2021-2022学年江苏省南通市九年级上期末考试数学模拟试卷及答案解析

2021-2022学年江苏省南通市九年级上期末考试数学模拟试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.点（-1,2）关于原点的对称点坐标是（）

A.（-1,-2）B.（1,-2）C.（1,2）D.（2,-1）

2.二次函数），=g-3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A.2、0、-3B.2、-3、0C.2、3,0D.2,0、3

3.如图，将AAOB绕点。按逆时针方向旋转45°后得到△COO,若NAOB=15°,则/

4.对于△ABC与△DEF,可由/A=/£＞和下列某一个条件推得△ABCS/XOEF,这个条件

是（）

AABBCRABDFrABDEnABDE

DEEFDEACACEFACDF

5.如图，△ABC内接于o。，AB为直径，CO为弦，连接AO,若NAOC=55°,则NCA8

A.25°B.35°C.36°D.40°

6.如图，一次函数（AWO）的图象与反比例函数），2=皿（加为常数且"?W0）的图

x

象都经过A（-1,2）,B（2,-1）,结合图象，则不等式h+。＞典的解集是（）

x

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卞'

A.x<-IB.-l<x<0

C.x<-1或0<x<2D.-ICxVO或x>2

7.将抛物线y=7-2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的

解析式为（）

A.y=(元+3)2+3B.y=(x-3)2+1C.y=(x+2)2+lD.y=(x+3)2+l

8.在△ABC中，ZC=90°,AB=\2,sinA=.1,则8c等于（)

3

A.AB.4C.36D.-1_

436

9.某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道.如图所示，污水

水面宽度为60cm,水面至管道顶差距离为10cm,修理人员应准备内径为（）c，〃的

管道.

C.100D.80

10.设双曲线>=区（4>0）与直线y=x交于4W两点（点A在第三象限），将双曲线在第

x

一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A,将双曲线在第三象限的一支沿射线

A8的方向平移，使其经过点8,平移后的两条曲线相交于P、Q两点，此时我们称平移

后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”，

当双曲线y=K（jt>0）的眸径为6时，左的值为（）

X

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A.3B.2C.9D.3

22

二.填空题(共8小题，满分24分，每小题3分)

11.在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1,2,3,4,一人从中随机

摸出一球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标

号之和大于4的概率是.

12.如图，抛物线y=o?与直线y=fer+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),

则关于x的方程a^-bx-c=0的解为.

为6cm,高h为8cm,则圆锥的侧面积为.

14.如图，在平面直角坐标系中，线段A8两个端点的坐标分别为A(2.5,5),B(5,0),

以坐标原点为位似中心，将线段AB在第一象限内缩小得到线段CD,其中点A对应点C,

点5对应点。，若点C的坐标为(1.25,2.5),则点。的坐标为.

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15.已知反比例函数y上1的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是.

X

16.如图，oABCD中，EF//AB,DE：AE=2：3,△BOC的周长为25,则△£>《尸的周长

17.如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,点。是边AC的中点，点、E,F

在边48上，当△£>£尸是等腰三角形，且底角的正切值是匡时,腰长的值是.

5

x的增大而增大，则当x=l时，y的值为.

三.解答题（共10小题，满分96分）

19.（10分）已知抛物线y=/+fet+c经过点A（-1,0）,B（0,-3）,求抛物线的解析式

和顶点坐标.

20.（8分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.请解答：

（1）点A、C的坐标分别是、；

（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C；

（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C所经过的路线长（结果保留n）.

21.（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从

中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状

图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）

22.（9分）如图，A8是。。的切线，切点为B,0A交。。于点C,过点C的切线交A8于

点。.若N8AO=30°,CD=2.

（1）求的半径；

（2）若点P在靛上运动，设点P到直线BC的距离为x,图中阴影部分的面积为》求

y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

23.（8分）如图，己知一次函数y=的图象与反比例函数y=区的图象交于A（4,-

X

2）,B（-2,相）两点.

（1）请直接写出不等式的解集；

X

（2）求反比例函数和一次函数的解析式；

（3）过点A作x轴的垂线，垂足为C,连接BC,求△A8C的面积.

