为时，其响应速度为零；当时，响应已达到稳态值的98%以上，过渡过程时间时间常数T反映了固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。

一阶系统单位阶跃响应的特点

响应分为两部分

瞬态响应：表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）

稳态响应：1表示t

时，系统的输出状态

xo(0)=0，随时间的推移，xo(t)指数增大，且无振荡。xo(

)=1，无稳态误差；

xo(T)=1-e-1=0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；工程上常用这个特征来判断实验曲线是不是一阶系统的响应曲线。

在t=0时，曲线的斜率最大。反映了信号加入瞬间，系统对输入的反应速度。

时间常数T反映了系统响应的快慢。时间常数T是

决定系统动态特性的参数。T的大小表明了一阶系

统惯性的大小。T越大，系统惯性越大，ts也越大，

系统输出响应变化得慢；反之亦然。

将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系。该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。tln[1-xo(t)]0一阶系统响应的典型值

时间t响应xo(t)T0.6322T0.8653T0.954T0.9825T0.99

一阶系统瞬态响应的主要部分是在动态过程初始阶段内完成的。理论上，只有在t→∞时动态过程才能结束。实际上，当输出响应进入到一定的误差范围（2%或5%）后，就可以认为动态过程已经结束。通常，用调节时间ts来描述动态过程的长短。

ts就是一阶系统的动态性能指标。若取2%的误差范围，则： 若取5%的误差范围，则:通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%～98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T～4T。4、一阶系统的单位斜坡响应一阶系统单位斜坡响应的拉普拉斯变换为：经拉普拉斯反变换，得：其响应曲线为：t0xoTTxi(t)=txo(t)输入输出可以看出：即使在，达到稳定状态，输出与输入之间仍有差值。

可见，一阶系统能跟踪斜坡输入，但存在一恒定的跟踪误差，这一点在“稳态误差分析”中将作进一步分析。t0xoTTxi(t)=txo(t)输入输出

一阶系统单位速度响应的特点

瞬态响应：Te–

t/T；稳态响应：t

–

T；

经过足够长的时间(稳态时，如t

4T)，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：

t

–

T，即输出相对于输入滞后时间T；

系统响应误差为：5、线性定常系统时间响应的性质

系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同

组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系

统的动态特性。

比较一阶系统的阶跃、斜坡、脉冲输入与响应

函数，可知线性定常系统的一个重要特性：

线性定常系统对输入信号导数（积分）的响应，等于系统对该输入信号响应的导数（积分）。

——根据这一特性，可较方便地求出较复杂输入信号的响应。单位斜坡函数x(t)=t响应求导单位阶跃函数x(t)=1单位脉冲函数δ(t)=1求导响应响应求导求导可以证明，该结论可以推广到任何阶次的线性定常系统。即对于线性定常系统如果则

这是线性定常系统的一个重要特性。这使得我们在研究线性定常系统的时间响应时，不必对每种输入信号形式进行分析，而只取其中一种典型形式进行分析，通常我们研究单位阶跃响应。6、不同时间常数下的响应情况

任何输入下,T越大,系统惯性越大,系统输出响应变化越缓慢。△=2%,ts=4T,△=5%,ts=3T，调整时间反映系统响应的快速性，T越大，系统的惯性越大，调整时间ts越长，响应越慢。

一阶系统的性能指标：Ts,它是一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的(1-△)所需的时间(△为容许误差)。实验法求一阶系统的传递函数输入单位阶跃信号，并测出它的响应曲线，及稳态；从响应曲线上找出0.632（即特征点A）所对应的时间t,或t=0点的切线斜率;参考式（3.3.1）求出，或者，由单位阶跃响应，根据关系；求得；由求得。1234(时间常数T)时间常数T的倒数时间常数T与外界无关的固有特性四、二阶系统凡是可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其典型形式是振荡环节。二阶系统是控制系统中应用最广泛、最具代表性的系统。在控制工程中，二阶系统的应用极为普遍。不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。因此，二阶系统的分析方法也是分析高阶系统的基础。二阶系统及其数学模型二阶系统的时域响应动态性分析稳态性分析二阶系统的基本性质及结论二阶系统分析步骤：uiu0LRCUi(S)Uo(S)I

