专题2.13 等腰三角形的轴对称性（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.13等腰三角形的轴对称性（分层练习）（培优练）一、单选题1．如图，中，，是边上的高，是延长线上一点，平分，若，，，则下列等式一定成立的是（

）

A． B． C． D．2．两个等腰直角三角形如图所示摆放，连结，，且相交于点E，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．3．如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线．以上结论正确的有（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝x°，，且CD＝CA＝AB，则y与x之间不可能存在的关系式是（）A．y＝90﹣x B．y＝x﹣90 C．y＝180﹣x D．y＝120﹣x5．如图，在中，为的平分线，，垂足为，且，，，则与的关系为（

）A． B．C． D．6．如图，在中，，点在边上，过点作，，交，于，两点，连接，以点为顶点作，使得，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，，之间的关系是（

）A． B． C． D．8．如图，在△ABC的右侧以AC为边构造等腰Rt△ACD，其中∠CAD为90°，在BC的延长线上取一点E，使∠ADE＝∠ACB．若DE＝BC，且四边形ACED的面积为8，则AB的长为（）A．2 B．4 C． D．89．如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．过点作于点，则10．如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：①△ABF≌△AEH；②连接AG、FH，则AG⊥FH；③当AD⊥BC时，DF的长度最大；④当点H是DE的中点时，四边形AFGH的面积等于AF×GH．其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题11．如图，锐角内有一定点A，连接，点B、C分别为、边上的动点，连接、、，设（），当取得最小值时，则________．（用含的代数式表示）12．如图，等腰的直角顶点D恰好为等腰底边中点，且点E，F分别在AB，AC上，若，则EF的最小值为．

13．如图，在直角三角形中，，D为线段上一点，连接．过点A作，连接，当平分时，延长至点F使得，连接．若且，则．14．如图1是两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度从处往处爬，壁虎爬到点所用的时间为．15．如图，在平面直角坐标系中，点，，点A为线段CE上一动点，以AO为斜边作等腰直角（点A、O、B以顺时针排列），点D在射线BO上，若以点D，C，O构成的三角形和全等，则．16．如图，是的垂直平分线，，，设，．（1）若，，则°．（2）已知，则α和β满足的数量关系是．17．已知中，．取中点作等腰三角形，（如图所示），取的中点作等腰三角形，再取的中点作等腰三角形，以此类推，（点、、、在直线上）则°．18．如图，已知平分平分，点在上，连接交于点，若，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题19．在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题．将（）沿折叠，使点C刚好落在边上的点E处．

（1）图1中，，则___________；___________；（2）如图2，若，试说明：．20．已知线段，如图1所示．在利用尺规作图探究三角形全等的判定方法的过程中，小颖的作图过程是这样的：作，在射线上截取，以为圆心，以长为的半径画弧，交射线于点（点在点左侧）．连接．

（1）请在图2中，利用尺规补充完整小颖的作图过程；（2）在（1）完成的作图中，直接写出与中，相等的角和相等的边；（3）在（1）完成的作图中，与之间的大小存在怎样的数量关系？请用等式表示出来，并说明理由．21．（此题需要写出括号内的定理理由，已知、已证、已作、等量代换、等式性质这五条理由不需要写）如图，已知，，作且，联结，过点作的垂线（垂足为点），与过点作的垂线交于点，联结．

（1）求证：是等腰直角三角形；（2）连接，求证：平分．22．如图，与交于点B，与交于点D，连接，．

（1）若于D，于B，，求的度数．（2）若是等腰三角形，，平分，试说明的理由．23．如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，交于点F，．

（1）说明：；（2）若平分，，，求的面积；（3）判断，，之间的数量关系，并加以说明.24．如图，在中，，过点A作于点D，E为边上一点，且，过点E作于点F．（1）求证：；（2）连接，若G为线段的中点，连接．（i）试判断的形状，并说明理由；（ii）连接，记的面积分别为，若，求的值．参考答案1．B【分析】过点C作于点F，易证（AAS），得到，，，进而得到，因此．由于得到，又，得到，因此，所以．由得，变形得到．【详解】如图，过点C作于点F