24.（8分）如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底O点处的

俯角为45°,走到乙楼8点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30。，已知48=6〃?，DE=

10m.求乙楼的高度AC的长.（参考数据：72^1.41,如E.73,精确到0.1〃?.）

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25.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=108°,AB2=BD-BC

（1）求证：△ABCs△£）BA；

（2）试证明CA=C£＞；（要求：证明过程注明理由）

26.（7分）某经销商以每千克30元的价格购进一批原材料加工后出售，经试销发现，每天

的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数丫=履+6,且x=35时，，y=55；

x=42时，y=48.

（1）求一次函数y="+/）的表达式；

（2）设该商户每天获得的销售利润为W（元），求出利润W（元）与销售单价x（元/千

克）之间的关系式；

（3）销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润？最大利润是多少元？（销

售利润=销售额-成本）

27.（14分）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中

一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条

线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是

一条“和谐分割线”

（1）判断下列两个命题是真命题还是假命题（填“真”或“假”）

①等边三角形必存在“和谐分割线”

②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”.

命题①是命题，命题②是命题；

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(2)如图2,RtAABC,ZC=90°,NB=30°,BC=2,试探索RtZ^ABC是否存在“和

谐分割线”？若存在，证明并求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由.

(3)如图3,ZVIBC中，/A=48°,若线段CD是△4BC的''和谐分割线”，直接写出

/ACB的度数.

28.(14分)已知：一次函数y=wu+10(w<0)的图象与反比例函数y=K(%>0)的图象

x

相交于A、B两点(4在8的右侧).

(1)当A(8,2)时，求这个一次函数和反比例函数的解析式，以及B点的坐标；

(2)在(1)的条件下，平面内存在点P,使得以A、B、0、P为顶点的四边形为平行

四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；

(3)当机=-2时，设A(a,-2a+10),B(b,-2b+\0')时，直线0A与此反比例函

数图象的另一支交于另一点C,连接BC交)，轴于点。.若理求AABC的面积.

BD2

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2021-2022学年江苏省南通市九年级上期末考试数学模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.点（-1,2）关于原点的对称点坐标是（）

A.（-1,-2）B.（1,-2）C.（1,2）D.（2,-1）

【分析】坐标系中任意一点尸（x,y）,关于原点的对称点是（-x,-y）,即关于原点的

对称点，横纵坐标都变成相反数.

【解答】解：根据中心对称的性质，得点（-1,2）关于原点的对称点的坐标为（1,-

2）.

故选：B.

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相

反数.

2.二次函数y=2?-3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A.2、0、-3B.2、-3、0C.2、3、0D.2、0、3

【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如yua^+bx+c（a、氏c是常数，a#0）的

函数，叫做二次函数.其中x、y是变量，“、氏c是常量，”是二次项系数，6是一次项

系数，c是常数项可得二次项系数是2,一次项系数是0,常数项是-3.

【解答】解：二次函数y=2?-3的二次项系数是2,一次项系数是0,常数项是-3,

故选：A.

【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和

常数项时，不要漏掉符号.

3.如图，将△A08绕点。按逆时针方向旋转45°后得到△（%>/）,若NA0B=15°,则N

A.75°B.45°C.60°D.30°

第8页共31页

【分析】首先根据旋转变换的性质求出NAOC的度数，结合/4。8=15°,即可解决问

题.

【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：/AOC=NBOQ=45。，

：408=15°,

AZAOD=450+15°=60°,

故选：C.

【点评】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的

关键.

4.对于△ABC与△OEF,可由乙4=/。和下列某一个条件推得△A8CSZ\OEF,这个条件

是（）

AAB_BCB_DFc_DED杷_DE

-DE=EF'DE'AC-AC=EF'AC'DF

【分析】根据三角形相似的判定方法：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对

应相等的两个三角形相似.

【解答】解：•；/A=N£>,

.•.AB二一DE--，

ACDF

...AABCS/XDEF,

故选：D.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）

平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相

似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组

对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的

两个三角形相似.

