2021北京房山初二（上）期末数学（教师版）

2021北京房山初二（上）期末

数学

一、选择题

3

1.若代数式一一有意义，则实数x的取值范围是（）

x+3

A.x，3B.xx-3C.x>3D.尤>一3

2.下列事件为必然事件的是（）

A.打雷后会下雨B.明天是晴天

C.哥哥年龄比弟弟的年龄大D.下雨后会有彩虹

3.下面这四个图形中，不是轴对称图形是（)

A.

4.小芳有一串形状、大小差不多的钥匙，其中只有2把能开教室门锁,其余5把是开其他门锁的.在看不见的情况

下随意摸出一把钥匙开门锁，小芳能打开教室门锁的可能性为（）

32

A-|B.一cD.-

7l5

5.计算及结果正确的是（）

A.4加B.1072c.2V3+V2D.V20

6.化简」X

―,结果正确的是（）

X-1X—1

A.1B.-1C.0D.±1

7.如图，在AABC中，ZA=45°,NC=75。，BD是△ABC的角平分线，则NBDC的度数为（）

D

BC

A.60°B.70°C.75°D.105°

8.如图，在AABC中，ADL8C于。，CELAB于E，AD与CE交于点厂.请你添加一个适当的条件，使

△AE"ACEB.下列添加的条件不正确的是（）

A.EF=EBB.EA=ECC.AF=CBD.ZAFE=ZB

二、填空题

9.若分式—的值等于0,则a的值为.

a

10.计算：＞/3x.

11.如图是一个可以转动的转盘.盘面上有6个全等的扇形区域，其中1个是红色，2个是绿色，3个是黄色.用力

转动转盘，当转盘停止后，指针对准一颜色区域的可能性最小，对准—颜色区域的可能性最大.

12.我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈=

10尺，那么折断处离地面的高度是__________尺.

13.任意掷一枚骰子，面朝上的点数大于2的可能性是.

14.某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A型计算机和B型计算机.己知一台A型计算机的售价比

一台B型计算机的售价便宜400元，如果购买A型计算机需要224000元，购买B型计算机需要240000元.求一

台A型计算机和一台B型计算机的售价分别是多少元.设一台B型计算机的售价是x元，依题意列方程为

15.已知：如图，"BC中，NACB=90。，AC=BC=J],是等边三角形，则C。的长度为.

16.如图，长方形ABCD中，AB=6,8C=2,直线/是长方形A8CD的一条对称轴，且分别与AO,3c交于点E,F,若直线

/上的动点尸,使得△必8和4PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有个.

D------------,C

___________________L

EF

AB

三、解答题

17.计算：（1）V8-V2（V2+2）

（2）圾+用_卜2、

18.已知：如图，点B,F,C,E一条直线上，AB=DE,AC=DF,BF=EC.求证：△ABC^△DEF.

A

x2

19.解方程：—---=1

x-1x

20.已知：AABC.求作：射线BM,使它平分NABC,交AC于点M.（保留作图痕迹，不要求写作法，指明结

果）

21.己知：如图，点A,D,。在同一直线上，AB//CE,AC=CE,NB=NCDE.求证：BC=DE.

Ix2

22.先化简，再求值：—--------------------,其中％=6.

x2-lX2-2X+1X+1

23.口袋里有除颜色外都相同的4个球，其中有红球、白球和蓝球.甲乙两名同学玩摸球游戏.规定：无论谁从口

袋里随意摸出一个球，摸到红球，算甲赢；摸到白球，算乙赢；摸到蓝球，不分输赢.每一次摸球，根据球的颜色

决定输赢后，将球放回口袋里搅匀后下次再摸球.设计下列游戏：

（1）要使甲、乙两人赢的可能性相等，口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个？

（2）要使甲赢的可能性比乙赢的可能性大，口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个？

24.如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,连接BD.

BC

(1)依题意补全图形；

(2)求NDBC的度数.

25.如图，在AABC中，AC=2AB,AD平分NBAC,延长CB到点E,使BE=BD,连接AE.

(1)依题意补全图形；

(2)试判断AE与CD的数量关系，并进行证明.

26.在放AABC中，ZBAC=90°,AB=AC.

