2022年中考数学总复习习题-3.4第2课时二次函数性质的综合应用

第2课时二次函数性质的综合应用1.已知二次函数y=3ax2-6ax+c(a>0)的图象上有两个不重合的点A(m,y1),B(n,y2).若y1=y2,则点P(m,n)可能在下列哪个一次函数图象上 (B)【解析】若y1=y2,则3am2-6am+c=3an2-6an+c,整理得a(m+n)(m-n)=2a(m-n).∵a>0,且点A,B不重合,∴m≠n,∴m+n=2,即n=-m+2,∴点P(m,n)可能在第一、二、四象限.2.(2021·合肥蜀山区三模)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是 (D)A.只有一个交点,且它位于y轴的右侧B.只有一个交点,且它位于y轴的左侧C.有两个交点,且它们位于y轴的两侧D.有两个交点,且它们位于y轴的右侧3.(2021·合肥蜀山区二模)在平面直角坐标系中,直线y=mx+n与x轴、y轴分别相交于点A(-10,0),B(0,5),已知抛物线y=ax2+bx经过点A,且顶点C在直线y=mx+n的上方,则a的取值范围是 (A)A.a<-0.1 B.a>-0.1且a≠0C.a<0.1且a≠0 D.a>0.1【解析】将点A(-10,0),B(0,5)代入y=mx+n,可得直线为y=12x+5.∵抛物线y4.已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A,B两点,C是线段AB上的一个动点,D是抛物线上的一个动点,且CD平行于y轴.在移动过程中,CD的最大值为2.

5.已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3的图象与函数y=-x2+6x的图象相交于y轴上一点,则m=-1或3.

6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列判断:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),(-4,y2)是抛物线上两点,则y1>y2.其中正确的判断是 (B)A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④7.如图,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A,B两点,且点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3,则以下结论:①抛物线y=ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点;②当x>0时,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而增大;③AB的长度可以等于5;④△OAB有可能成为等边三角形;⑤当-3<x<2时,ax2+kx<b.其中正确的结论是 (B)A.①② B.①②⑤ C.②③④ D.①②④⑤8.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,过点B,C作一条直线l.(1)∠ABC的度数是45°;

(2)点P在线段OB上,且点P的坐标为(2,0),过点P作PM⊥x轴,交直线l于点N,交抛物线于点M,则线段MN的长为2.

【解析】(1)当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,∵点A在点B的左侧,∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),当x=0时,y=-3,∴点C的坐标为(0,-3),∴OB=OC,∴∠ABC=45°;(2)设直线l的函数表达式为y=kx+b,根据题意得3k+b=0,b=-3,解得k=1,b=-3,∴直线l的函数表达式为y=x-3.当x=2时,y=x-3=-1,∴点N的坐标为(2,-1);当x=2时,y=x2-2x-3=29.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式;(2)连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S,求S关于t的函数表达式,并求当S最大时点P的坐标.解:(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c,得0=-1-∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.(2)连接OP.∵点P的横坐标为t,∴点P的纵坐标为-t2+2t+3,由(1)知点C的坐标为(0,3),∴OC=3.∵点B的坐标为(3,0),∴OB=3,∴S=S△BOP+S△OCP-S△OBC=12∴当t=32∴当S最大值,点P的坐标为3210.在平面直角坐标系中,抛物线y=tx2-(2t+1)x+t-5与x轴有交点.(1)求t的取值范围.(2)若t为取值范围内的最小的整数,①直接写出该抛物线的表达式;②将此抛物线平移,使平移后的图象经过点(0,0),设平移后的抛物线对应的表达式为y=a(x-h)2+k,当x<3时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.解:(1)∵抛物线y=tx2-(2t+1)x+t-5与x轴有交点,∴关于x的方程tx2-(2t+1)x+t-5=0有实数根,∴t解得t≥-124且t≠0(2)由题意得t=1.①该抛物线的表达式为y=x2-3x-4.②由题意得a=1.∵当x<3时,y随x的增大而减小,∴h≥3.∵平移后的图象经过点(0,0),∴0=(0-h)2+k,即k=-h2,∴k≤-9.11.抛物线y=(x-k)2-2(k-1)2(k>0)的对称轴为直线l,抛物线的顶点为A.(1)判断抛物线y=(x-k)2-2(k-1)2(k>0)与x轴的交点情况;(2)直线y=k2x与抛物线交于P,Q两点,与抛物线的对称轴l交于点D,D恰好是OQ的中点,M为直线y=k2x下方抛物线上一点,求△PQM解:(1)y=(x-k)2-2(k-1)2=x2-2kx-k2+4k-2,Δ=8(k-1)2,当k=1时,Δ=0,抛物线与x轴有一个交点;当k≠1时,Δ>0,抛物线与x轴有两个交点.(2)∵抛物线的表达式为y=(x-k)2-2(k-1)2(k>0),∴点D的横坐标为k.∵D是OQ的中点,∴点Q的横坐标为2k.∵点Q在直线y=k2x上,∴点Q的坐标为(2k,k2)把点Q(2k,k2)代入y=(x-k)2-2(k-1)2,得k2=(2k-k)2-2(k-1)2,解得k1=k2=1,∴y=x2-2x+1,则x2-2x+1=12如图,过点M作MN⊥x轴,交PQ于N,设点M的坐标为(m,m2-2m+1)12∴MN=12m∴S△PQM=12∵-3412.[一题多解]在平面直角坐标系中,将抛物线C1:y=ax2(a>0)平移到顶点P恰好落在直线y=-x-3上,得到抛物线C2,且抛物线C2过直线与y轴的交点A.设此时抛物线顶点的横坐标为h(h>0).(1)用含h的代数式表示a.(2)如图,矩形OBCD的顶点D,B分别在x轴和y轴上,与抛物线交于E,F,G三点.若GE=2,CF=2EC=2t,连接FG得到△EFG的面积为2,求抛物线C2的表达式.解:(1)设点P的坐标为(h,-h-3),∴抛物线C2的表达式为y=a(x-h)2-h-3.∵抛物线C2过直线y=-x-3与y轴的交点A(0,-3),∴a(0-h)2-h-3=-3,∴a=1h(2)解法1:∵GE=2,CF=2EC=2t,△EFG的面积为2,∴12GE·FC=12×2·∵抛物线C2的对称轴为直线x=h,∴可设点E的坐标为(h+1,y0),则点C的坐标为(h+2,y0),点F的坐标为(h+2,y0+2).由(1)知抛物线C2的表达式为y=a(x-h)2-h-3,将点E,F代入,得y解得a∴抛物线C2的表达式为y=23解法2:由(1)可知a=1h∴可设抛物线的表达式为y=1h(x-h)2-h-3∵