机械控制工程基础-CH5系统的稳定性

第五章系统的稳定性

系统首要条件:系统稳定。分析系统稳定性是经典控制理论的重要组成部分，经典控制理论对于判定一个定常线性系统是否稳定提供了多种方法。本章着重介绍几种定常线性系统的稳定性判据及其使用，以及提高系统稳定性的方法。1.介绍线性系统稳定性的初步概念。2.介绍Routh与Hurwitz判断；3.阐述Nyquist稳定判据，即如何通过系统的开环频率特性的Nyquist图来判断相应的闭环系统的稳定性。4.介绍Bode判据，进而讨论系统相对稳定性的问题。

§5.1系统稳定性的初步概念5.1.1系统不稳定现象的发生

如图5.1.1所示的液压位置随动系统，从油源来的压力为Ps的压力油，经伺服阀和两条软管以流量进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入位移后，活塞输出位移

，此输出再经活塞与阀体的刚性联系，即经反馈联系B反馈到阀体上，从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样就组成一个闭环系统，它保证活塞跟随阀芯的运动而运动。负载流体位置随动系统这样，阀芯在原位不动的情况下，活塞与阀体相对阀芯反复振荡。由于所选择的系统各参数（如质量、阻尼和弹性等）不同，当系统是线性系统时，这种振荡可能是衰减的（减幅的），也可能是发散的（增幅的）或等幅的，如图5.1.2（a）、（b）、（c）所示。当这种自由振荡是增幅振荡时，就称系统是不稳定的。系统的不稳定现象值得注意几点：首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。如上例，系统在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关（非线性系统的稳定性是与输入有关的）。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。如原系统是稳定的，那么加入反馈后就形成为闭环系统，可能产生不稳定；如原系统是不稳定的，加入反馈后就形成为闭环系统，更可能不稳定。

第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的；或者：讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛的还是发散的。至于用激振或加外力方法施以强迫振动或运动，因而造成系统共振（或称谐振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控制理论所要讨论的稳定性。

若系统在初始状态下（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态，还是两者之和）的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不稳定的。

5.1.2稳定的定义和条件稳定的充要条件假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号δ(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t→∞时，若：则系统（渐近）稳定。设：理想脉冲函数作用下

R(s)=1。对于稳定系统,t

时,输出量

c(t)=0。由上式知：如果pi和

j均为负值,

当t

时,c(t)0。自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。注意：稳定性与零点无关S平面系统特征方程5.1.3关于稳定性的一些提法1、Ляпунов（李亚普诺夫）意义下的稳定性由上分析可知，对于定常性系统而言，系统由一定初态此起的响应随着时间的推移只有三种：衰减到零；发散到无穷大；趋于等幅谐波振荡。从而定义了系统是稳定的；不稳的；临界稳定的。但对于非线性系统而言，这种响应随着时间的推移不仅可能有上述三种情况，而且还可能趋于某一非零的常值或作非谐波的振荡，同时还可能由初态不同，这种响应随着时间推移的结果也不同。

俄国学者A.M.Ляпунов在统一考虑了线性与非线性系统稳定性问题后，于1882年对系统稳定性提出了严密的数学定义，这一定义可以表述如下——

如图5.1.4所示，若o为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点心起始偏差（即初态）不超过域，由扰动引起的输出（这种初态引起的零输入响应）及其终态不超过预先给定的某值，即不超出域，则系统称为稳定的，或称为Ляпунов意义下稳定。

这也就是说，若要求系统的输出不能超出任意给定的正数，能在初态为

式中则系统称为在Ляпунов意义下稳定；反之，若要求系统的输出不能超出任意给定的正数，但却不能找到不为零的正数来满足式(5.1.6)，则系统称为在Ляпунов意义下不稳定。