(1)如图1,点。为8C边上一点，连接A。，以AD为边作放△4£>£，ZZME=90°,AD=AE^连接

EC.直接写出线段8。与CE的数量关系为一，位置关系为

(2)如图2,点。8C延长线上一点，连接AO，以AD为边作Rt^ADE,ZDAE=90°,AD=AE，连接

EC.

①用等式表示线段BC,DC,EC之间的数量关系为.

②求证：BD2+CD2=2AD2.

(3)如图3,点。为△回(?外一点，且NADC=45°,若3D=13,CD=5,求A0的长.

图3

参考答案

一、选择题

3

1.若代数式^有意义，则实数x的取值范围是（）

x+3

A.%H3B.x^-3C.x>3D.x>-3

【答案】B

【解析】

【分析】根据分母不等于零列式求解即可.

3

【详解】解：•••代数式——有意义，

x+3

Ax+3/O,

x#3.

故选B.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义.分式是

否有意义与分子的取值无关.

2.下列事件为必然事件的是（）

A.打雷后会下雨B.明天是晴天

C.哥哥的年龄比弟弟的年龄大D.下雨后会有彩虹

【答案】C

【解析】

【分析】根据必然事件的概念进行逐项判断即可.

【详解】解：A、打雷后不一定会下雨，此选项是随机事件，不符合题意；

B、明天不一定是晴天，此选项是随机事件，不符合题意；

C、哥哥的年龄比弟弟的年龄大是必然事件，此选项符合题意；

D、下雨后不一定会有彩虹，此选项是随机事件，不符合题意,

故选：c.

【点睛】本题考查必然事件的定义，注意区分必然事件与随机事件是解答的关键.

3.下面这四个图形中，不是轴对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，依次

进行判断即可.

【详解】A选项是轴对称图形，故不符合题意；

B选项是轴对称图形，故不符合题意：

C选项不是轴对称图形，故符合题意；

D选项是轴对称图形，故不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是熟练掌握并运用轴对称图形的概念.

4.小芳有一串形状、大小差不多的钥匙，其中只有2把能开教室门锁，其余5把是开其他门锁的.在看不见的情况

下随意摸出一把钥匙开门锁，小芳能打开教室门锁的可能性为（）

232

A.-B.-C.一D.-

7775

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案；

【详解】解：•••有5+2=7把不同的钥匙，其中有2把能开教室门锁，

2

,小芳能打开教室门锁的概率为：5

故选：A

【点睛】本题考查了概率公式.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

5.计算及+加，结果正确的是（）

A.4夜B.10夜C.2班+0D.V20

【答案】A

【解析】

【分析】先将化简为最简二次根式3亚，再合并同类二次根式即可.

【详解】原式=夜+3夜

—4^2•

故选：A.

【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，二次根式的加法，掌握合并同类二次根式的方法是解题的关

键.

6.化简--------结果正确的是（）

X—1X—1

A.1B.-lC.0D.±1

【答案】B

【解析】

【分析】根据同分母分式的加减法法则即可求出答案.

1x

【详解】解：-----------

X—1X—1

\—X

=-i

故选：B.

【点睛】本题主要考查了分式的加减法，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键，注意结果要化为最简.

7.如图，在AABC中，ZA=45°,/C=75。，BD是△ABC的角平分线，则NBDC的度数为（）

A.60°B.70°C,75°D.105°

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：先根据三角形内角和定理求出NABC度数，再根据BD是△ABC的角平分线求出NDBC的

度数，由三角形内角定理求出NBDC的度数即可.

•在^ABC中，/A=45°,ZC=75°,

ZABC=180°-45o-75o=60°,

：BD是△ABC的角平分线，

/DBC=—ZABC=-x60°=30°,

22

/BDC=180°-ZDBC-NC=180o-30°-75o=75°.

故选C.

考点:三角形内角和定理.

8.如图，在AABC中，ADLBC于D,CE1.AB于E，AD与CE交于点、F.请你添加一个适当的条件，使

△AEF"ACEB.下列添加的条件不正确的是（）

A

A.EF=EBB.EA=ECC.AF=CBD.ZAFE=ZB

【答案】D

【解析】

【分析】根据垂直关系，可以判断△AEF与ACEB有两对角相等，就只需要添加一对边相等就可以了.