5.如图，ZVIBC内接于48为直径，CO为弦，连接A3,若/AOC=55°,则NCAB

的度数为（）

D

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A.25°B.35°C.36°D.40°

【分析】由圆周角定理得出NACB=90°,NB=NAOC=55°,由直角三角形的性质即

可得出答案.

【解答】解：为。。的直径，

AZACB=90°，

"：ZB=ZADC=55°,

AZCAB=900-ZB=90°-55°=35°；

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆

周角定理是解题的关键.

6.如图，一次函数力=fcr+61W0）的图象与反比例函数y2=@（〃］为常数且，wWO）的图

x

-1）,结合图象，则不等式履+〃>㈣的解集是（)

X

B.-1<x<0

C.x<-1或0<x<2D.-1<XV0或x>2

【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式履+心&的

X

解集.

【解答】解：由函数图象可知，当一次函数yi=fcv+b*WO）的图象在反比例函数

x

（机为常数且机W0）的图象上方时，x的取值范围是：x<-l或04<2,

.,.不等式区+b>皿的解集是x<-1或0cx<2

x

故选：C.

【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求

不等式的解集.利用数形结合是解题的关键.

7.将抛物线y=7-2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的

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解析式为（）

A.产（x+3）2+3B.尸（%-3）2+1C.产（x+2）2+1D.尸（x+3）2+1

【分析】先得到抛物线2的顶点坐标为（0,-2）,再把点（0,-2）向左平移3

个单位长度，再向上平移3个单位长度所得点的坐标为（3,1）,得到平移后抛物线的顶

点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可.

【解答】解：抛物线＞=7-2的顶点坐标为（0,-2）,把点（0,-2）向左平移3个

单位长度，再向上平移3个单位长度所得点的坐标为（3,1）,

所以平移后抛物线的解析式为'=（x+3）2+1,

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式，然

后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题.

8.在△48C中，ZC=90°,48=12,sinA=A,则BC等于（）

3

A.AB.4C.36D.-L

436

【分析】根据正弦的定义列式计算即可.

【解答】解：在△ABC中，NC=90°,sinA=屁，

AB

•.•BC_1,

123

解得，BC=4,

故选：B.

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边。与斜边c的比叫做/A

的正弦是解题的关键.

9.某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道.如图所示，污水

水面宽度为60c〃i,水面至管道顶差距离为10cm,修理人员应准备内径为（）。"的

B.5073C.100D.80

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【分析】连接0A作弦心距，就可以构造成直角三角形.设出半径弦心距也可以得到,

利用勾股定理就可以求出了.

【解答】解：如图，过。作OCLAB于C,连接A0,

.,.AC=1B=JLX60=30,

22

CO=AO-10,

在RtZXAOC中，AO2=AC1+OC2,

AO2=302+(AO-10)2,解得AO=50cm.

内径为2X50=100cm.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解

答此题的关键.

10.设双曲线》=四*>0）与直线y=x交于A3两点（点A在第三象限），将双曲线在第

x

一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A,将双曲线在第三象限的一支沿射线

48的方向平移，使其经过点3,平移后的两条曲线相交于P、。两点，此时我们称平移

后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，尸。为双曲线的“眸径”，

当双曲线y=K（后>0）的眸径为6时，%的值为（）

X

A.3B.2C.9D.3

22

【分析】以PQ为边，作矩形PQQ'P'交双曲线于点P'、Q',联立直线48及双曲

线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点尸的坐

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标（点P在直线y=-x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点4、8和P的坐标

可得出点P'的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一

次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：以PQ为边，作矩形P。。'P'交双曲线于点尸‘、Q',如图所示.

/

y=x

联立直线A8及双曲线解析式成方程组，1卜，

yj

X

Xi=_VkfX2=Vk

解得：l—L

yi=-Vk（y2=Vk

...点A的坐标为（-\£,-、&）,点8的坐标为Vk）e

・・・尸。=6,

・・・。尸=3,点P的坐标为（——"2.,—勺2）.

22

根据图形的对称性可知：PP'=A8=QQ',

二点尸'的坐标为（-返24，之叵+24）.