是高，平分在和中（），，∵在中，，又，，即故选：B【点拨】本题只要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判断与性质，正确作出辅助线是解题的关键．2．C【分析】利用证明，得到进而推出，得到，推出，利用同底得到三角形的面积比等于高线比，进行判断即可．【详解】解：∵均为等腰直角三角形，∴，，∴，故选项正确；∴∵∴故B选项正确；∴即：，∴，故D选项正确；∵，∴；故C选项错误；综上，错误的为C选项；故选C．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．3．B【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据题意可得AC+CE=AB+BE，进而可以判断①正确；根据AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DC⊥AC，可得DF=DC，然后证明Rt△ADF≌Rt△ADC，可得AF=AC，然后根据线段的和差可得BE=DE，可得AE是△ABD的中线，进而判断③正确，若②也成立，则AE⊥BC，茅盾，故②不成立即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，∵动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A→B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，∴AC+CE=AB+BE，∴AE平分△ABC的周长，故①正确；∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DC⊥AC，∴DF=DC，在Rt△ADF和Rt△ADC中，∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴AF=AC，∵∠B=45°，∠DFB=90°，∴△DFB是等腰直角三角形，∴DF=BF，∴AB=AF+FB=AC+CD，∵AC+CE=AB+BE，∴AB+BE=AC+CD+DE，∴BE=DE，∴AE是△ABD的中线，故③正确，∵BE=DE，若AE是△ABD的角平分线，则AE⊥BC，而AE不垂直BC，∴AE不是△ABD的角平分线，故②错误．综上所述，结论正确的有①③．故选：B．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到Rt△ADF≌Rt△ADC．4．D【分析】分三种情况：当点D在边BC上时，当点D在BC的延长线上时，当点D在CB延长线上时来求解．①由，可表示出的度数，又由三角形外角的性质，可得，则可得，进而求出y与x的关系式；②先确定出，最后根据三角形的内角和得出y与x的关系式；③同①②的方法即可得出y与x的关系式即可求解．【详解】解：①当点D在边BC上时，∵，，∴．∵，∴．∵，∴，即：（取等号时B、D重合）；②当点D在BC的延长线上时，如图1．∵，∴．∵，∴，∴，在中，，∴，即：；③当点D在CB延长线上时，如图2．∵，，∴．∵，∴．∵，∴，在中，，∴，∴，∴（取等号时B、D重合）．综上所述，y与x之间存在的关系式是：或或，所以A、B、C项正确，故选：D．【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，关键是分三种情况讨论：：当点D在边BC上时，当点D在BC的延长线上时，当点D在CB延长线上时．5．C【分析】延长AE交BC于F，根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°，根据全等三角形的性质得到BF＝AB＝5，AE＝EF＝3，∠BAE＝∠BFE，推出AF＝CF，根据等腰三角形的性质得到∠CAF＝∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】解：延长AE交BC于F，如图所示：∵BD为∠ABC的平分线，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°，在△ABE与△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴BF＝AB＝5，AE＝EF＝3，∠BAE＝∠BFE，∴AF＝AE+EF=6，∵BC＝11，∴CF＝BC-BF=6，∴AF＝CF，∴∠CAF＝∠C，∵∠AFB＝∠CAF＋∠C＝2∠C，∴∠BAE＝2∠C，故C正确．故选：C．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．D【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断A；证明△BEG≌△EDF，即可判断②；得到BG=EF，再由，得到∠A=∠BEG=∠EDF，即可判断③；证明△AEF≌△EGB得到AE=EG，则，即可判断④．【详解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵，∴∠BDE=∠ACB，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，故①正确；∵，∴∠BEG=∠EDF，又∵∠1=∠2，EB=DE，∴△BEG≌△EDF（ASA），故②正确；∴BG=EF∵，∴∠A=∠BEG=∠EDF，故③正确；∵∠AED=∠1+∠EGB=∠2+∠AEF，∴∠BGE=∠AEF，又∵BG=EF，∠1=∠AFE，∴△AEF≌△EGB（ASA），∴AE=EG，∴，故④正确，故选D．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键．7．C【分析】连接AP，根据线段垂直平分线的性质可知PA=PC，．由，即得出，由此可知当A、P、D在同一直线上时，最小．再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD为的平分线，即．最后根据三角形外角性质即得出，由此即可判断．【详解】如图，连接AP，∵直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，∴PA=PC，．∵,∴．由图可知CD为定值，当A、P、D在同一直线上时，最小，即为的长，∴此时最小．∵D是边BC的中点，AB=AC，∴AD为的平分线，∴．∵，即，∴．故选C．【点拨】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A、P、D在同一直线上时最小是解题关键．8．B【分析】连接AE，根据SAS证明，得出，求出为等腰直角三角形，即可求出AB的长．【详解】如图，连接AE，∵是等腰直角三角形，∴，，在与中，，∴，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，即，解得：．故选：B．【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线，找全等三角形进行代换是解题的关键．9．A【分析】如图1中，作于．只要证明即可；如图2中，作于．只要证明即可得出错误；因为，推出点在线段的垂直平分线上，当时，也能找到这样的点；如图3中，在上取一点，使得，欲证明，只要证明，只要证明即可．由于缺少条件无法证明，故错误，【详解】解：A、如图1中，作于．，，，，，，，，，，，，，故A正确，符合题意；B、如图2中，作于．