(S)-Uo(S)+Xi(s)Xo(s)1、二阶系统传递函数的标准形式

设所研究的二阶系统的微分方程为：对应的传递函数为：研究二阶系统时,一般采用如下传递函数：——阻尼比(或无阻尼系数)式中：——无阻尼固有频率(或自然频率)一般形式标准形式其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期；

n＝1/T。若令二阶系统传递函数的分母多项式为零，则有：二阶系统的特征方程该特征方程的两个根(系统的闭环极点)为：显然，二阶系统的时间响应取决于

和

n这两个特性参数。对于不同结构的二阶系统，

和

n的物理含意不同。

随着的取值不同,二阶系统的特征根也会不同：0[s平面]欠阻尼——有一对具有负实部的共轭复根，称“欠阻尼二阶系统”，即振荡环节。特点：系统时域响应含有衰减的复指数振荡项其中，称为有阻尼固有频率。0[s平面]欠阻尼——有一对共轭虚根，称“无阻尼二阶系统”。0[s平面]无阻尼系统时域响应含有复指数振荡项：——有一对相等的负实数根，称“临界阻尼二阶系统”。0[s平面]临界阻尼“临界阻尼系统”包含两类瞬态衰减分量：——有一对不相等的负实数根，称“过阻尼二阶系统”。系统包含两类瞬态衰减分量：[s平面]0过阻尼——称为“负阻尼二阶系统”，有一对不相等的正实数根，极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。——有一对具有正实部的共轭复根，称“负阻尼二阶系统”。0[s平面]负阻尼[s平面]0负阻尼过阻尼二阶系统：传递函数可分解为两个一阶惯性环节相加或相乘,因此可视为两个一阶环节的并联，也可视为两个一阶环节的串联。临界阻尼的二阶系统：传递函数可分解为两个相同的一阶惯性环节相乘,但考虑负载效应,是不能等价为两个相同的一阶惯性环节串、并联。特殊情况下，有可能等价为两个不同的一阶惯性环节串联。2、二阶系统的单位脉冲响应

数学解算过程Xi(t)Xi(S)Xo(S)=G(s)Xi(S)Xo(t)拉氏变换由G(s)定义拉氏反变换输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统的输出称为单位脉冲响应函数，特别记为。对于二阶系统，因为而所以(3.4.3)所以：记，称为二阶系统的有阻尼固有频率。

当0<

<1时（欠阻尼）：(3.4.4)脉冲响应曲线为:

当

=0时（无阻尼）：脉冲响应曲线为:(3.4.5)脉冲响应曲线为:

当

=1时（临界阻尼）：(3.4.6)

当

＞

1时（过阻尼）：脉冲响应曲线为:(3.4.7)由式（3.4.7）可知，过阻尼系统w(t)可视为两个并联的一阶系统的单位脉冲响应函数的叠加。当取不同值时，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应如图3.4.2所示。欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线：减幅的正弦振荡曲线。ξ愈小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于，其中称为时间衰减函数，记为σ。3、二阶系统的单位阶跃响应

数学解算过程Xi(t)Xi(S)Xo(S)=G(s)Xi(S)Xo(t)拉氏变换由G(s)定义拉氏反变换若系统的输入信号为单位阶跃函数，即：则二阶系统的阶跃路应函数的Laplace变换式为：其响应函数讨论如下：欠阻尼状态(3.4.8)欠阻尼状态由式（3.4.8）有部分分式法

稳态分量由输入信号决定；瞬态分量是一个以ωd为频率的衰减振荡过程，其衰减的快慢取决于ωn和ξ的大小，指数ξωn称为衰减系数，由系统的极点决定。（瞬态分量是一个减幅正弦振荡函数，它的振幅随时间t的增加而减小）稳态分量瞬态分量(3.4.9)(3.4.10)欠阻尼单位阶跃响应曲线jωs2s1衰减振荡

