一类Cayley图的自构群的开题报告

一类Cayley图的自构群的开题报告摘要：本文研究了一类特殊的Cayley图，即具有自构群的Cayley图，并进行了系统性的讨论。首先定义了自构群的概念，并给出了一些示例；随后，探讨了该类Cayley图的几何特征和代数性质，并分析了其在群论研究中的作用和意义。关键词：Cayley图；自构群；群论Abstract:ThispaperstudiesaspecialtypeofCayleygraph,namelyCayleygraphswithautomorphismgroupsandprovidesasystematicdiscussion.Firstly,theconceptofautomorphismgroupsisdefined,andsomeexamplesaregiven.Then,thegeometricfeaturesandalgebraicpropertiesofthistypeofCayleygraphareexplored,anditsroleandsignificanceingrouptheoryresearchareanalyzed.Keywords:Cayleygraph;automorphismgroup;grouptheory1.引言Cayley图是一种基础的离散数学结构，具有广泛的应用。然而，只有极少数的Cayley图是自构的，即它们具有自构群。自构群在群论中是一个重要的概念，因为它允许我们研究群的对称性和结构。因此，研究自构Cayley图具有一定的理论价值和应用前景。本文的主要目的是研究一类自构Cayley图的几何和代数性质，并分析其在群论研究中的意义和应用。2.自构群的定义和示例自构群是一个群，它可以作为图的对称自同构群。换句话说，如果G是Cayley图Γ的自构群，那么G必须是Γ的图自同构群，且Γ中每个点的轨道大小都相等。下面给出一些自构群的示例：-对于任意的正整数n，完全图Kn的自构群就是对称群Sn。-对于任意的质数p，循环图Cp的自构群是置换群Zp，即模p的乘法群。-对于奇数n>1，完全正则图SR(n,2)的自构群是二面体群Dn，其中Dn是二面体群的阶为2n的一个特殊情形。3.自构Cayley图的性质在上一节中，我们介绍了一些自构群的示例。在本节中，我们将探讨Cayley图的自构性质和应用。3.1.几何特征对于给定的有限群G和它的一个生成元集合S，我们可以构造出一个Cayley图Γ(G,S)。如果Γ(G,S)是自构的，那么它具有一些特殊的几何特征：-对于任意的g∈G，Γ(G,S)中与g关联的点的轨道大小相等。-Γ(G,S)中每个点在自身所在的轨道中处于同一位置。换句话说，Γ(G,S)是具有周期布局的。3.2.代数性质在群论研究中，自构Cayley图具有以下代数性质：-自构Cayley图的对称性与群的对称性相关。-自构Cayley图具有良好的谱结构和性质。-自构Cayley图的自同构群是G的一个子群。-自构Cayley图的正则性与生成元集合的选择相关。-自构Cayley图的色数和生成元集合的大小相关。4.应用和意义自构Cayley图在群论研究中具有重要的应用和意义。例如：-自构Cayley图是研究群的自同构群的一种有效工具。-自构Cayley图帮助我们理解群的对称性和结构。-自构Cayley图在拓扑学、几何学、组合学等领域中具有广泛的应用。-自构Cayley图可以被用于证明相应群的若干性质。5