北京市海淀区2023年届高三下学期期中练习数学(文)试卷

海淀区高三年级2023-2023学年度其次学期期中练习数学试卷〔文科〕2023.4本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．集合A＝xz|2x3，B＝x|2x1AB＝A．2,1,0 2、向量a (1,t),b (t,9)，假设ab，则t＝A．1 B．2 C．3 D．4＝〔为虚数单位S值为A．－1B．1C．－iD．ixy202假设x，y满足xy40z2y0

xy的最大值为5B．3272C． D．42某三棱锥的三视图如下图，则其体积为33A． B．333 22 62 3C． D．2 62 33 36、点P(x,y0 0

在抛物线Wy2

4x上，且点P到W的准线的距离与点P到xx0

的值为1 32A、 B、1 C、 D、22424sin(xa),x0f(x)cos(xb),x0

，则“

f(x)是偶函数“的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．假设每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则以下表达正确的选项是A．甲只能担当第四项工作 B．乙不能担当其次项工作C．丙可以不担当第三项工作 D．获得的效益值总和为782x2二、填空题共62x2y

的定义域为＿＿＿n

的前nSn

Sn

n24n，则a2

a＝ ．1a2l为双曲线Cxa2

y2

1的一条渐近线，其倾斜角为

C的右焦点为2,，b24点C的右顶点为＿＿＿＿，则C的方程为 b241 12在23.log23

这三个数中，最小的数是 ．f(x)sin(2xf(12

5f( )2f(x的单调增区间为＿12＿给定正整数k≥2，假设从正方体ABCD－ABCD8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M＝11111

, ,X2

，均满足XXi j

M,X,Xs t

MXXi j

XXs

，则k的所有可能取值是＿＿＿三、解答题共6小题，共80分．解同意写出文字说明、演算步骤或证明过程．15〔13分〕32a6．3〔Ⅰ〕假设c＝14，求sinA的值；3〔Ⅱ〕假设△ABC的面积为3 ，求c的值．316〔13分〕

是等比数列，其前n项和为Sn

，满足S a2

0，a3

12。

的通项公式；n是否存在正整数nS＞2023？假设存在，求出符合条件的n的最小值；假设不存在，n说明理由。17〔14分〕如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．〔Ⅰ〕求证：平面PBC⊥平面PAB；〔Ⅱ〕求证：当点M不与点P，B重合时，MN∥平面ABCD；〔Ⅲ〕当AB＝3，PA＝4时，求点A到直线MN距离的最小值。18〔13分〕一所学校打算举办“国学”系列讲座。由于条件限制，按男、女生比例实行分层抽样的方法，从某班选出10人参与活动，在活动前，对所选的10名同学进展了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩〔百分制〕的茎叶图如下图。依据这10名同学的测试成绩，分别估量该班男、女生国学素养测试的平均成绩；这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为s2，s2s2与s2的大小〔只需直接写出结果；

1 2 1 2假设从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均〔注：成绩大于等于75分为优良〕19〔14分〕a2b2椭圆Cx2a2b2且｜AB｜＝2．

1(ab0)的离心率为 ，椭圆C与y轴交于A，B两点，323〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x＝4分别交于M，N两点．是否存在点P使得以MN为直径的圆经过点〔2,0〕？假设存在，求出点P的横坐标；假设不存在，说明理由。20〔13分〕1xex函数f(x)ex〔Ⅰ〕求曲线yf(，f0〕处的切线方程；〔Ⅱ〕求函数f(x)的零点和极值；〔Ⅲ〕xx[af(xf(x

)1成立，求实数a的最小值。e2e2海淀区高三年级其次学期期中练习参考答案数学〔文科〕2023.4阅卷须知:评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题〔8540〕题号12345678答案ACDCABAB二、填空题〔6,5,3230〕9．9．[1,)10．211.( 2,0),x2y212212．1213．[5πkπ,πkπ],kZ121214．说明：1.第9题,学生写成x1的不扣分121213题写成开区间(5πkπ,π1212kπ),kZ的不扣分,没有写kZ11478115，624三、解答题(本大题共6小题,共80分)15在ABC中，由于a csinAsinC sinAsinC即6sinA36sinA323 3分所以3 3sinA14

……….3· ……….51462π3CB1462π3CA3因 为 BCA2π3

， 所 以3BCDπ3

……….1B在BD

3BC332

RtBDC 中 ， D3……….33AB3 3RtABDsinABDAB3 314〔Ⅱ〕方法一：因

……….5为SABC

1abs in 7分223所 以 3 316 b232

， 解 得b2 9又c2 a2 b2

因12ab s 12

为…….11所以c2

436226( ),5213所以c 2 135213分ABC延长线的垂线，垂足为D33A32π由于ACB2π ,所以ACD33A32π又 因 为212SABC

BCAD, 7分3即3 3

16AD,2

B 6 3 1 DC所以A3.D1……….9分在RtABD中，A2BAD……….1152AB5216.解：a

2 .13…….1313的公比为q，nSa2

0，所以2aaq0 11 1由于a1

0,所以q2, 2又由于aaq212， 33 1所以a3, 41分所以an分

3(2)n〔或写成an

32

(2)n〕

……….7说明：这里的公式都单独有分，即假设结果是错的，但是通项公式或者下面的前n2(Ⅱ)由于31(2)n1(2)S 1(1(2)n0令S 2023,即1(2)nn