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点

xo(

)=1，无稳态误差；

瞬态分量为振幅等于的阻尼正弦振荡，其振幅衰减的快慢由

和

n决定。阻尼振荡频率；

振荡幅值随

减小而加大。

无阻尼（

=0）状态

jωs2s1

这是一条无阻尼的等幅振荡曲线，二阶系统处于临界稳定状态。过渡过程是不收敛的，即不存在。

特点频率为

n的等幅振荡。(3.4.11)等幅振荡

临界阻尼（

=1）状态(3.4.12)部分分式法

特点

单调上升，无振荡、无超调；

xo(

)=1，无稳态误差。(3.4.12)其响应的变化速度为：由此式可知：当t=0时，时，，，这说明过渡过程在开始时刻和最终时刻的变化速度为零，过渡过程是单调上升的。(3.4.12)

临界阻尼单位阶跃响应曲线可见：这是一条无振荡、无超调的单调上升曲线，二阶系统处于振荡与不振荡的临界状态。

jωs1=s2xo0t1不振荡

过阻尼（

>1）状态jωs2s1[s平面](3.4.13)

特点

单调上升，无振荡，过渡过程时间长

xo(

)=1，无稳态误差可见：这仍是一条无振荡、无超调的单调上升曲线，二阶系统的过渡过程时间较长。

txo01计算表明，当ξ>1.5时，在式（3.4.13）的两个衰减的指数项中，的衰减比的要快得多，因此，过渡过程的变化以项其主要作用。从S平面看，愈靠近虚轴的根，衰减越慢，对过渡过程影响愈大，起主导作用。不振荡动态过程更长

负阻尼（

<0）状态

jωs2s1发散振荡jωs2s1单调发散结论：二阶系统的阻尼比影响系统的振荡特性，

阻尼比越小,振荡越激烈。

几点结论

二阶系统的阻尼比

决定了其振荡特性：

<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；

1时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<

<1时，有振荡，

愈小，振荡愈严重，但响应愈快；

=0时，出现等幅振荡。特征参数

n与ξ值决定瞬态响应，决定过渡过程。

一定时，

n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。过渡过程的持续时间：

1时无振荡单调上升的曲线，其中当ξ=1时的时间t最短；在欠阻尼系统中，当ξ=0.4～0.8时，时间比ξ=1时的更短，而且振荡不太严重。

实际系统通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4～0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。系统可以既快又稳的跟踪输入信号。

在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，如指示和记录仪表系统等，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。

在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，通常选择二阶系统，这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间，并且也能同时满足对振荡性能的要求。4、二阶系统的性能指标考虑：①产生阶跃输入比较容易，而且从单位阶跃响应也较容易求得任何其它输入的响应；②在实际中，许多输入与阶跃输入相似，而且阶跃输入又往往是实际中最不利的输入情况。因此:

性能指标以系统对单位阶跃输入的时域响应量值给出。因为：无振荡的单调过程的过渡时间太长，故除了那些不允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，以获得较短的过渡过程时间。所以：在设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼（通常取）状态下工作。

有关二阶系统响应的性能指标的定义及计算公式除特别说明者外，都是针对欠阻尼二阶系统而言的；更确切地说，是针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程而言的。

欠阻尼二阶系统的单位阶响应的过渡过程的特性，通常采用下列性能指标（见图3.4.4）描述:（1）上升时间（2）峰值时间 （3）最大超调量（4）调整时间 （5）振荡次数N1.上升时间tr响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间（对于过阻尼系统，一般将响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间称为上升时间）。欠阻尼二阶系统（），阶跃响应为：根据定义，时，由式（3.4.9），得(3.4.9)考虑故有令得因为上升时间是第一次到达输出稳态值的时间，故取即由关系式，当一定时，增大，就减小；当一定时，增大，就增大；(3.4.14)2.峰值时间tp响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间，将式（3.4.9）对时间t求导数，并令其为零，便可求得峰值时间即由整理得因此(3.4.15)由定义取因此可见峰值时间是有阻尼振荡周期的一半，另外，由关系式及式（3.4.15）可知：当ξ一定时，增大，就减小;当一定时，ξ增大，就增大，此情况与的相同。因为最大超调量发生在峰值时间，时，故将式（3.4.9）与代入式（3.4.16），可求得：3.最大超调量Mp最大超调量定义，即(3.4.16)超调量只与阻尼比ξ有关，而与无阻尼固有频率无关。所以，的大小说明系统的阻尼特性。当系统阻尼比ξ确定后,即可求得与其相对的超调量；反之,如果给出了系统所要求的，也可由此确定相应的阻尼比。