(5.1.6)2、渐近稳定性

渐近稳定性就是前面对线性系统定义的稳定性，它要求由初态引起的响应最终衰减到零，一般所讲的线性系统的稳定性，也就是渐近稳定性，当然，也是Ляпунов意义下的稳定性；但对非线系统而言，这两种稳定性是不同的。比较渐近稳定性与Ляпунов意义下的稳定性可知，前者比后者对系统的稳定性的要求高，系统若是渐近稳定的则一定是Ляпунов意义下稳定的，反之则不尽然。3、“小偏差”稳定性“小偏差”稳定性又称“小稳定”或“局部稳定性”。由于实际系统往往存在非线性，因此系统的动力学方程往往是建立在“小偏差”线性化的基础之上的。在偏差较大时，线性化带来的误差太大，因此，用线性化方程来研究的稳定性时，就只限于讨论初始偏差（初态）不超出某一微小范围时的稳定性，称之为“小偏差”稳定性。初始偏差大时，就不能用来讨论系统的稳定性。

确定系统稳定性的方法一般情况下，有两种类型：①直接计算或间接得知系统特征方程式的根。②确定保证方程的根只有负实部的系统参数的区域。应用第一种类型时有两种方法1)直接对系统特征方程求解；2)根轨迹法。应用第二种类型判断系统稳定性时，可应用劳斯一胡尔维茨判据，奈奎斯特判据等方法。§5.2Routh（劳斯）稳定判据§5.2.1Routh判据1.系统稳定的必要条件设系统特征方程为：将式（5.2.1）中各项同除以an并分解因式，得式中，为系统的特征根，再将式（5.2.2）右边展开，得:（5.2.2）（5.2.3）比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：（5.2.4）

负数正数正数正数负数正数从式（5.2.4）可知，要使全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件:

（1）特征方程的各项系数都不等于零，因为若有一系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式（5.2.4）中各式。（2）特征方程的各项系数的符号都相同，这样才能满足式（5.2.4）中各式。

按习惯，一般取为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即当然，由式（5.2.4）还可看出，仅仅有各项系数,还不一定能判定均具有负实部，也就是说，系统要稳定，必须满足式（5.2.5）；而满足(5.2.5），系统可能稳定，也可能不稳定。（5.2.5）

§5.2.2系统稳定的充要条件1.Routh表（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：

（2）列Routh计算表：

sna0a2a4a6…sn－1a1a3a5a7…sn－2b1b2b3b4sn－3c1c2c3c4…………………s2e1e2s1f1s0g1判据—系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。特征方程劳斯表劳斯表的列法前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶；第三行起元素的计算为：分母为上一行第一个元素；分子为一行列式，第一列为上两行的第一列，第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线减主对角线元素。一行可同乘以或同除以某正数设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8412劳斯表特点4

每两行个数相等1

右移一位降两阶2

行列式第一列不动3

次对角线减主对角线5分母总是上一行第一个元素7

第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。6

一行可同乘以或同除以某正数ε127

-8ε77-8控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。性质：第一列符号改变次数==系统特征方程含有正实部根的个数。若变号系统不稳定!2.劳斯判据根据Routh所表述条件，“Routh判据”即表示为：“系统稳定充要条件是，Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。”判定系统的稳定性D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0s413524s3s2s1s0005

劳斯表第一列元素符号改变2次，表明系统有2个正实部的根，该系统是不稳定的。§5.2.3计算劳斯表时可能出现的特殊情况（1）如果劳斯表第1列中出现0，则可以用一个小的正数ε代替它，然后继续计算其它元素。D(s)=s4+3s3+3s2+3s+2=0s413233s3s2s1s002220ε

在劳斯表中．ε上面一行的首列和ε下面—行的首列符号相同，劳斯表第一列元素没有符号改变。

说明该系统有一对纯虚根存在。

系统的特征根为±j，—1，—2。

系统稳定的定义，该系统是不稳定的。0设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8412

第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。ε77127

-8ε-8（2）劳斯表出现零行设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s451756116601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3如何求对称的根?②由零行的上一行构成辅助方程:①

有大小相等符号相反的特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数:

2s1211继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!!!由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根:

s1,2=±j劳斯表出现零行系统一定不稳定例设系统特征方程为试用Routh表判别系统的稳定性。解：根据特征方程的系数，列Routh计算表如下：由0行上一行各元求得辅助方程（2p=4,p=2）上式表明，有两对大小相等符号相反的根存在。这两对根通过解F（s）＝0可得到。取F（s）对的导数，得新方程：

行中各元，可用此方程中的系数，即8和96代替，继续进行运算，最后得到如下的Routh计算表：

（改变符号一次）

此表第一列各元符号改变次数为1，因此断定该系统包含一个具有正实部的特征根，系统是不稳定的。解辅助方程得即得出两组数值相同、符号相异的根。这两对根是原方程根的一部分。s5+s4+3s3+3s2+2s+2=0设系统特征方程为：s513213s4s3s2s122/34603/2第三行全部为零！由上一行构造辅助方程。Q(s)=s4+3s2+2=0求导得：4s3+6s=0由此方程得到s3行的各项系数2s02

劳斯表第一列元素符号没有改变,系统没有正实部的根，但该系统是不稳定的。原方程中关于原点对称的根可以通过解辅助方程Q(s)=s4+3s2+2=0求出。

利用劳斯判据判断系统的稳定性的结论为：系统稳定的充分必要条件是系统的特征方程没有缺项，全部系数大于0，且劳斯表第一列所有元素也大于0。分析系统参数对稳定性的影响已知系统的开环传递函数为确定稳定的开环放大倍数的取值范围，和临界放大系数KP。特征方程为：s3s2s114×40－40K14001440Ks040K稳定条件为K＞014×40－40K＞0解得使系统稳定的K值范围0＜K＜14补充：赫尔维茨稳定判据1.系统的n阶赫尔维茨行列式取各阶主子行列式作为1阶~（n-1）阶赫尔维兹行列式主对角线第一列第二列第三列赫尔维茨(Hurwitz)判据控制系统稳定的充分必要条件是：当a0>0时，各阶赫尔维茨行列式

1、2、…、n均大于零。一阶系统二阶系统

a0>0时,a1>0(全部系数数同号)

a0>0时,a1>0,a2>0(全部系数数同号)a0>0时a0>0时三阶系统a0>0时,a1>0,a2>0,a3>0(全部系数数同号)a0>0时

a1a2>a0a3

四阶系统a0>0时,a1>0,a2>0,a3>0,a4>0(全部系数数同号)a0>0时

一阶系统a1>0(全部系数数同号)a1>0,a2>0(全部系数数同号)a1>0,a2>0,a3>0(全部系数数同号)a1a2>a0a3a1>0,a2>0,a3>0,a4>0(全部系数数同号)归纳：a0>0时二阶系统三阶系统四阶系统例a1>0,a2>0,a3>0,a4>0K值的稳定范围各项系数均为正数a0>0时,单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。系统1的闭环特征方程为：系统3的闭环特征方程为：系统2的闭环特征方程为：K的稳定域为：K的稳定域为：结论：增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。由于特征方程缺项，不存在K的稳定域。§5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据

由H.Nyquist于1932年提出的稳定性判据，在1940年以后得到了广泛的应用.

判据所提出的判别闭环系统稳定的充要条件仍然是以特征方程的根全部具有负实部为基础的，但是它将函数与开环频率特性即联系起来，从而将系统特性由复域引入频域来分析，具体地说，它是通过的Nyquist图，利用图解法来判明闭环系统的稳定性的。它从代数判据脱颖而出，是一种几何判据。§5.3.0函数F（s）与开环、闭环的传递函数零点和极点的关系如图5.3.1所示的闭环系统，其传递函数为：开环函数为：特征方程为：令它可以写成一般的形式为：G(s)c(t)r(t)H(s)b(t)辅助函数的零点等于系统闭环传递函数的极点，即系统特征方程的根。因此，如果辅助函数的零点都具有负的实部，即都位于S平面的左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。函数零点与极点之间的对应关系可示意如下：系统稳定的充要条件是GB(s)的全部极点均具有负实部，即F(s)函数的全部零点均须具有负实部。§5.3.1幅角原理（Cauchy定理）