【详解】解：：AD_LBC,CE±AB,垂足分别为D、E,

；./AEF=/CEB=90。，ZADB=ZADC=90°,

NEAF+NB=90。，ZBCE+ZB=90°,

；./EAF=/BCE.

A.在RtAAEF和RtACEB中

NAEF=NCEB

<ZEAF=NBCE

EF=EB

•・•△AEF四△CEB(AAS),故正确；

B.在RtAAEF和RtACEB中

ZAEF=ZCEB

<EA=EC

NEAF=NBCE

:.AAE"ACEB(ASA),故正确；

C.在RtAAEF和RtACEB中

ZAEF=NCEB

«NEAF=Z.BCE

AF=CB

：.AAEFQ/\CEB(AAS),故正确；

D.在RtAAEF和RtACEB中

NAEF=NCEB

由＜ZEAF=ZBCE不能证明AAEF沿△CEB,故不正确；

NAFB=ZB

故选D.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添

加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本

题的关键.

二、填空题

9.若分式—的值等于0,则a的值为.

a

【答案】3

【解析】

【分析】根据分子等于0,且分母不等于0求解即可.

【详解】解：由题意得

a-3=0,且a#0,

/.a=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0,②分母的值

不为0,这两个条件缺一不可.

io.计算：Gx.

【答案】1

【解析】

【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行梳理计算即可.

【详解】解：6乂心=g!=1,

故答案为：i.

【点睛】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解答的关键.

11.如图是一个可以转动的转盘.盘面上有6个全等的扇形区域，其中1个是红色，2个是绿色，3个是黄色.用力

转动转盘，当转盘停止后，指针对准—颜色区域的可能性最小，对准―颜色区域的可能性最大.

【答案】①.红②.黄

【解析】

【分析】分别求出指针对准各部分的概率即可解答.

【详解】解：•••红色占1份，绿色占2份，黄色占3份，

12131

AP（红色）=一，P（绿色）=一=一，P（黄色）

66362

...指针对准红颜色区域的可能性最小，对准黄颜色区域的可能性最大.

故答案为：红，黄.

【点睛】本题考查了几何概率的计算方法：用整个几何图形的面积”表示所有等可能的结果数，用某个事件所占有

171

的面积〃，表示这个事件发生的结果数，然后利用概率的概念计算出这个事件的概率为：P=一.

n

12.我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈=

10尺，那么折断处离地面的高度是_________尺.

【答案】4.55

【解析】

【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为(10-x)尺.利用勾股

定理解题即可.

【详解】解：1丈=10尺，

设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为(10-x)尺，

根据勾股定理得：X2+32=(10-X)2

解得：x=4.55.

答：折断处离地面的高度为4.55尺.

故答案为：4.55.

【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题.

13.任意掷一枚骰子，面朝上的点数大于2的可能性是.

【答案】|

【解析】

【分析】根据掷得面朝上的点数大于2情况有4和I,进而求出概率即可.

【详解】解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于2的情况有4种，

掷得面朝上的点数大于2的概率是7=彳；

63

2

故填：

【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种

结果，那么事件A的概率P(A).

14.某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A型计算机和B型计算机.已知一台A型计算机的售价比

一台B型计算机的售价便宜400元，如果购买A型计算机需要224000元，购买B型计算机需要240000元.求一

台A型计算机和一台B型计算机的售价分别是多少元.设一台B型计算机的售价是x元，依题意列方程为

…z240000224000

【答案】-------=--------

xx-400

【解析】

【分析】本题的等量关系是：224000元购买A型计算机的数量=240000元购买B型计算机数量，依此列出方程即

可.

【详解】解：设B型计算机每台需x元，则A型计算机每台需（x-400）元，依题意有

240000224000

x-400

240000224000

故填,

xx-400

【点睛】考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系,

本题重点是熟悉单价，总价，数量之间的关系.

15.己知：如图，“8C中，乙4cB=90。，AC=BC=母,"80是等边三角形，则的长度为.

【答案】G+1

【解析】

【分析】由勾股定理求出A8,根据等边三角形的性质得出AB=AO=BQ=2,ZDAB=ZABD=60°,证出A8LCQ于

E,且AE=BE=1,求出AE=CE=1,由勾股定理求出。E,即可得出结果.