当ξ

=0.4～0.8时,相应的超调量。式中，为指定微小量，一般取。式(3.4.18)表明,在之后，系统的输出不会超过下述允许范围：

4.调整时间ts在过渡过程中，取的值满足下面不等式时所需的时间，定义为调整时间。不等式为(3.4.18)由于所表示的曲线是式（3.4.20）所描述的减幅正弦曲线的包络线，因此，可将由式（3.4.20）所表达的条件改为：将式（3.4.10）代入式（3.4.19），得又因 因此(3.4.19)(3.4.20)两边同时去对数解得(3.4.21)10t若取得若取得当时，可分别将式（3.4.22）和式（3.4.23）近似取为：与ξ之间的精确关系，可由式（3.4.20）求得，为最小；当为最小，在设计二阶系统时,一般取作为最佳阻尼比。此时不仅小，而且起调量也不大，取的另一理由将在4.2节中说明。

（3.4.22）（3.4.23）具体设计：根据最大超调量的要求，确定阻尼ξ，所以调整时间主要是根据系统的来确定的。由此可见，二阶系统的特征参数决定系统的调整时间和最大超调量；反过来，根据对的要求，也能确定二阶系统的特征参数。在过渡过程时间内，穿越其稳态值的次数的一半定义为振荡次数，从式（3.4.10）可知，系统的振荡周期是所以其振荡次数为：因此，当时，由与，得当时，由与，得

（3.4.24）（3.4.25）4.振荡次数N（3.4.26）从式（3.4.25）和式（3.4.26）可以看出，振荡次数N随着ξ的增大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。由以上讨论，可得如下结论：（1）要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼比ξ和无阻尼固有频率。提高，可以提高二阶系统的响应速度，减少上升时间、峰值时间和调整时间；增大ξ，可以减弱系统的振荡性能，降低，减小N，但增加上升时间和峰值时间。一般情况下，系统在欠阻尼状态下工作，通常根据允许的超调量来选择阻尼比ξ。

（2）系统的响应速度与振荡性能（稳定性）之间是存在矛盾的。要兼顾系统的振荡性能和响应速度，就要选取合适的ξ和值。

二阶系统的动态性能由

n和

决定。

结论

通常根据允许的最大超调量来确定

。

一般选择在0.4～0.8之间，然后再调整

n以获得合适的瞬态响应时间。

一定，

n越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts

越小。

增加

可以降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N，但系统快速性降低，tr、tp增加；【例1】设系统的方框图为图3.4.5，其中，。当有一单位阶跃信号作用于系统时，求其性能指标和。解（1）求。故由式（3.4.15），得（2）求。由式（3.4.17）得（3）求。由式（3.4.22）与式（3.4.23）的近似式，得图3.4.5例1框图【例2】

图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，M的位移时间响应如图b)。试求系统的质量M、弹性系数K和粘性阻尼系数C的值。mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)解：根据牛顿第二定律：其中，系统的传递函数为：由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根据拉氏变换的终值定理：由图b)知xo(

)=0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m又由图b)知：解得：

=0.6又由：代入

，可得

n=1.96rad/s根据解得M=77.3Kg，C=181.8Nm/s

已知单位反馈系统的开环传递函数为：求K=200时，系统单位阶跃响应的动态性能指标。若K增大到1500或减小到13.5，试分析动态性能指标的变化情况。解：系统闭环传递函数为：【例3】1）K=200时

n=31.6rad/s，

=0.5452）K=1500时

n=86.2rad/s，

=0.2，同样可计算得：tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%ts=0.174s，N=2.34可见，增大K，