Nyquist判据是建立在复变函数中的幅角原理基础之上的。幅角原理（Cauchy定理）

设有一复变函数

s为复变量，以复平面上的

表示。复变函数以复平面上的表示。两个复平面自变量平面和函数平面

F(s)函数为s多项式的分式，它在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数，并设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s)，或为从原点指向此映射点的向量F(s)。若在[s]平面上任意选定一封闭曲线LS

，只要此曲线不经过F(s)的奇点，就可将[s]平面的封闭曲线Ls映射到[F(s)]平面上去，结果也是一封闭曲线，记为LF。令：Z为包围于LS内的F(s)函数的零点数；P为包围于LS内的F(s)函数的极点数，则:N=Z-P

。当解析点s按顺时针方向沿LS变化一周时，F(s)将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N周，或者曲线LF顺时针包围原点N次

s

F

除奇点和外，在S平面上任取一点，如S平面与平面的映射关系及幅角定理

例如，当系统的开环传递函数为：则其辅助函数是

则

如图所示，在平面上有点与S平面上的点对应,就叫做在平面上的映射点。S平面上的点在F（S）平面上的映射解析点S1沿封闭曲线

s按顺时针方向旋转一周后再回到s1

点时，

F

s其映射点的运动有以下三种情况：１．F(s１)顺时针绕F(s)平面原点运行说明在封闭曲线

s中，零点数量Ｚ－极点数量Ｐ〉＝１

F

s２．F(s１)逆时针绕F(s)平面原点运行说明在封闭曲线

s中，零点数量Ｚ－极点数量Ｐ＝－１解析点S1沿封闭曲线

s按顺时针方向旋转一周后再回到s1

点时，其映射点的运动有以下三种情况：

F

s３．F(s１)不绕F(s)平面原点运行，但也形成闭合曲线说明在封闭曲线

s中，零点数量Ｚ－极点数量Ｐ＝０解析点S1沿封闭曲线

s按顺时针方向旋转一周后再回到s1

点时，其映射点的运动有以下三种情况：幅角原理的简要说明：任一映射点F(s1)的相角可以表示为：

F当s1沿曲线L顺时针移动时，s1-z1的相位角先变小再变大，最终回到原位时，相位角的变化为0映射到F(s)平面的表现为：任一映射点F(s1)的相角可以表示为：

当s1沿曲线L顺时针移动一圈回到原位时时，s1-zi的相位角的变化为-2π映射到F(s)平面的表现为：

F

若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点。则在F(s)平面上映射的曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点Z周。

若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的P个极点。当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，则在F(s)平面上映射的曲线将按逆时针方向围绕着坐标原点P周。映射定量(幅角定理)：设s平面上不通过F(s)任何奇异点的某条封闭曲线Γ，它包围了F(s)在s平面上的Z个零点和P个极点，当s以顺时针方向沿封闭曲线Γ移动一用时，则在F平面上相对应于封闭曲线Γ的像Γ′将以顺时针的方向围绕原点旋转N圈。N与Z、P的关系为N=Z－P。任一映射点F(s1)的相角可以表示为：