2023，整理得(2)n2023 11n为偶数时，原不等式无解；n为奇数时，原不等式等价于2n2023，解得n11，所以满足S 2023的正整数n的最小值为n11. 1317解〔Ⅰ证明在正方形ABCD中，ABBC 1分由于PA平面ABCD，BC平面ABCD所以PABC 2分又AB PAA，AB,PA平面PAB， 3分BC平面PAB 4BCPBCPBC平面PAB 5〔Ⅱ〕证明：平面PAB，PB平面PAB，所以BCPB 6分在PBC中，BCPB，MNPB，所以MN//BC， 7分，MN平面ABCD， 9分MN//平面ABCD 10〔Ⅲ〕解由于MN//BC,所以MN平面PAB， 11分而AM平面PAB所以MNAM， 12分所以AM的长就是点A到MN的距离， 13分MPB上5所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在RtPAB中，AB3,PA4,所以A到直线MN的最小值为12 14分5解:x〔Ⅰ〕设这10名同学中男女生的平均成绩分别为x, .x1 2646476777873.754x567976708887x 2x176 ……….2 64〔Ⅱ〕女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差 7分〔Ⅲ〕“两名同学的成绩均为优良为大事A， 8分男生按成绩由低到高依次编号为a,a

,a,a，1 2 3 4女生按成绩由低到高依次编号为bb

,b,b，1 2 3 4 5 6则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法 10分(a,b)，(a,b

)，(a,b)，(a,b

)，(a,b)，(a,b)，1 1 1

1 3 1

1 5 1 6(a,b)，(a,b)，(a,b)，(a,b)，(a,b)，(a,b)，2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6(a,b)，(a,b)，(a,b)，(a,b)，(a,b)，(a,b)，3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6(a,b)，(a,b)，(a,b)，(a,b)，(a,b)，(a,b)，4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6其中两名同学均为优良的取法有12种取法 12分(a,b2 3

)，(a,b2

)，(a,b2

)，(a,b)，2 6(a,b3

)，(a,b3

)，(a,b3

)，(a,b3

)，(a,b4

)，(a4

,b)，(a,b3 4

)，(a,b4

)，(a,b)4 62421所以P(A)12 ，2421即两名同学成绩均为优良的概率为12· …….132解：〔Ⅰ〕由AB2得知2b2，b1, 1分3又由于离心率为32

，所以a3c 2a3c2由于a2b2c2，所以a2,, 4所以椭圆C的标准方程为42x y21 542〔Ⅱ〕解法一：假设存在.P(xy0

) M(4,m) N(4,n)由可得A(0,1) B(0,1)，所 以 AP 的 直 线 方 程 为yy

1x1， 600xBPy0x

0x1x10xx4，分别可得m

04(y 1)0x4(y 1)0x4(y 1)0x4(y 1)0x0 0分8MNmn2x0分线 段

， ……….9MN 的 中 点0x(4,40x

)， 100假设以MN为直径的圆经过点(2,0)，则0x(42)2(40x

4x0)2(1 )2, 114x0 040Px40分

y2110

80，……….13x0xx0

8x0

2，冲突，所以这样的点P 不 存在 14分解法二：假设存在，记D(0).P(xy0

) M(4,m) N(4,n)由可得A(0,1) B(0,1)，APyy

1x1，

……….60x0xBPyy

00x1x10xx4，分别可得m

04(y 1)0x4(y 1)0x4(y 1)0x4(y 1)0x分所以M(4,

4(y

0 01) 4(y 1)0x1),N(4，0 1)0xx0因 为 MN

0为 直 径 ， 所 以9DM DM

4(y 1) 4(y 1)0x0x所以0x0x

(2, 1)(2, 1)00 0所 以 4 4DM DN

2(4x)20

0 11x20x240由于点Px2400

21， ……….12分代 入 得 到 4x

28xx 2

8xx 2DMDN4

0 0 0 0x2 x20 0

00 13分所 以 x 80

， 这 与 x[2,2] 矛0盾 14分所以不存在法三：假设存在，记D(0) ,H(0)P(xy0

) M(4,m) N(4,n)由可得A(0,1) B(0,1)，APyy

1x1， 60x0xBPyy

00x1x10xx4，分别可得m

04(y 1)0x4(y 1)0x14(y 1)0x4(y 1)0x分4(y

1)

04(y

01)0x所以M0x

1),N(4，0x0 0

1)DHMN,所以DH2HNHM分

……….9所以4|所

y

0x0x

1||

4(y

0x0x

1|以4=|

16y2168x0 x20

x20 |

……….11P在椭圆上，所以

y2xx204

1，

……….12分代入得到4|

85x0x|0x0解 得 x0

8 或9x 890

……….13当x 8时，这与x0

[2,2]冲突9当x 8时，点M,N在x轴同侧，冲突90所 以 不 存在 14分20〔Ⅰ由于f”(x)

x2exex

……….1分所 以f” (.) 2由于f(0)1所以曲线f()在(0,f(0))处的切线方程为2xy10 4分〔Ⅱ〕f(x)

1x

ex0x1ex所 以 f(x) 的 零 点 为x1 5x2ex由f”(x) 0解得x2exf”(xf(x的状况如下：x (,2) 2

(2,)f”(x) 0 f(x)

微小值 e2e2……….7所 以 函 数 f(x) 在 x2 时 , 取 得 极 小 值e21 8e2〔Ⅲ〕法一：x1f(x)

1x

ex0ex当

1x

x1 时 ，ex9ex假设a1，由〔Ⅱ〕可知f(x)的最小值为f(2)，f(x)的最大值为f(a)， 10分xx[a)f(xf(x

)1

恒成立”等价于

f(2)f(a)1e21 2 e2即e2e2eae211ae2e2eae2

， ……….11分