率无效塑性变形流动法则的推导

率无效塑性变形流动法则的推导

1928年，弹性位势函数可以应用于mihs类的弹性变形矩阵扩展，该函数可以提出棕榈位势的概念。它的数学形式是。˙εp=˙λ∂g∂σ.ε˙p=λ˙∂g∂σ.式中g为塑性位势函数.当g=f时,上式称为相关流动法则;当g≠f时,称为非相关流动法则.一般认为,对弹塑性耦合材料或内摩擦材料,应采用非相关流动法则.对于非相关流动法则中塑性势函数,学者们尝试将其引入到损伤等其他方面,如文献,但至今仍未有完全一致的看法,而且不能得到比较系统、方便的构造方法;相反,由于塑性势函数的数学形式与弹性势函数相同,不能反映塑性形变的物理本质,其物理意义不明确的弱点无法回避.同时,有学者提出,在弹塑性耦合的情况下,可以避免构造“非相关”的塑性势函数;更有学者提出塑性势理论并非由固体力学理论推导得到,仅为一条假设,对摩擦材料,该理论有不可克服的矛盾.本文比较、分析了由能量原理和热力学方法得到的流动法则的形式,旨在对“非相关”流动法则的意义和引入塑性势函数的必要性进行讨论.1塑性耗散最大法能量原理是任何过程均遵守的普遍原理,由能量原理来建立塑性本构方程和流动法则,得出的结果具有很大的普遍性.最大耗散法则从能量的角度描述了材料屈服后应力应变状态的特性.最大耗散法则最初由vonMises针对刚塑性固体提出,之后Mandel将其推广到了弹塑性的情形,Hill也曾经独立地推导出了这个法则.最大塑性耗散法则可以表述为:当塑性应变率为正(负)时,真实应力大于(小于)任何卸载后得到的应力.表达式为(σ-σ*):˙εp≥0.(1)(σ−σ∗):ε˙p≥0.(1)其中˙εε˙p表示塑性应变增量张量,σ为真实应力张量,σ*为当前屈服面上或屈服面内的任一点的应力张量.在塑性过程中,单位体积耗散能量增量为Dp=σ:˙εp‚Dp=σ:ε˙p‚代入式(1)可得Dp≥σ*:˙εp‚Dp≥σ∗:ε˙p‚即塑性耗散达到最大值:Dp=σ:˙εp→max.Dp=σ:ε˙p→max.同时,材料的应力状态还应该满足屈服条件f=0,即还受到屈服条件约束.所以,耗散最大法则最终成为以下的约束优化问题:min.-Dp=-σ:˙εpsub.f=0.min.−Dp=−σ:ε˙psub.f=0.或表示为Lp≥-Dp+˙λf→min,式中˙λ≥0为Lagrange乘子.由Kuhn-Tucker优化条件可得∂Lp∂σ=-εp+˙λ∂f∂σ=0,即˙εp=˙λ∂f∂σ.˙λ成为塑性理论中的塑性乘子,可根据该优化问题的约束条件确定.上面的推导,可推广到考虑内变量和弹塑性耦合的情形下.在确定耗散材料的本构时,应力与历史有关,可观察的外部变量之间不存在状态方程,必须补充反映材料在变形过程中内部结构变化的内部状态变量,才能确定材料的状态,形成状态方程.考虑到内部变量的存在,单位体积的耗散率为Dp=σ:˙εp+χ:˙α.其中:χ、α分别为类应力内变量张量和类应变内变量张量.通过与以上类似的步骤,可以得到以下结果:˙εp=˙λ∂f∂σ,˙α=˙λ∂f∂χ.对混凝土等材料,在加载过程中表现出弹塑性耦合的特性,此时,总应变不能分解为弹性应变εe和塑性应变εp两个部分,而应分解为可恢复应变εr和不可恢复应变εi两个部分.此时,通过与前述相同的推导,可以得到弹塑性耦合时的塑性本构模型:˙εi=˙λ∂f∂σ,˙α=˙λ∂f∂χ.可以看出,由塑性耗散最大法则推导出的本构模型中,不会出现非相关流动法则.要出现非相关流动法则,就必须不使用屈服函数为约束条件,采取另一个“位势函数”作为约束条件.