§5.3.2乃奎斯特稳定判据设系统的开环传递函数为构造辅助函数

对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。

我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：

如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：

当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性相联系？第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：ⅠⅡⅢRejθR→∞乃奎斯特回线ReIm它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；Ⅲ部分是负虚轴F(s)平面上的映射是这样得到的：以代入F(s)并令从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由 ，得第二部分的映射；令从，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算，式中： 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 。当时，系统稳定；否则不稳定。第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。①由可求得，而是开环频率特性。一般在中，分母阶数比分子阶数高，所以当时，，即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分）ⅠⅡⅢ-1ω∞ImReG(s)平面s平面奈魁斯特路径的第Ⅰ部分的映射是曲线向右移1；第Ⅱ部分的映射对应，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的关于实轴的对称。+1ω∞ImReF(s)平面[奈魁斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：。若，则闭环系统稳定，否则不稳定。[奈魁斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数在右半s平面上的极点数为，则闭环系统稳定的充要条件为：在 平面上的开环频率特性曲线极其映射当从变化到时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点圈。对于开环系统稳定的情况，，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：。例1设系统的开环频率特性为，判断系统的稳定性ω=0时，P(ω)=5.2;ω=2.5时，P(ω)=0；Q(ω)=-5.06；ω=3时，P(ω)=2；Q(ω)=0；ω=∞，终止在原点。③判断：N=-2，N=P-Z，P=0，Z=2，F(s)有两个不稳定的零点，闭环系统有两个不稳定的极点。ω=2.5-j5.06（ω=∞）（ω=0）GH平面-2-1012345ImRe①开环传递函数GH在右半平面的极点数：

P=0解题步骤：②画GH的Nyquist

图-2-1012345GH平面ImRe（ω=0）ω=2.5-j5.06（ω=∞）该系统如何稳定？P=0，当N=0时稳定显然，当曲线在0-1之间穿越负实轴时N=0系统稳定ω=3=52*13=26目前,降低开环放大系数有助于系统的稳定例

判断系统的稳定性并讨论K值对稳定性的影响K<1时，不包含(-1,j0)点，N=0，而P=1，所以Z=P-N=1，系统不稳定。K>1时，逆时针包含(-1,j0)点一周，N=1，所以Z=P-N=0，系统稳定。ω=0ω=∞GH平面ImRe-10注意旋转方向本系统中，增大开环增益有助于系统的稳定+-§5.3.3开环含有积分环节时的Nyquist

判据按照幅角定理的规定，在s平面的奈氏曲线不能通过F(s)的奇异点。重新定义乃氏曲线如下：Ⅰ.正虚轴s=jω，ω从0+变化到+∞；Ⅱ.半径为无限大的右半圆，s=Rejθ，R→∞，θ由π/2变化到-π/2。Ⅲ.负虚轴s=jω，ω从-∞变化到0-；IV．半径为无穷小的右半圆，s=εejθ，ε→0，θ由-π/2变化到π/2。ⅠⅡⅢRejθR→∞修改的乃奎斯特回线ImⅣcbdeaε→0jεjR当s沿着小半圆移动时若开环特性中含有积分环节，当s→0时其特性近似为ω从0-→0+时，θ从-π/2→π/2。G(S)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从vπ/2→-vπ/2。Imcdeε→0Res平面K/ε→∞ReImω=0-ω=0+ω=0-a1b1c1d1e1ω=0+ω=0ReImGH平面K/ε→∞ω=0ω=0-ω=0+b2c2d2e2a2Ⅰ型系统对小半圆路径的映射曲线Ⅱ型系统对小半圆路径的映射曲线小半圆路径例3开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。原因是：原点有开环极点，系统有积分环节，其频率特性S＝1/jω

若开环传递函数为：其Nyquist图是封闭的曲线现在：¥w=0+w=0Nyquist曲线不闭合画辅助线，使Nyquist曲线闭合注意辅助线的起点和旋转方向wA(w)F(w)0-∞90°0∞0°0+∞-90°辅助线的形成原因：在w＝0附近完全由积分环节决定完整的Nyquist曲线：计算包围圈数：G(jw)H(jw)jQ(w)P(w)0-1¥=ωw¥w=0+w=0wwww=0--¥=ω顺时针包围了两次，N＝－2N＝－2，P=0，所以，系统不稳定超过-90°的部分是怎么来的？原点有两个开环极点wA(w)F(w)0-∞-90°*20∞0°0+∞-90°*2

