数学建模及典型案例分析

数学建模及典型案例分析李志林，欧宜贵编著化学工业出版社广西民族大学数学与计算机科学学院曹敦虔制作9优化模型在生产实践中,我们总希望能够到达最优.生产希望本钱最少,销售希望利润最大,投资希望风险小而获利大,买东西希望既廉价质量又好,不一而足.有些优化是简单的优化,通过初等数学的知识甚至直观判断就可以得到最优的结果.有些优化却比较复杂,往往存在两难选择,需要使用特殊的优化方法才能得到最优的结果.并不是所有优化目标都能得到最优的结果,常常我们只能得到局部最优或是近似最优.优化模型的类型数学规划模型数学规划模型通常表述成如下形式min(或max)z＝f(x)s.t.gi(x)≤0,i=1,2,…,m目标函数决策变量约束条件数学规划

模型三要素注:1.约束条件中的不等号也可以是等号.2.约束条件的解称为可行解,可行解集称为可行域.数学规划的分类线性规划目标函数和所有的约束条件都是决策变量的线性函数非线性规划目标函数和约束条件至少一有个是决策变量的非线性函数整数规划限定决策变量只能取整数.假设限制只能取0或1那么称为0-1规划.多目标规划有多个目标函数1奶制品的生产与销售问题一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部能出售，且每公斤A1获利24元，且每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供给，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产方案，使每天获利最大。奶制品的生产与销售问题分析1桶牛奶3公斤A1

12小时8小时4公斤A2

或获利24元/公斤获利16元/公斤50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1

制订生产方案，使每天获利最大每天：奶制品的生产与销售问题分析目标：使每天的获利最大决策：每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2条件：原料供给，劳动时间，设备能力奶制品的生产与销售x1桶牛奶生产A1

x2桶牛奶生产A2

获利24×3x1

获利16×4x2

原料供给劳动时间

加工能力

决策变量

目标函数

约束条件非负约束

奶制品的生产与销售模型建立将上面的式子写成数学规划形式(I)奶制品的生产与销售模型建立也可写成形式(II)其中，，，奶制品的生产与销售模型建立还可写成形式(III)其中n＝2，m＝3.奶制品的生产与销售由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划〔LinearProgramming，简记作LP〕奶制品的生产与销售模型求解方法1：图解法方法2：单纯形法方法3：用软件求解奶制品的生产与销售模型求解——图解法L1:x1+x2＝50x1+x2>50x1+x2<50L2:12x1+8x2＝480L3:3x1＝100L4:x1＝0L5:x2＝0L0:72x1+64x2＝0(20,30)最优解：x1＝20x2＝30每天获利z＝3360ΩL'0:72x1+64x2＝3360奶制品的生产与销售模型求解——使用Lindo软件翻开Lindo6.1，输入如下模型MAX72x1+64x2STx1+x2<5012x1+8x2<4803x1<100End在Lindo中输入模型本卷须知只能求解线性规划模型；目标函数以MAX或MIN开头，约束条件以ST或SUBJECTTO开头，最后以END结束；不能出现乘号，系数必须放在变量之前，系数与变量之间可以有空格，约束条件右端必须是常数；决策变量已经规定为非负，不必再输入非负条件；可以使用Free来取消非负限制；运算符只能是“+〞或“－〞，约束条件中的不等号用“<〞或“>〞，等号用“＝〞；不能使用括号和逗号。一个表达中不能出现同一个变量2次或以上。可以使用Lindo求解线性整数规划和线性0－1规划，可以使用GIN限制变量为整数，使用INT限制变量为0或1；Lindo不区分字母大小写。奶制品的生产与销售最优解：x1＝20x2＝30每天获利z＝3360求解结果LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2图解法与使用Lindo求解法比较图解法直观易懂，有助于我们掌握问题本质；但是求解速度慢，只方便用于二元问题。使用Lindo软件求解的优点是速度快，可解决高维问题，不要求用户掌握太多的运筹学知识；缺点是用户只知道结果，不知道过程。例2下料问题制造某种产品,需要A、B、C三种轴件,其规格和数量如表所示.各类轴件都用5.5m长的同一种圆钢下料.假设方案生产100件产品,最少要用多少根圆钢?轴件类型长度(m)每件产品需要的轴件数A3.11B2.12C1.24问题分析模式A类根数B类根数C类根数余料(m)模式11100.3模式21020模式30210.1模式40040.7模式50121合理的切割模式有5种,如下表所示.生产100件产品至少需要A、B、C类轴件分别为100、200、400.因此，问题转化为在同时满足三类轴件的数量的前提下，按照哪几种合理的切割模式可使切割圆钢的总根数最少。模型建立设用第i种切割模式切割了xi根圆钢，那么目标为为了满足各类轴件的数量要求，应有另外，xi还应满足非负整数限制，即综上所述，可以得到以下线性规划模型s.t.可以写成其中s.t.模型求解这是一个整数线性规划，可以使用单纯形法求解。使用软件Lindo或Lingo可以求解这类模型。Lingo的代码如下：Sets:V3/1..3/:b;V5/1..5/:x;A35(V3,V5):a;EndSetsData:a=11000

10201

02142;b=100200400;EndDatamin=@sum(V5(j):x(j));@for(V3(i):@sum(V5(j):a(i,j)*x(j))>=b(i));@for(V5:@GIN(x));@for(V5:x>=0);求解结果为X(1)0.000000X(2)100.0000X(3)100.0000X(4)25.00000X(5)0.000000最优值z=225,余料＝0.1×100+0.7×25＝27.5.进一步讨论如果以余料最少为目标，应该如何建立模型？例2装箱问题s.t.例3选址问题某地区有6座煤矿，其每年的产量分别为300,350,380,340,500,200。现有火力发电厂一个，每年需用煤1000万吨，每年运行的固定费用为12000万元〔不包含运费〕，每吨原煤从i#矿运送到该电厂的运费为3.5,4,4.2,4.5,4.6,3.6元。现规划新建一个发电厂，m座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。现有3个备选厂址，每吨原煤从i#矿运送到j#备选厂址的运费由表1给出，预计新厂每年运行的固定费用为13000万元。问应把新电厂建在哪里？m座煤矿开采的原煤应如何分配给这两个电厂才能使每年总的费用最小？1#矿2#矿3#矿4#矿5#矿6#矿厂址13.84.55.04.65.24.4厂址24.04.34.53.84.85.0厂址35.14.53.74.75.14.2表1从i#矿运送原煤到j#厂址的单位运费(元/吨)模型假设设共有m座煤矿，i#矿每年的产量为ai,从i#矿运煤到原发电厂的运费为每吨ci0元.有n个备选厂址，从i#矿运送原煤到j#厂址的运费为每吨cij元。yj为0-1变量，假设选择在j#厂址建厂，那么yj=1,否那么yj=0.xij为从i#矿运送原煤到j#厂址的原煤数量。例4布点问题某市有6个区，每个区都可建消防站，为了节省开支，市政府希望设置的消防站最少，但必须保证在该市任何地区发生火警时，消防车能在15分内赶到现场。假定各区的消防站要建的话，就建在区的中心，根据实地测量，各区之间的消防车行驶最长时间如下表：请你为该市制定一个设置消防站的最节省的方案。区间123456141016282720210524321710316244122721428321251525527172715314620102125146例5生产方案问题一家制造显示器的公司生产两种产品：一种是27英寸的显示器，而另一种是31英寸的显示器，生产时除了400000美元的固定费用外，每台27英寸显示器的生产本钱为1950美元，而每台31英寸的本钱