减小，

n提高，引起tp减小，Mp增大，而ts无变化

即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组成，其中

T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5时

n=8.22rad/s，

=2.1，系统工作于过阻尼状态，传递函数可以改写为：

对于过阻尼系统，tp，Mp，N已无意义，而调整时间ts可以通过其中时间常数大的一阶系统进行估算，即：

ts=3T1=1.443s(

=0.05)

显然，ts比前两种情形要大得多，虽然系统无超调，但过渡过程缓慢。五、高阶系统的时间响应1、高阶系统的单位阶跃响应考虑系统假设系统极点互不相同。其中，a,aj为Xo(s)在极点s=0和s=-pj处的留数；bk、ck是与Xo(s)在极点处的留数有关的常数。当Xi(s)=1/s时，其中，

=arctg(bk/ck)。2、高阶系统的单位阶跃响应的特点

高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。

如果所有闭环极点都在s平面的左半平面内，即所有闭环极点都具有负实部(pj

、

k

k大于零)，则随着时间t

，xo(

)=a。即系统是稳定的。

极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；3、系统零极点分布对时域响应的影响0

j

-

n-8

n-5

n-10

np1p2p3p4p5z10txo

(t)p1、p2p3p4、p5

通常如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消。

系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小，所以一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。这对零极点称为偶极子。

综上所述，对于高阶系统，如果能够找到主导极点（通常选为一对共轭复数极点，即二阶系统），就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为二阶系统进行处理。

主导极点（距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用。4、例题已知系统的闭环传递函数为：求系统近似单位阶跃响应。解：系统闭环传递函数的零极点形式为：-10-20-20.03-6071.4-71.40j

由系统零极点分布图可见，零点z1＝-20.03和极点p1＝-20构成一对偶极子，可以消去，共轭复数极点p3,4＝-10±j71.4与极点p2＝-60相距很远，p3,4为系统的主导极点，p2对响应的影响可以忽略，从而系统简化为：系统的近似单位阶跃响应为：

n=72.11rad/s，

=0.139txo(t)0原系统等效二阶系统单位阶跃响应txo

(t)0-10±j71.4-60-20瞬态输出分量六、误差分析和计算

“准确”是对控制系统提出的一个重要性能要求。实际系统：输出量不能绝对精确地达到所期望的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。1.存在随机干扰作用时，可能带来随机误差；2.元件的性能不完善、变质或者存在诸如干摩擦、间隙、死区等非线性时，也可能带来误差。本节讨论在没有随机干扰作用，元件也是理想的线性元件的情况下，系统仍然可能存在的误差。稳定的自动控制系统，在某一典型输入作用下，系统的运动大致可以分为两个阶段：过渡过程或瞬态；某种新的平衡状态或稳态。系统的输出量：瞬态分量(或自由响应)；稳态分量(或强迫响应)系统的误差：瞬态误差；稳态误差瞬态误差随过渡过程逐渐衰减，稳态误差最后成为误差的主要部分。这一误差与系统的输入、系统的结构和参数有关。注：对不稳定系统根本谈不上误差问题。1、控制系统的偏差与误差考虑图示反馈控制系统H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)

偏差信号

(s)

(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信号

(t)定义为系统输入xi(t)与系统主反馈信号b(t)之差，即：控制系统的偏差：以系统的输入端为基准来定义的。

误差信号E(s)

误差信号E(s)定义为系统期望输出xor(t)与系统实际输出xo(t)之差，即：E(s)=Xor(s)－Xo(s)