w＝0+，应考虑G1(jw)产生的幅角5.3.4关于Nyquist

判据的几点说明

1）Nyquist判据并不是在[s]平面而是[GH]平面判别系统的稳定性。通过幅角原理将[s]平面的Nyquist轨迹（虚轴）映射为[GH]平面上的Nyquist轨迹，然后根据轨迹包围点（-1,j0）的情况来判别闭环系统的稳定性，而正是系统的。2）Nyquist判据的证明虽较复杂，但应用简单.由于一般系统的开环系统多为最小相位系统，P=0，故只要看开环Nyquist轨迹是否包围点（-1,j0），若不包围，系统就稳定。当开环系统为非最小相位系统，先求出其P，再看开环Nyquist轨迹包围点（-1,j0）的圈数，并注意ω由小到大时轨迹的方向，若是逆时针包围点（-1,j0）P圈，则系统稳定。

3）在P=0，即在[s]平面的右半平面无极点时，按习惯有时称为开环稳定；在，即开环传递函数在[s]平面的右半平面有极点时，按习惯有时称为开环不稳定，有的书上介绍的就是首先判明开环是否稳定，亦即先确定P的数值，然后再用Nyquist判据来判别闭环系统的稳定性。开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。4）开环Nyquist轨迹对实轴是对称的，因为当+ω

变为-ω时，G(-jω)H(-jω)与G(jω)H(jω)的模相同，而相位异号，即：所以，ω由-∞到0与ω由0到+∞的开环Nyquist轨迹对实轴对称。因而一般只需绘出ω由0到+∞的曲线即可判别稳定性。Nyquist轨迹在ω由0到+∞时，包围点（-1,j0）一圈，故可知ω由-∞到+∞时共包围点（-1,j0）两圈。[例5]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数N=0，则闭环系统在s右半平面的个数： 。故闭环系统是稳定的。5.3.5Nyquist判据应用举例不论K为何值，系统总稳定开环最小相位系统只有在3阶或3阶以上时，闭环才可能不稳定[例6]开环传递函数为：P=0K变小有助于系统稳定T4、T5变小有助于系统稳定[例7]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。P=0无论K多大，系统都稳定[例8]开环传递函数为：P=0导前环节作用小，即T4小时，Nyquist曲线为①，系统不稳定导前环节作用大，即T4大时，Nyquist曲线为②，系统不稳定

例5—8 已知反馈控制系统的开环传递函数为

试用奈氏判据分析当时系统的稳定性。解

系统的开环频率特性是

其幅频特性和相频特性分别是当时，,当ω由0变至+∞时，由∞变至0，由-180o在第III象限内变化为-180o，其对应的奈氏曲线如图5-50（a）所示，图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点在GH平面上的映射。由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没有包围点（N=0），系统无S平面右半部的开环极点（P=0），由奈氏判据知，当时，该系统是稳定的。

（b）当时，，系统的相频特性与角频率无关，幅频特性，当由变至0。如图5-50（b）所示，除无穷大圆弧外，奈氏曲线是穿过点且与负实轴重合的，系统是临界稳定状态。当时，系统的根轨迹如图5-51（b）所示。由于两条根轨迹位于S平面的虚轴上，系统是等幅振荡的临界稳定状态。（c）当时，，当由0变至时，由变至0，在第II象限内变化后再次变为-1800，其对应的奈氏曲线如图5-50（c）所示。由于奈氏曲线左端是封口的，它顺时针包围了点两周（N=2），由奈氏判据知，当时，该系统是不稳定的。当时，系统的根轨迹如图5—51（c）所示。由于有两条根轨迹全部位于S平面右半部，无论K为何值，该系统都是不稳定的。例5-8系统的奈氏曲线图5-51例5-8系统的根轨迹图[例5-9]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：显然这是1型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。从图上看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，闭环系统是稳定的。若频率特只画出ω从0+→∞部分，则有若闭环系统稳定，则Z=0，从而有正负穿越随着ω的增大，若频率特性曲线GH(jω)以逆时针方向包围(-1，j0)点一圈，则GH(jω)曲线的正半段必然从上至下穿过G(s)平面负实轴的(-∞，-1)区段一次。这种穿越伴随着相角的增加而穿越的，故称为正穿越。反之叫负穿越。5.3.6应用Nyquist

