2023年苏州市吴中、吴江、相城区初三数学第一次调研试题(解析版)

2022～2023学年第二学期初三年级第一次调研试卷数学本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上．2.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题．3.考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1.3的相反数为（）A.﹣3 B.﹣ C. D.32.苏州是全国最大工业城市之一，2022年苏州工业总产值大约为万元，数据用科学记数法可表示为（）A. B. C.D.3.苏州的景色非常优美，其中以苏州园林最具代表性．苏州园林溯源于春秋，发展于晋唐，繁荣于两宋，全胜于明清，现存五十多处．如图是苏州园林中的一种窗格，下面从窗格图案中提取的几何图形，不一定是轴对称图形的是（）A.矩形 B.正八边形 C.平行四边形D.等腰三角形4.下列运算正确的是（）A. B. C.D.5.如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为（）A. B. C. D.6.“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（）A.B.C.D.7.如图，点是正五边形的中心，过点作，垂足为，则下列四个选项中正确的为（）A. B.C. D.8.如图，在中，，．动点从点出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点与点重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图像是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不耍写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.计算：________．10.在辽宁号航母的某次出海训练中，某飞行大队8架舰载机的飞行训练次数如下（单位：次）：7，6，6，4，5，6，7，5，这组数据的众数是____________．11.如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是____________．12.因式分解=______．13.请填写一个常数，使得一元二次方程____________没有实数根．14.定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，，则的面积为____________．15.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为__________．16.如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为______．三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：．18.解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．19.先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值．20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”、“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是_________．（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案不同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）21.如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求的长．22.阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途经，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．某初级中学为了解学生近两周平均每天在家阅读时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查了____________名学生；（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C类所对应扇形的圆心角的度数；（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生近两周平均每天在家阅读时长不足1个小时人数．23.如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点是反比例函数图像上的一动点．过点作轴，垂足为，交直线于点．（1）求与的值；（2）若的面积是2，求此时点的坐标．24.为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建，两类展位供当地农产品展览和销售．1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米，10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米．建类展位每平方米的费用为120元，建类展位每平方米的费用为100元．（1）求每个，类展位占地面积各为多少平方米；（2）该村拟建，两类展位共40个，且类展位的数量不大于类展位数量的2倍，求建造这40个展位的最小费用．25.如图，已知是的直径，点，点均在上，连接交于点，，．（1）若，求长；（2）若记面积为，的面积为，求的值．26.如图，在矩形中，，，是上一点，．是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为．（1）若，，则的值是__________．（2）若时，求的最大值．（3）在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，求此时的值．27.如图，已知抛物线（，，为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像”．（1）求该抛物线的解析式；（2）若时，直线与图像有三个交点，求的值；（3）若直线与图像有四个交点，直接写出的取值范围.一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1.3的相反数为（）A.﹣3 B.﹣ C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．【详解】解：3相反数是﹣3．故选：A．【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．2.苏州是全国最大工业城市之一，2022年苏州工业总产值大约为万元，数据用科学记数法可表示为（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：,故选B．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．3.苏州的景色非常优美，其中以苏州园林最具代表性．苏州园林溯源于春秋，发展于晋唐，繁荣于两宋，全胜于明清，现存五十多处．如图是苏州园林中的一种窗格，下面从窗格图案中提取的几何图形，不一定是轴对称图形的是（）A.矩形 B.正八边形 C.平行四边形D.等腰三角形【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．【详解】解：A、矩形是轴对称图形，不符合题意；B、正八边形是轴对称图形，不符合题意；C、平行四边形不一定是轴对称图形，符合题意；D、等腰三角形是轴对称图形，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．