22

又丁点P'在双曲线y=K上，

x

/.（-迥+2瓜）•（迎2瓜）=k,

22

解得：仁旦.

2

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特

征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点P'的坐标

是解题的关键.

二.填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11.在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1,2,3,4,一人从中随机

摸出一球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标

第13页共31页

号之和大于4的概率是1.

-_8-

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的

小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：画树状图得:

开始

1234

/TV./TVx

1234123412341234

和234534564S675678

•.•共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，

...两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是：12=1.

168

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

12.如图，抛物线y=o?与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),8(1,1),

则关于x的方程-bx-c=0的解为xi=-2,*2=1.

【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组y=ax的解为

y=bx+c

,于是易得关于x的方程--加-c=0的解.

丫=1

1=4y2

【解答】解：:抛物线y=o?与直线y=fex+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,

1),

...方程组y=ax-的解为广一，

y=bx+c/1=4[y2=l

即关于x的方程or2-bx-c=0的解为xi=-2,X2=l.

故答案为xi—~2>X2-1.

【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数>=，储+法+。QW0)的顶点坐标是(-

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2

a,4ac-b),对称轴直线》=-a.也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点

2a4a2a

问题.

13.如图，圆锥的底面半径r为6c勿3高"为8c加，则圆锥的侧面积为60TTC〃72.

【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果.

【解答】解：r=6,

可设圆锥母线长为/,

由勾股定理，/=482+62=10,

圆锥侧面展开图的面积为：S恻=』X2X6nX10=60n,

2

所以圆锥的侧面积为60ITCW2.

故答案为：60TTOT2;

【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线

长即可.

14.如图，在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(2.5,5),B(5,0),

以坐标原点为位似中心，将线段在第一象限内缩小得到线段CD,其中点A对应点C,

点B对应点力，若点C的坐标为(1.25,2.5),则点。的坐标为(2.5,0).

【分析】利用点A和点C的坐标之间的关系得到线段AB缩小工得到线段CD,然后确定

2

D点坐标.

【解答】解：•••将线段AB缩小得到线段CD,点A(2.5,5)的对应点C的坐标为(1.25,

2.5),

二线段AB缩小工得到线段CD,

2

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.•.点。的坐标为（2.5,0）.

故答案为：（2.5,0）.

【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中

心，相似比为公那么位似图形对应点的坐标的比等于％或-k.

15.已知反比例函数y上1的图象在第二、四象限内，那么已的取值范围是.

x

【分析】根据左<0时，图象是位于二、四象限即可得出结果.

【解答】解：由题意可得

则&V1.

故答案为：Z<1.

【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（l）A>0时.，图象是位于一、三象限.（2）

%<0时，图象是位于二、四象限.

16.如图，QABCZ）中，EF//AB,DE：AE=2：3,△BOC的周长为25,则△OEF的周长

【分析】根据平行四边形的性质△ABO丝△8OC,求得△ABD的周长，利用三角形相似

的性质即可求得的周长.

【解答】解：,：EF//AB,DE：AE=2：3,

工ADEFsADAB,

•DEDF2

•----z:---------,

DADB5

.♦.△OE/与△A8O的周长之比为2：5,

又•••四边形ABCD是平行四边形，

：.AB^CD,AD=BC,BD=DB,

：./XABD^/XBDC（SSS）,△3£>C的周长为25,

ZVIB。的周长为25,

.♦.△OEF的周长为10,

故答案为：10.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的周长比与相似比的关

第16页共31页

系是解题的关键.

17.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,点。是边AC的中点，点E,F

在边A8上，当4DEF是等腰三角形,且底角的正切值是乌时,/\DEF腰长的值是Ml

5-10

嘴一

分三种情况：①当。E=。尸时，②当ED=EF时，作EN_LO产于N,③当尸E=F。时,

作FGLOE于G；由等腰三角形的性质、三角函数定义和勾股定理即可得出答案.