【详解】解：VZACB=90°,AC=BC=O，

:.AB=dAC2+BC?=⑸2+（肉=2，/CAB=/C8A=45。，

•••A48。是等边三角形,

：.AB=AD=BD=2,ZDAB=ZABD=60°,

"：AC=BC,AD=BD,

J.ABVCD^E,且AE=BE=l,

在RAAEC中，/AEC=90°,ZEAC=45°,

ZEAC=ZACE=45°,

."E=CE=1,

在RAAEO中，ZAED=90°,AD=2,AE=1,

•*-DE=7AZ)2-AE2=百，

,,CD—+1.

故答案为6+1.

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识.运用

勾股定理求出OE是解决本题的关键.

16.如图，长方形ABCD中，AB=6,8C=2,直线/是长方形A8CO的一条对称轴，且分别与AZZBC交于点E,F,若直线

/上的动点P,使得△弘8和4P8C均为等腰三角形.则动点P的个数有个.

D-----------,C

__________________L

EF

AB

【答案】5

【解析】

【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作48或。C的垂直平分线交/于P；二是在

长方形内部，在/上作点外，使RC=OC,AB=PB,同理，在/上作点尸2,使P[D=DC；三是如图，如

图，在长方形外/上作点8,使A8=AP3,DC=P3D,同理，在长方形外/上作点R，使BP4=AB,CP^DC.

【详解】分三种情况讨论:

①如图，作AB或DC的垂直平分线交/于P,

②如图，在/上作点P,使PC=OC,AB=PiB,

同理，在/上作点外,使PM=AB,P2D=DC,

③如图，在长方形外/上作点尸3,使A5=AP3,DC=P3D,

同理，在长方形外/上作点尸4,使CP4=DC,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题

意，结合图形，再利用数学知识来求解.

三、解答题

17.计算：（1）V8-V2（V2+2）

（2）酶+旧_,（一2）2

【答案】⑴2（2）3百

【解析】

【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果;

（2）首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

【详解】解：（1）原式=2正-2-2血

=—2

⑵原式=2+36一2

=3A

【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算

一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按

照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

18.已知：如图，点B,F,C,E在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BF=EC.求证：AABC义ADEF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】由已知条件B,F,C,E在一条直线上、BF=EC,可以推出BC=EF,根据三边对应相等的三角形全等进

行判定即可.

【详解】：BF=EC,

BF+FC=EC+FC,

即BC=EF,

在^ABC和^DEF中，

AB=DE,

<AC=DF,

BC=EF

：.AABC^ADEF.

【点睛】本题主要考察了三角形全等的判定定理，熟悉掌握运用三角形全等的判定定理是解题的关键.

19.解方程:

x-1x

【答案】x=2.

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】解：去分母得：P2x+2=x2-x,

解得：x=2,

经检验：x=2是方程的解，

所以42是原方程的解.

【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

20.己知：AABC.求作：射线BM,使它平分NABC,交AC于点M.（保留作图痕迹，不要求写作法，指明结

果）

【答案】见解析

【解析】

［分析］根据尺规作图-作角平分线的步骤作出图形即可.

【详解】解：如图，射线BM就是所求作的角平分线.

【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线，熟练掌握作角平分线的步骤是解答的关键.

21.已知：如图，点A,D,C在同一直线上，AB//CE,AC=CE,/B=/CDE.求证：BC=DE.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行线的性质，得到内错角相等，即NA=NQCE,再用A4S证明AABC丝再根据全等

三角形的对应边相等即可证明结论.

详解】证明：•••AB〃CE,

•1.ZA=ZDCE,

在△ABC和△CDE中，

ZB=ZCDE

<ZA=ZDCE,

AC^CE

AABC^ACDE(AAS),

BC=DE.

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的性质.

Ix2

22.先化简，再求值：—7—~~^~2—7----------7，其中工=百.

x2-lx2-2x+1x+1

【答案】一,，—立

X3

【解析】

【分析】首先将原式分子分母因式分解，先算除法，再算减法，最后把x的值代入进行计算即可.进而化简求出答

案.

