2025届高考数学统考二轮复习第二部分专题5解析几何第1讲直线与圆教师用书教案理1

PAGE解析几何专题5第1讲直线与圆直线的方程授课提示：对应学生用书第44页考情调研考向分析以考查直线方程的求法、两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以选择题，填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特殊是距离公式，是高考考查的重点.1.求直线的方程．2.推断两直线的位置关系．3.直线恒过定点问题.[题组练透]1．过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为()A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0解析：设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，，把点(2,1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m＝－7.故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选B.答案：B2．(2024·淮南模拟)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1 B．－1C．2或1 D．－2或1解析：当a＝0时，直线方程为y＝2，明显不符合题意，当a≠0时，令y＝0时，得到直线在x轴上的截距是eq\f(2＋a,a)，令x＝0时，得到直线在y轴上的截距为2＋a，依据题意得eq\f(2＋a,a)＝2＋a，解得a＝－2或a＝1，故选D.答案：D4．(2024·保定模拟)设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为()A．2eq\r(10)B.eq\r(26)C．2eq\r(5)D.eq\r(10)解析：依据题意作出图象如下：设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，则它们的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)，\f(b,2)))，且|PB|＝|PB1|.由对称性可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－0,a－2)×－1＝－1,\f(a＋2,2)＋\f(b,2)－4＝0))，解得a＝4，b＝2.所以B1(4,2)．因为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，|PA|＋|PB|最小．此时最小值为|AB1|＝eq\r(4＋22＋2－02)＝2eq\r(10).故选A.答案：A[题后悟通]1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的状况，可考虑用数形结合的方法去探讨或干脆用直线的一般式方程推断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A·\f(x1＋x2,2)＋B·\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1))，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种状况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决圆的方程授课提示：对应学生用书第45页考情调研考向分析考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1.利用几何性质求圆的方程．2.利用待定系数法求圆的方程．3.借助圆的方程探讨圆的简洁性质.[题组练透]1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)，eq\r(2) D．(2，－3)，eq\r(2)解析：∵圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝2，∴圆的圆心坐标和半径长分别是(2，－3)，eq\r(2)，故选D.答案：D2．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋y2＝1 B．x2＋(y＋1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋y2＝1解析：由题得圆心坐标为(0,1)，所以圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.故选C.答案：C3．在平面直角坐标系中，三点O(0,0)，A(2,4)，B(6,2)，则△OAB的外接圆方程是________．解析：设△OAB的外接圆方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由点O(0,0)，A(2,4)，B(6,2)在圆上可得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0,4＋16＋2D＋4E＋F＝0,36＋4＋6D＋2E＋F＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0,D＝－6,E＝－2))，故△OAB的外接圆方程为x2＋y2－6x－2y＝0.答案：x2＋y2－6x－2y＝04．已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，与直线2x＋y－10＝0相切，则圆C的标准方程为________．解析：由题意，设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为点B(4,2)在直线2x＋y－10＝0上，所以点B(4,2)是圆与直线2x＋y－10＝0的切点，连接圆心C和切点的直线与切线2x＋y－10＝0垂直，则kBC＝eq\f(1,2)，则BC的方程为y－2＝eq\f(1,2)(x－4)，整理得x－2y＝0，由线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－5＝0,x－2y＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1))，即圆心坐标为C(2,1)，又由r＝|BC|＝eq\r(4－22＋2－12)＝eq\r(5)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5[题后悟通]求圆的方程的2种方法(1)几何法：通过探讨圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．直线与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第46页考情调研考向分析考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的推断；依据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等．题型主要以选择题，填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1.直线与圆、圆与圆位置关系的推断．2.求切线方程和计算弦长．3.依据直线与圆的位置关系求参数的值.[题组练透]1．直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定解析：将圆的方程化为标准方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(b,2)))2＝eq\f(a2＋b2,4)，∴圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(b,2)))，半径r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，∵圆心到直线ax－by＝0的距离d＝eq\f(\f(a2＋b2,2),\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(a2＋b2),2)＝r，则圆与直线的位置关系是相切．故选B.答案：B2．(2024·甘肃质检)设直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝()A．－1或1 B．1或5C．－1或3 D．3或5解析：由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝3，所以圆心为(－1,2)，半径为eq\r(3).所以圆心到直线的距离为eq\r(\r(3)2－12)＝eq\f(|－1－2＋a|,\r(2))，∴a＝1或5.故选B.答案：B3．(2024·合肥质检)已知直线l：x－eq\r(3)y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋eq\r(3))2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝eq\f(π,3)，则实数a的值等于()A．2或10 B．4或8C．6±2eq\r(2) D．6±2eq\r(3)解析：由∠MPN＝eq\f(π,3)可得∠MCN＝2∠MPN＝eq\f(2π,3).在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝eq\f(π,6)，可得点C(3，－eq\r(3))到直线MN，即直线l：x－eq\r(3)y－a＝0的距离为2sineq\f(π,6)＝1.所以eq\f(|3－\r(3)×－\r(3)－a|,\r(1＋3))＝1，解得a＝4或8.故选B.