【解答】解:VZC=90°,AC=4,BC=3,

,",AB=V32+42=5,

:点。是边AC的中点，

:.AD=1AC=2,作QM_LAB于M,如图1所示：

2

,.,sinA=^^=I^,

ABAD

即3=理，

52

旦，

5

分三种情况：

①当DE=DF时,

tanZDFE=^-=—,

FH5

/.Xg=g，

4452_

"E=6=YDM+FH2=Jc|)2+c|)2=当落;

②当EO=EF时，作EN_LQF于N,如图2所示：

由①得：FM=S,。/=型41；

5210

第17页共31页

"：EN1.DF,

20

VtanZ£FD=M=A,

FN5

：.EN=^.FN=^GL,

525_________

ED=EF=I）2+（）2=1^1；

V25Jk20）100

③当尸E=F£）时，作尸G_LOE于G,如图3所示:

则EG=DG,

同①得：EM=3,

_210

:.EG=

20

tanZDEF=^-=—,

EG5

GF=AEG=3741,

525___________

EF=J（盟H）2（MI）2=卫1；

V25）120}100_

综上所述，当△QEF是等腰三角形，且底角的正切值是匡时，△OEF腰长的值是色叵或

510

123.

loo"

故答案为：Ml或」翳.

10100

B

第18页共31页

B

M

图1

【点评】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握勾

股定理和三角函数定义，进行分类讨论是解题的关键.

18.已知二次函数＞=4,-加叶5,当xW-2时，y随x的增大而减小；当x》-2时，y随

x的增大而增大，则当x=l时，v的值为25.

【分析】因为当xW-2时，y随x的增大而减小；当x2-2时，y随x的增大而增大，

那么可知对称轴就是x=-2,结合顶点公式法可求出川的值，从而得出函数的解析式，

再把x=l,可求出y的值.

【解答】解：•••当xW-2时，y随x的增大而减小；当x2-2时，y随x的增大而增大,

二对称轴x=--=-二坦=-2,解得m=-16,

2a8

...y=4/+16x+5,那么当x=l时，函数y的值为25.

故答案为25.

【点评】本题考查了函数的性质，利用二次函数的增减性得出对称轴，从对称轴入手进

行求解是关键.

三.解答题(共10小题，满分96分)

19.(10分)已知抛物线y=7+6x+c经过点A(-1,0),B(0,-3),求抛物线的解析式

和顶点坐标.

【分析】把A(-1,0),B(0,-3)代入y=/+6x+c解方程组即可得到结论.

【解答】解：把A(-1,0),B(0,-3)代入y=/+bx+c得，［-b+c=0,

1c=_3

解得：尸2,

Ic=_3

抛物线的解析式为y=7-2x-3,

'."y—x1-2x-3=(x-1)2-4,

.♦.顶点坐标为(1，-4).

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定

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系数法求函数的解析式的方法是解题的关键.

20.（8分）已知aABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.请解答：

（1）点A、C的坐标分别是（1,4）、⑸2）；

（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△48C；

（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C所经过的路线长（结果保留TT）.

【分析】（1）结合直角坐标系可直接写出点A和点C的坐标.

（2）根据旋转中心为点A、旋转方向是逆时针、旋转角度为90°可找到各点的对应点,

顺次连接即可.

（3）所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的1圆.

4

【解答】解：（1）点A坐标为（1,4）；点C坐标为（5,2）；

故答案为：（1，4）；（5,2）；

（2）如图所示，/XAB'C即为所求；

（3）所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的工圆,

4

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，经过的路线长为：.InX2x^22+42=^K-

【点评】此题考查了作图-旋转变换，解答本题的关键是仔细审题得到旋转的三要素，

得到各点的对应点，另外要熟练掌握弧长的计算公式.

21.（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从

中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状

图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）

【分析】画出树状图即可解决问题.

【解答】解：画树状图为：

4

共有16种等可能的结果数，其中红色和蓝色的结果数4,

所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率=_匕=上.

164

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃,

再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或8的概率.

22.（9分）如图，A8是。0的切线，切点为B,0A交。。于点C,过点C的切线交A8于

点。.若/54。=30°,CD=2.