详解】解：原式.X_2x+l———

X-1XX+1

1(1)2__2

(x+l)(x-l)XX+1

x-12

x(x+l)x+1

x-12x

-x(x+l)x(x+l)

X

当X=6时，原式=一3

3

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

23.口袋里有除颜色外都相同的4个球，其中有红球、白球和蓝球.甲乙两名同学玩摸球游戏.规定：无论谁从口

袋里随意摸出一个球，摸到红球，算甲赢；摸到白球，算乙赢；摸到蓝球，不分输赢.每一次摸球，根据球的颜色

决定输赢后，将球放回口袋里搅匀后下次再摸球.设计下列游戏：

(1)要使甲、乙两人赢的可能性相等，口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个？

(2)要使甲赢的可能性比乙赢的可能性大，口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个？

【答案】(1)红球1个，白球1个，蓝球2个：(2)红球2个，白球1个，蓝球1个

【解析】

【分析】(1)根据已知条件，口袋里的红球、白球、蓝球至少各有1个，余下一个球的颜色不确定，要使甲、乙

两人赢的可能性相等，则摸到红球和白球的概率相等，依此即可得到口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个.

(2)根据已知条件，要使甲赢的可能性比乙赢的可能性大，则摸到红球的概率比摸到白球的大，又因为口袋里的

红球、白球、蓝球至少各有1个，依此即可得到口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个.

【详解】(1)要使甲乙两人赢的可能性相等，即红球白球数量相等，所以余下一个应该是蓝球，

二口袋里应该放红球1个、白球1个、蓝球2个；

(2)要使甲赢的可能性比乙大，即红球比白球多，则余下一个应该是红球,

，口袋里应该放红球2个，白球1个，蓝球1个.

【点睛】本题考察了概率公式，解题的关键是找准已知条件，用概率公式求概率.

24.如图，在AABC中，AB=AC,ZA=40°,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,连接BD.

（1）依题意补全图形；

（2）求NDBC的度数.

【答案】（1）见解析；（2）30°

【解析】

【分析】（1）依题意作出线段AB的垂直平分线即可；

（2）由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求得/ABC=70°,再根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB,

然后根据等腰三角形的性质求得NABD=/A=40。，进而可求得/DBC的度数.

【详解】（1）如图，直线DE为线段AB的垂直平分线；

(2)VAB=AC,ZA=40°,

/.ZABC=70°,

：DE垂直平分AB,

.\DA=DB.

；./DBA=/A=40°,

，ZDBC=ZABC-ZDBA=70°-40°=30°.

【点睛】本题考查基本作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定

理，熟知线段垂直平分线上的点到线段端点的距离相等是解答的关键.

25.如图，在△ABC中，AC=2AB,AD平分NBAC,延长CB到点E,使BE=BD,连接AE.

（1）依题意补全图形；

（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明.

【答案】（1）见解析；（2）AE=CD,见解析

【解析】

【分析】（1）直接延长CB到点E,使BE=BD即可；

（2）延长至点口，使得跖=AB，连接。E，可证得八钻石且BD，则A£=ED，再通过证明

△E4£＞也△C4D,可得到FD=C。，从而得到A£=CD即可.

【详解】（1）如图所示：

（2）如图,

判断：AE=CD

证明如下：

延长AB至点F，使得防=AB，连接。尸

在△ABE和△F8O中，

AB=FB

'：<NABE=ZFBD

EB=DB

二AA5E丝AFBD

AE=FD

<•,BF=AB

AF^2AB

；AC-2AB

：.AF^AC

/.ZFAD=ZCAD

在△E4£>和ACAD中，

-AF=AC

•：<NFAD=ZCAD

AD=AD

二△E4OgACAD

FD=CD

又：AE=FD

：.AE=CD

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键.

26.中，ZBAC=90°,AB=AC.

(1)如图1,点。为8c边上一点，连接A。，以AD为边作心/XADE,NZM£=9()°,AD=AE，连接

EC.直接写出线段8。与CE的数量关系为—，位置关系为一.

(2)如图2,点Z)为3c延长线上一点，连接AO，以AD为边作出△ADE,ZDAE=90°,AD-AE，连接

EC.

①用等式表示线段BC,DC,EC之间的数量关系为.

②求证：BD2+CD2=2AD2.

(3)如图3,点。为外一点，且NADC=45°,若80=13,8=5,求AO的长.

【答案】(1)BD=CE,BDA.CE；(2)①5C+DC=EC,②见解析；(3)6五.

【解析】

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得到/B=NACB=45°,根据题意可知

ABAC-ADAC=ZDAE-ADAC,即