判据分析延时系统的稳定性

延时环节是线性环节，但用劳斯判据难以进行判断，现分析延时环节串联或并联在闭环系统的前向通道中的情况。1.延时环节串联在闭环系统的前向通道中时系统的稳定性例如，若串联延时环节，则开环传递函数和开环频率特性分别为：，

延时环节不改变原系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生变化

由图5.3.17可见，当，即无延时环节时，Nyquist轨迹的相位不超过－180度，只到第三象限，此二阶系统肯定是稳定的。随着值增加，相位也增加，Nyquist轨迹向左上方偏转，进入第二和第一象限，当增加到使Nyquist轨迹包围点（－1,j0）时，闭环系统就不稳定。所以，由开环Nyquist图上可以明显看出，串联延时环节对稳定性是不利的，虽然一阶系统或二阶系统，其开环放大系数K就不允许取很高的数值，同时，为了提高这些系统的稳定性，还应尽可能地减小延时时间。§5.4Bode稳定判据

Nyquist判据:利用开环频率特性的极坐标图（Nyquist图）来判别闭环系统稳定性。利用开环对数坐标图，即Bode图，来判别系统的稳定性。这种方法有时称为对数频率特性判据，简称对数判据或Bode判据。它实质上是Nyquist判据的引申。§5.4.1Nyquist图与Bode图的对应关系

开环Bode图与开环极坐标图对应关系：（1）极坐标图上的单位圆相当于Bode图上的0分贝线，即对数幅频特性图的横轴。（2）极坐标图上的负实轴相当于Bode图上的－180°线，即对数相频特性图的横轴。相位∠GH均为－180°。奈氏曲线和Bode图的对应关系L(

)=0

K=1Bode图实轴增益为零，对应乃氏曲线是单位圆增益为零时的频率称穿越（剪切）频率相角=-180°时的频率称相角穿越频率对应点wwL(w)f(w)wcwg-180o？5.4.2穿越的概念

（1）正、负穿越的概念

G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画部分。所谓“穿越”是指轨迹穿过段。正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用表示。负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用表示。

正穿越负穿越

若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和-1/2次穿越。+1/2次-1/2次如果G(jω)H(jω)按逆时针方向铙(-1,j0)

一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1,j0)

一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈数。故奈氏判据又可表述为：闭环系统稳定的充要条件是：当ω由0变化到+∞时，G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为P/2圈。

P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时

Z=P-2N

注意：这里对应的ω变化范围是若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即P=0，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0：Why？

例:某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。

解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），G(jω)H(jω)轨迹在点(-1,j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负穿越，因此为：N=1,

求得：Z=P-2N=2-2=0所以系统是稳定系统。.

例:两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。解:(a):N=N+-N–=（0-1）=-1，且已知P

=0，所以

Z=P-2N=2系统不稳定。

(b)：K>1时，N=N+-N-=1-1/2=1/2，且已知P=1，所以

Z=P-2N=0，闭环系统稳定；

K<1时，N

=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P

=1，所以

Z=P-2N=2，闭环系统不稳定；

K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。起于负实轴伯德图上的奈氏判据

极坐标图 伯德图 单位圆 0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域 0db线以下区域 单位圆以外区域 0db线以上区域

负实轴 -1800线（相频特性图）因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。5.4.3Bode判据

根据Nyquist判据和此种对应关系，对数判据可表述如下：

在P=0时，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先效于横轴，即，如图5.4.1(c)所示，则闭环系统稳定；若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即，如图5.4.1(d)所示，则闭环系统不稳定；若，则闭环系统临界稳定。或换言之：若开环对数幅频特性达到0分贝，即交于时，其对数相频特性还在－180°线以上，即相位还不足－180°，则闭环系统稳定；若开环相频特性达到－180°