同理可知，，，，，，，，，，故B错误，不符合题意．C、，点在线段的垂直平分线上，当时，也能找到这样的点．故C错误，不符合题意；D、如图3中，在上取一点，使得，欲证明，只要证明，只要证明即可．由于缺少条件无法证明，故D错误，不符合题意，故选：A．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．A【分析】根据SAS可证△ABF≌△AEH，可判断①；证AF＝AH，FG＝HG，可证AF垂直平分FH，可判断②；当AF最小时，DF最长，即AD⊥BC时，DF最大．可判断③；S四边形AFGH＝2S△AGH＝2×＝GH×AH，可判断④．【详解】解：①在△ABF和△AEH中，，∴△ABF≌△AEH（SAS），故①正确；②∵△ABF≌△AEH，∴∠AFB＝∠AHE，AF＝AH，∴∠DFG＝∠CHG，∵AD＝AC，∴DF＝CH，∴△DFG≌△CHG，∴FG＝GH，∴AG垂直平分FH，故②正确；③由DF＝AD﹣AF，∵AD是定长，∴AF最小时，DF最长，即AD⊥BC时，DF最大．故③正确；④当点H是DE的中点时，有AH⊥DE，∵AF＝AH，FG＝GH，且AG是公共边，∴△AFG≌△AHG（SSS）∴S四边形AFGH＝2S△AGH＝2×＝GH×AH，故④正确．故选A．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、垂线段最短、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．11．【分析】当取得最小值时，即三点共线，作图，把真正的点B、C作图出来即图中的点和的位置，连接，，解答即可．【详解】解：作A关于和的对称点，分别记作和，连接分别交和于点和，连接，，如图所示：∵作A关于和的对称点，分别记作和，∴，，∵，∴，∵作A关于和的对称点，分别记作和，∴，∴是等腰三角形，即，∵作A关于和的对称点，分别记作和，∴，，∵当取得最小值时，即三点共线，此时，即当取得最小值时，则，故答案为：．【点拨】本题主要考查的是线段最短以及垂直平分线的性质内容，正确理解题意并正确作图是解题的关键．12．【分析】当时，最小，此时可求出的最小值.【详解】解：∵三角形为等腰直角三角形，∴,又∵D为等腰底边的中点，∴当最小时，最小，此时，又∵，∴，故答案为：.【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握相关性质，此类题目便可迎刃而解．13．1.8【分析】延长到点G，使，证明，得，再证明，然后根据即可求出的长．【详解】延长到点G，使，则，∵∴，∵，∴，在和中，∴，∴．∵平分时，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案为：1.8．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，以及平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．14．6【分析】通过证明三角形全等从而证明，再求出时间即可．【详解】∵、为等腰直角△∴∵,∴∴在和中∵∴∴∴时间为：故答案为6【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、全等的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．15．或/或【分析】由点的坐标得出，则，分两种情况画出图形，若，若，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．【详解】解：∵点，，∴，∴，①如图1，若，此时点A与点E重合，∴；②如图2，若，∵为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴．综合以上可得或．故答案为：或．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．16．【分析】（1）由“”可证，可得；（2）由全等三角形的性质可得，由线段和差关系可证，可得，由三角形内角和定理可得结论．【详解】解：（1）是的垂直平分线，，，，，∵，∴，，，，，，在和中，，∴（），，故答案为：60；（2）由（1）可知：，，，，又，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．17．【分析】根据三角形外角定理推理出规律即可得到答案．【详解】由题知，后续所作的三角形都是等腰三角形，得：，，，，……则，故答案为：．【点拨】本题考查等腰三角形的性质与规律问题，能准确找到规律并运用好三角形外角定理是关键．18．①②④【分析】根据三线合一定理得到，，由此即可判断①；证明得到，进而推出，利用三角形内角和定理可得，即可判断②；由全等三角形的性质可得，，进一步证明，得到，即可推出，即可判断③；再证明，由三角形外角的性质即可得到，即可判断④．【详解】解：∵平分，∴，，故①正确；∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，，∴，故②正确；∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，故③错误；∵，∴，∴，∵，∴，故④正确；故答案为：①②④．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．19．(1)2，12（2）见解析【分析】（1）根据折叠性质和三角形的面积公式求解即可；（2）由折叠性质和三角形的外角性质证得，，，再根据等角对等边证得，进而可证得结论．【详解】（1）解：由折叠性质得：，，，∴，，∵，∴，故答案为：2，12；（2）解：由折叠性质得，，，∵，，∴，∴，又∵，∴．【点拨】本题考查了折叠性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠性质是解答的关键．20．(1）见解析（2）相等的角为：，相等的边为(3)，理由见解析【分析】（1）按要求作图即可；（2）根据操作及等边对等角即可求解；（3）利用平角定义即可求解．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）由作图过程可知：，则，即：相等的角为：，相等的边为；（3），理由如下：由（2）可知，，又∵，∴．【点拨】本题考查尺规作图——作线段，等边对等角等知识点，根据题意作出图形是解决问题的关键．21．(1）见解析（2）见解析【分析】（1）由等角的余角相等可得，由可得，通过证明，得到，即可得证；（2）连接，作，交于，通过证明得到，即可得证．【详解】（1）证明：，，（对顶角相等），（等角的余角相等），，，在和中，，，（全等三角形的性质），，是等腰直角三角形（等腰直角三角形的判定）；（2）证明：如图，连接，作，交于，

，由（1）可得：，，，，在和中，，（三角形全等的判定），（三角形全等的性质），（等边对等角），，平分．【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定，角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定，角平分线的判定，添加适当的辅助线，是解题的关键．22．(1)（2）见解析【分析】（1）证明，再利用平行线的性质可得答案；（2）证明，，可得，从而可得答案．【详解】（1）解：∵于D，于B，∴，∴又∵，∴（2）∵是等腰三角