当这个位势函数不包含屈服条件时,意味着允许材料在加载过程中不满足屈服条件,这是值得商榷的.2广义应力空间中的屈服函数及相关联的流动法则记Dp≡θ˙si=χ:˙α为耗散函数,对率无关塑性变形,由于材料无内蕴时间,Dp必为˙α的一阶齐次函数,由Euler定理有Dp=∂Dp∂˙α:˙α,由上式和Dp的定义,可以得出χ=∂Dp∂˙α.(2)对上式进行Legendre变换,可以得到˙α=∂Ω∂χ,(3)其中Dp+Ω=χ:˙α.如前所述,Dp是˙α的一阶齐次函数,Legendre变换是奇异的,变换后函数值为0:f(α,χ)=0.(4)更进一步,由于转换不是一对一的,式(2)的对偶式不唯一,因此,对某些乘子˙λ,可以将式(3)写为˙α=˙λ∂f∂χ,(5)并有∂Dp∂α=-˙λ∂f∂α.式(4)和式(5)就是广义应力空间中表述的屈服函数和相关联的流动法则.文献推导了当内变量α取为塑性应变εp时,χ和σ之间的关系为χ=σ-ρ(α)‚其中ρ(α)为“背应力”,为随动硬化模型中屈服面中心点的迁移张量.将其代入式(4),可以得到真实应力空间中的屈服函数,记为ˉf(α,σ).利用热力学的知识,最终可以得到˙εi=˙λ∂ˉf∂σ.(6)对内摩擦材料,耗散函数与应力有关.此时,式(3)仍然成立,式(4)成为f(σ,α,χ)=0,转化到真实应力空间后,得到下面的流动法则:˙εi=˙λ∂ˉf∂σ+∂Dp∂σ.(7)式(6)表明,对非内摩擦材料,已知屈服函数时,就可完全确定流动法则;式(7)则表明,对于内摩擦材料,流动法则分解为两个部分,不可恢复应变不再正交于真实应力空间中的屈服函数.这解释了为什么流动法则会出现非正交性.但由式(7)可见,不可恢复应变增量与屈服函数仍是“相关”的,而且由真实应力空间中的屈服函数和耗散函数,就可以确定不可恢复应变增量.若采用塑性势函数,并不能简化问题的求解.3流动法则中的熵增信息上述两种方法推导出的流动法则的共同点为不论流动法则是否正交,塑性应变增量总与屈服函数有关,或者说,总是与屈服函数“相关”.在求解的过程中,无需再假设一个塑性势函数,就可以由屈服函数以及耗散函数确定塑性应变增量.同时,两种流动法则表面上也存在一定的差异,当材料为摩擦型材料时,由耗散最大法则得到的流动法则仍是正交的,而由热力学方法得到的流动法则是非正交的.差异的出现是由于两种方法在建立流动法则时,屈服函数的定义空间不同.在由最大耗散法则推导流动法则的过程中,屈服函数是在广义应力空间中定义的,记ˉf为真实应力空间中的屈服函数,将得到的流动法则转换到真实应力空间中,有˙εi=˙λ∂f∂σ=˙λ∂ˉf(σ,α,χ(σ,α))∂σ=˙λ∂f∂σ+˙λ∂ˉf∂x∂x∂σ.其中˙λ∂ˉf∂χ∂χ∂σ=˙α∂2Dp∂˙α∂σ=∂2σ(˙α∂Dp∂˙α).˙λ∂ˉf∂χ∂χ∂σ=∂Dp∂σ,˙εi=˙λ∂ˉf∂σ+∂Dp∂σ.由于Dp是α﹒的一阶齐次函数,有最终可以得到由此可以看出,两种方法得到的流动法则是一致的.VonMises提出的塑性势理论,塑性位势的数学表达式与弹性位势的表达式相同,无法仅从其表达式区别它所包含的物理信息,且无法将塑性应变的物理本质———热力学熵增从其数学形式上与弹性位势区别开来.由本文介绍的两种方法得到的流动法则,按照能量原理或热力学原理推导而来,具有必要的理论基础,且由于其表达式中含有耗散函数,因此明确包含了塑性过程中的熵增信息,可以克服塑性势理论意义不清的缺点.4模拟结果的讨论对率无关的塑性变形过程,在广义应力空间中得到的流动法则,总是具有正交性.当耗散函数与应力显式相关