麦克斯韦方程的积分形式

麦克斯韦方程的积分形式

麦克斯韦方程是电磁学中遵循的基本原则。它不仅揭示了磁体的内部作用和运动，还理论上预测了磁体的存在，并指出磁体可以存在于外部。这加深了学生对磁体材料的理解。在大学课程中，通常只提供麦克斯韦方程的积分形式。{∮SD⋅dS=∫VρdV∮lE⋅dl=∫S-∂B∂t⋅dS∮SB⋅dS=0∮lΗ⋅dl=∫S(j+∂D∂t)⋅dS⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∮SD⋅dS=∫VρdV∮lE⋅dl=∫S−∂B∂t⋅dS∮SB⋅dS=0∮lH⋅dl=∫S(j+∂D∂t)⋅dS学生在应用时,只有在少数对称情况下才能将场变量E和B提出积分号外,应用麦克斯韦方程.在电动力学课程中,需要将麦克斯韦方程改写成适用于空间一点的微分形式.由积分式到微分式通常是由数学公式{∮SA⋅dS=∫V∇⋅AdV∮lA⋅dl=∫S∇×A⋅dS⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∮SA⋅dS=∫V∇⋅AdV∮lA⋅dl=∫S∇×A⋅dS一步导出.这会使一些数学功底较差的学生理解上有困难.本文由麦克斯韦方程的积分形式出发,利用高等数学中的简单极限理论推导出麦克斯韦方程的微分形式,推导过程简单易懂,使学生接受起来更为容易.1散度公式的推导如图1所示,在场空间建立一直角坐标系,取一立方体体积微分元dV,则dV=dxdydz,取立方体中心坐标O′(x、y、z),设中心点电位移D的三个分量为(Dx、Dy、Dz),则在与x轴垂直的两个平面1、2上,D在x轴上的分量为穿过平面1、2的电位移通量为dΦx=(Dx+∂Dx∂xdx2)dydz-(Dx-∂Dx∂xdx2)dydz=∂Dx∂xdxdydzdΦx=(Dx+∂Dx∂xdx2)dydz−(Dx−∂Dx∂xdx2)dydz=∂Dx∂xdxdydz同理可得穿过与y、z垂直面dxdz、dydx的通量为dΦy=∂Dy∂ydxdydzdΦy=∂Dy∂ydxdydzdΦz=∂Dz∂zdxdydzdΦz=∂Dz∂zdxdydz由上面结论可得,通过体积元dV的边界面的电位移通量为dΦ=dΦx+dΦy+dΦz=(∂Dx∂x+∂Dy∂y+∂Dz∂z)dxdydzdΦ=dΦx+dΦy+dΦz=(∂Dx∂x+∂Dy∂y+∂Dz∂z)dxdydz由高斯定理积分式∮SD·dS=∫VρdV,可得∮SD⋅dS=∫VdΦ=∫V(∂Dx∂x+∂Dy∂y+∂Dz∂z)dV=∫VρdV∮SD⋅dS=∫VdΦ=∫V(∂Dx∂x+∂Dy∂y+∂Dz∂z)dV=∫VρdV所以,由上述可得电位移的散度公式为∂Dx∂x+∂Dy∂y+∂Dz∂z=ρ∂Dx∂x+∂Dy∂y+∂Dz∂z=ρ或∇⋅D=ρ(1)∇⋅D=ρ(1)应用同样的方法可推导出磁感应强度的散度公式∇⋅B=0(2)∇⋅B=0(2)2微分形式的推导如图2所示,在场空间建立一直角坐标系,在坐标系中取一与z轴垂直的矩形面积元dS,取矩形中心坐标O′(x、y、z),设中心点磁场强度H的三个分量为Hx、Hy、Hz,则在1～2、3～4边上磁场强度H的y轴分量分别为在2～3、4～1边上磁场强度H的x轴分量分别为Ηx23=Ηx+∂Ηx∂ydy2Hx23=Hx+∂Hx∂ydy2Ηx41=Ηx-∂Ηx∂ydy2Hx41=Hx−∂Hx∂ydy2由环路定理积分式∮lΗ⋅dl=∫S(j+∂D∂t)⋅dS∮lH⋅dl=∫S(j+∂D∂t)⋅dS可得∮lΗ⋅dl=∫Ηy12dy-∫Ηx23dx-∫Ηy34dy+∫Ηx41dx=∫(∂Ηy∂x-∂Ηx∂y)dxdy=∫(j+∂D∂t)⋅dS=∫(j+∂D∂t)⋅dxdyˆz=∫(jz+∂Dz∂t)dxdy∮lH⋅dl=∫Hy12dy−∫Hx23dx−∫Hy34dy+∫Hx41dx=∫(∂Hy∂x−∂Hx∂y)dxdy=∫(j+∂D∂t)⋅dS=∫(j+∂D∂t)⋅dxdyzˆ=∫(jz+∂Dz∂t)dxdy所以∂Ηy∂x-∂Ηx∂y=jz+∂Dz∂t∂Hy∂x−∂Hx∂y=jz+∂Dz∂t同理可得∂Ηz∂y-∂Ηy∂z=jx+∂Dx∂t∂Hz∂y−∂Hy∂z=jx+∂Dx∂t∂Ηx∂z-∂Ηz∂x=jy+∂Dy∂t∂Hx∂z−∂Hz∂x=jy+∂Dy∂t上面三式求和可得磁场强度的旋度公式为∇×Η=j+∂D∂t(3)应用同样的方法可推导出电场强度的旋度公式∇×E=-∂B∂t(4)至此,