（1）求。。的半径；

（2）若点P在金上运动，设点P到直线BC的距离为x,图中阴影部分的面积为y,求

y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

【分析】（1）连结0B,根据切线长定理和切线的性质得到DB=DC=2,ZABO=ZACD

=90°,则AD=28O=4,AB=AD+BD=6,在RtaAOB中，根据含30度的直角三角

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形三边的关系可计算出08=叵8=2«；

3

（2）根据扇形面积公式5=迎工1求出扇形A08的面积，得到答案.

360

【解答】解：（1）连结OB,如图，

「AB、CO是。。的切线，

：.DB=DC^2,OBLAB,CDLOA,

；.NABO=乙4。=90°,

VZBAO=30°,

：.AD=2CD=2BD,

：.AD=4,AB=AD+BD=6,

：.OB=^AB=2班,

3

即。。的半径为2

(2)VZBAO=30°,

/.ZBOC=60°,

•••点尸到直线BC的距离为x,

.♦.△PBC的面积为工X2«Xx=«r,

2

弓形BC的面积=扇形COB的面积-△COB的面积

6QX7TX(2V3)2

=X2

―360-7V3X3

=2兀-3A/^，

当点P到BC的垂线经过圆心。时，其值最大，即2«+3,

二自变量x的取值范围是0WxW2娟+3.

【点评】本题考查的是切线的性质，扇形面积的计算和圆周角定理，掌握扇形面积公式

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和切线的性质是解题的关键.

23.(8分)如图，已知一次函数y=-x+"的图象与反比例函数)，=K的图象交于A(4,-

X

2),B(-2,加两点.

(1)请直接写出不等式-x+〃wK的解集；

X

(2)求反比例函数和一次函数的解析式；

(3)过点A作x轴的垂线，垂足为C,连接BC,求△A8C的面积.

【分析】(1)根据A、B的横坐标，结合图象即可得到不等式-x+〃wK的解集；

x

(2)根据待定系数法即可求得；

(3)根据三角形面积公式求得即可.

【解答】解：(1)由图象可知：不等式-X+〃WK的解集为-2Wx〈0或x24；

X

(2)•.•一次函数y=-x+〃的图象与反比例函数y=区的图象交于A(4,-2),B(-2,

X

m)两点.

，k=4X(-2)=-2m,-2=-4+n

解得加=4,k=-8,〃=2,

反比例函数和一次函数的解析式分别为尸-"y=-x+2;

X

⑶S«MBC=/X2X(4+2)=6・

【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函

数的解析式，三角形面积等，数形结合是解本题的关键.

24.(8分)如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶4点处看甲楼楼底。点处的

俯角为45°,走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°,已知AB=6m,DE=

\0m.求乙楼的高度AC的长.(参考数据：&F.41,“F.73,精确到0.1,".)

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甲0C乙

【分析】过点E作EFLAC于F,得出EF=C。，CF=DE=\O,设AC=xm得出C£>

=EF=xm,BF=(x-16)m,在RtaBE/中，根据tan/EBF=22,代值计算即可求

BF

出x的值.

【解答】解：如图，过点E作EFLAC于凡则四边形CDEF为矩形，

：.EF=CD,CF=£>E=10,

设AC=x%，则CDnE/nxm,BF=(x-16)m,

在RtZYBEF中，Z£fiF=60°,tan/EBF=更，

BF

，x=24+8<\/"^=37.8,〃

答：乙楼的高度AC的长约为378”.

甲DC乙

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构

造出直角三角形是解答此题的关键

25.(10分)如图，在△A3C中，AB=AC,ZBAC=108°,AB2^BD'BC

(1)求证：/\ABC^/\DBA；

(2)试证明C4=CZ)；(要求：证明过程注明理由)

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A

【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可判断.

（2）证明NC4O=NCD4=72°即可.

【解答】（1）证明：•.•4B2=BO・8C,

•••-A--B--BC,

DBAB

△ABCs/VJBA.

（2）证明：'：AB=AC,NBAC=108°,

/.ZB=ZC=36°（等边对等角），

V^ABC^/^DBA（己证）

：.ZBAD=ZC=36°（相似三角形的对应角相等）

AZCAD=72°（角的和差定义）

/.ZCDA=180°-NC-NCAD=72°（三角形内角和定理），

/.ZAD