4.下列运算正确的是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】由同底数幂的乘法可判断A，由同底数幂的除法可判断B，由幂的乘方运算可判断C，由积的乘方运算可判断D，从而可得答案．【详解】解：，故A不符合题意；，故B不符合题意；，故C不符合题意；，运算正确，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方运算，积的乘方运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键．5.如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图所示，连接，先根据切线的性质得到，再根据三角形内角和定理得到，则由圆周角定理得到．【详解】解：如图所示，连接，∵是的切线，∴，∵，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质是解题的关键．6.“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间路程速度列出方程即可．【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，由题意得，，故选A．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．7.如图，点是正五边形的中心，过点作，垂足为，则下列四个选项中正确的为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正五边形的性质求得中心角，由垂径定理求得，在中，利用三角函数的关系即可求解．【详解】解：连接，∵点是正五边形的中心，∴，∵，∴，在中，，∴，观察四个选项，只有选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，解题的关键是熟知正多边形各元素与圆之间的关系．8.如图，在中，，．动点从点出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点与点重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图像是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分两种情况，分别求出y与x的函数关系式，即可判定．【详解】解：当时，，此时的函数图像是在的部分，顶点为，故C、D不符合，当时，如图：在中，，，，四边形是正方形，，，，，，此时的函数图像是在的部分，顶点为，故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求二次函数的解析式，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不耍写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.计算：________．【答案】【解析】【分析】直接利用合并同类项法则计算得出答案．【详解】解：(1+2)a²=3a²，故答案为：．【点睛】本题主要考查了合并同类项，正确掌握运算法则是解题的关键．10.在辽宁号航母的某次出海训练中，某飞行大队8架舰载机的飞行训练次数如下（单位：次）：7，6，6，4，5，6，7，5，这组数据的众数是____________．【答案】6【解析】【分析】根据众数的定义进行求解即可．【详解】解：由题意得，数据6出现了3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了求众数，熟知众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．11.如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是____________．【答案】【解析】【分析】直接利用扇形面积求法结合概率公式得出答案．【详解】解∶扇形的面积为，故任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了几何概率，正确求出扇形面积是解题关键．12.因式分解=______．【答案】．【解析】【详解】解：==，故答案为．13.请填写一个常数，使得一元二次方程____________没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【解析】【分析】设这个常数为a，根据根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．【详解】解：设这个常数为a，∴方程没有实数根，∴，∴，∴满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．14.定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，，则的面积为____________．【答案】或4【解析】【分析】分情况讨论，当是（或）2倍时，为等腰直角三角形；当或时，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．【详解】解：当时，则，∴，∵，，∴，∴的面积为；同理，当时，的面积为；当时，∵，则，，∵，∴，，∴的面积为；当时，∵，则，，∵，∴，，∴的面积为；综上，的面积为或4；故答案为：或4．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解“倍角三角形”的概念，分类讨论是解题的关键．15.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】由二次函数解析式可得二次函数对称轴为直线，且开口向下，则离对称轴越远，函数值越小，推出当时，，据此求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为，∴二次函数对称轴为直线，且开口向下，∴离对称轴越远，函数值越小，∵当时，的最小值为，，∴当时，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟知二次函数开口向下时，离对称轴越远函数值越小是解题的关键．16.如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为______．【答案】##0.75【解析】【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得，设，求得，，利用两点间的距离公式得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求得的最大值，据此即可求解．【详解】解，在矩形中，建立平面直角坐标系，坐标原点为点B，如图，过作于，交于，∵，，∴，，∴，∴，设，∴，，，，∴，∵点为中点，∴，，∴，∵，∴当时，有最小值，最小值为，∴线段的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，建立坐标系，构造关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：．【答案】1【解析】【分析】原式利用二次根式的乘法、零次幂以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【详解】解：．【点睛】本题考查了实数的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．18.解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】不等式组的解集为．