控制系统的期望输出Xor(s)为偏差信号

(s)＝0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望输出：Xo(s)＝Xor(s)由：

(s)=Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)控制系统的误差：以系统输出端为基准来定义的。

偏差信号

(s)与误差信号E(s)的关系对单位反馈系统：E(s)＝

(s)对于单位反馈系统，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s)（3.6.4）

误差与偏差有简单的比例关系1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有物理意义，便于工程应用。说明：2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，便于理论分析。3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。2、稳态误差与稳态偏差

稳态误差ess稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t

）下的差值，即误差信号e(t)的稳态分量：——系统进入稳定状态后的误差与偏差。

当sE(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：

稳态偏差

ss偏差稳态偏差:求稳态误差，只需求出稳态偏差即可。H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)3、与输入有关的稳态偏差

由图可知（3.6.10）

故H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)

显然，系统稳态偏差(误差)决定于输入Xi(s)和开环传递函数G(s)H(s)，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。⑴单位阶跃输入时:式中：Kp——位置无偏系数⑵单位斜坡输入时:式中：Kv——速度无偏系数⑶单位加速度输入时:式中：Ka——加速度无偏系数——系统的稳态偏差与输入信号密切有关。

系统的稳态偏差不仅与输入信号密切相关，而且，与系统结构特征及开环增益有关。定义：v=0：称为0型系统,v=1：称为Ⅰ型系统,v=2：称为Ⅱ型系统，……。

4、稳态偏差与系统的型次、开环增益有关设系统的开环传递函数为:描述系统结构特征式中：v为系统中串联积分环节的个数；K为开环增益。系统系统输入单位阶跃输入单位斜坡输入单位加速度输入0型系统∞∞Ⅰ型系统0∞Ⅱ型系统00可以求证：不同输入作用下不同系统的稳态偏差系统型次越高,稳态偏差越小；开环增益越大,稳态偏差越小；由上可知：1.稳态偏差与输入信号有关；2.稳态偏差与系统型次有关。型次越高,稳态偏差越小；3.稳态偏差与系统开环增益有关。开环增益越大，稳态偏差越小；4.当系统存在几个输入作用时，可按叠加原理进行计算，其稳态偏差是它们分别作用的稳态偏差之和；5.系统存在干扰作用时，总的偏差等于给定输入与干扰分别作用引起的偏差之和；6.单位反馈系统稳态误差与稳态偏差相同。结论:七扰动引起的稳态误差和系统总误差

扰动引起的稳态误差G1(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)

N(s)++扰动偏差传递函数为：即：所以，扰动引起的稳态偏差：由扰动引起的输出为：即系统误差：稳态误差：对于单位阶跃扰动，若G1(0)G2(0)H(0)>>1，则

即扰动作用点前的前向通道传递函数G1(0)越大，由一定的扰动引起的稳态误差越小。

系统总误差

当系统同时受到输入信号Xi(s)和扰动信号N(s)作用时，由叠加原理，系统总的稳态偏差：稳态误差：

例题系统结构图如下，其中K1、K2、K3、K4、T为常数，试求当输入xi(t)=1+t以及扰动作用下，使系统稳态误差为零的K4值和G0(s)。

K1

G0(s)Xi(s)Xo(s)+_

+_K4N(s)解：n(t)=0时K1

Xi(s)Xo(s)_

+K4系统闭环传递函数：注：已知输入作用下闭环传递函数时，稳态误差也可由其等效单位反馈系统的开环传递函数通过稳态误差系数求解。要使系统对输入xi(t)=1+t无稳态误差，Gi(s)需为II型系统，即1－K3

K4

=0⇒K4=1/K3

。只有扰动作用时(xi(t)=0)

+

G0(s)N(s)Xon(s)__

减小稳态误差的方法

提高系统开环增益；

增加系统开环传递函数中积分环节的个数；

通过顺馈控制或复合控制进行补偿；第三章例题讲解例3.1已知系统的单位阶跃响应为：求：1）系统的闭环传递函数；

2）系统阻尼比

和无阻尼固有频率

n。解：1）2）对比二阶系统的标准形式：有：例3.2已知系统方框图如下：

图中虚线方框称为“比例＋微分”控制。求系统的上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts及最大超调量M