数轴上表示见解析【解析】【分析】先分别求解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【详解】解：解不等式得，解不等式得，∴不等式组的解集为．在数轴上表示为．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组合在数轴上表示解集，正确求得不等式组的解集是解答本题的关键．19.先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值．【答案】，当时，原式【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可．【详解】解：，∵，∴当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”、“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是_________．（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案不同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不同的结果有6种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是；【小问2详解】解：把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不同的结果有6种，∴两次抽取的卡片图案相同的概率为．【点睛】本题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得，从而有，，再由是边上的中点得，利用可判定；（2）由（1）可得，再结合平行四边形的性质可得的长．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，，∵为的中点，∴，在和中，，∴；【小问2详解】解：∵，由（1）可知：，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴．∴的长为．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键是熟记平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质并灵活运用．22.阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途经，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．某初级中学为了解学生近两周平均每天在家阅读时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查了____________名学生；（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C类所对应扇形的圆心角的度数；（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生近两周平均每天在家阅读时长不足1个小时的人数．【答案】（1）120（2）补图见解析，（3）420名【解析】【分析】（1）由B类别人数及其所占百分比求出总人数即可；（2）根据四个类别人数之和等于总人数求出C类别人数，从而补全图形，用360°乘以C类别人数所占比例；（3）用样本估计总体即可．【小问1详解】解∶被调查的人数为（名）；【小问2详解】解：C类别的人数为（名），补图如下：，扇形统计图中C类所对应扇形的圆心角的度数；【小问3详解】解：（名）答：估计该校学生近两周平均每天在家阅读时长不足1个小时的人数为420名．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23.如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点是反比例函数图像上的一动点．过点作轴，垂足为，交直线于点．（1）求与的值；（2）若的面积是2，求此时点的坐标．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）先把点A坐标代入正比例函数解析式求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可得到答案；（2）设，则，则，再分如图1所示，当点P在点G上方时，如图2所示，当点P在点G下方时，求出对应的，并据此建立方程求解即可．【小问1详解】解：把点代入到中得：，∴，把代入到中得：，∴；【小问2详解】解：由（1）得反比例函数解析式为，设，则，∴，∵是反比例函数图像上的一动点．，∴，如图1所示，当点P在点G上方时，∵的面积是2，∴，∴，解得（负值舍），∴；如图2所示，当点P在点G下方时，则，∴，∴，；综上所述，点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数比例系数的几何意义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．24.为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建，两类展位供当地的农产品展览和销售．1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米，10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米．建类展位每平方米的费用为120元，建类展位每平方米的费用为100元．（1）求每个，类展位占地面积各为多少平方米；（2）该村拟建，两类展位共40个，且类展位的数量不大于类展位数量的2倍，求建造这40个展位的最小费用．【答案】（1）每个A类展位占地面积为20平方米，每个B类展位占地面积为16平方米（2）4280元【解析】【分析】（1）：设每个A类展位占地面积为平方米，每个B类展位占地面积为平方米，然后根据1个类展位占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米，10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米建立方程组求解即可；（2）设建A类展位m个，则建B类展位个，建造费用为W，列出W关于m的一次函数关系，再求出m的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：设每个A类展位占地面积为平方米，每个B类展位占地面积为平方米，由题意得，，解得，∴每个A类展位占地面积为20平方米，每个B类展位占地面积为16平方米；【小问2详解】解：设建A类展位m个，则建B类展位个，建造费用为W，由题意得：，∵类展位的数量不大于类展位数量的2倍，∴，∴，∵，∴W随m增大而增大，∴当时，W最小，最小为，∴建造这40个展位的最小费用为4280元．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意建立方程组和函数关系式是解题的关键．25.如图，已知是的直径，点，点均在上，连接交于点，，．（1）若，求的长；（2）若记的面积为，的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）如图，连接，证明，，结合，求解，再利用勾股定理可得答案；（2）过作于，由，设，可得，，，证明，可得，，，，再利用三角形的面积公式进行计算即可．【小问1详解】解：如图，连接，∵，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴，∴．【小问2详解】过作于，∵，设，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线，灵活运用锐角三角函数解题是关键．26.如图，在矩形中，，，是上一点，．是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别