专题02全等三角形突破核心考点【知识梳理解题方法专题过关】（原卷版）

专题02全等三角形突破核心考点【聚焦考点+题型导航】考点一全等图形的识别考点二全等三角形的性质考点三添加一个条件使三角形全等考点四全等三角形的判定考点五全等三角形判定的一线三等角模型考点六全等三角形判定的三垂直模型考点七全等三角形判定的倍长中线模型考点八全等三角形的动态问题考点九角的平分线的性质【知识梳理+解题方法】一、全等图形概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.全等图形特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等.二、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.记作:∆ABC≌∆A’B’C’读作：∆ABC全等于∆A’B’C’对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’对应元素的规律:(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；三、全等三角形的判定（重点）一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等备注：1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等.2.全等三角形周长、面积相等.四、证题的思路（难点）五、角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．数学语言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP六、角平分线常考四种辅助线：1.图中有角平分线，可向两边作垂线.2.角平分线加垂线，三线合一试试看.

3.角平分线平行线，等腰三角形来添.

4.也可将图对折看，对称以后关系出现.【专题过关+能力提升】考点一全等图形的识别例题：（2021·吉林·大安市乐胜乡中八年级阶段练习）下列四个选项中，不是全等图形的是（

）A．B．C． D．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市东元七年级阶段练习）下列四组图形中，是全等图形的一组是（）A． B． C． D．2．（2022·全国·八年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（

）A． B．C． D．3．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个考点二全等三角形的性质例题：（2021·四川·东坡区实验八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，则∠C等于（

）A．13° B．23° C．33° D．43°【变式训练】1．（2022·贵州·贵阳市乌当区第三八年级期中）如图，△ABC≌△AEF，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·吉林省实验八年级阶段练习）下列结论中正确的有（

）①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；④全等三角形周长相等；⑤全等三角形面积相等．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）已知△ABC≌△DEF，AB＝3，AC＝4，△DEF的周长为10，则BC的值为______．4．（2022·江西赣州·八年级期中）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝96°，∠BAC＝24°，那么∠AED＝______．考点三添加一个条件使三角形全等例题：（2022·山东·济南市天桥区泺口实验七年级期中）如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需要添加一个条件是_______．（写出一个即可）【变式训练】1．（2022·广东·深圳市布心七年级期末）如图，已知AC=DB，再添加一个适当的条件______，使△ABC≌△BAD．（只需填写满足要求的一个条件即可）2．（2020·北京·垂杨柳八年级期中）如图，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，那么要得到△ABC≌△DEF，可以添加一个条件是________，△ABC与△DEF全等的理由是________．3．（2022·浙江·金华市第五八年级期末）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依据是AAS，需添加的一个条件是_____．4．（2022·湖南·新田县云梯八年级阶段练习）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，只添加一个条件使△ABC≌△AED，你添加的条件是_____．5．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC≌△ADE．（只写出一种即可）考点四全等三角形的判定例题：（2021·江西·鹰潭市余江区正源七年级阶段练习）如图，点B，F，C，E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF．【变式训练】1．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑八年级）如图，A、E、F、C在一条直线上，AF＝CE，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB＝CD，求证：(1)△ABF≌△CDE(2)BG＝DG2．（2020·北京八年级期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，ABDE，∠A=∠D．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若BE=10m，BF=3m，则FC的长度为m．3．（2021·吉林·大安市乐胜乡中八年级阶段练习）如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB=CD，BC=DE．(1)求证：△ABC≌△CDE；(2)将△ABC沿射线AC方向平移得到△，边与边CD的交点为F，连接EF，若EF将CDE分为面积相等的两部分，且AB=4，则CF=考点五全等三角形判定的一线三等角模型例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作，DE交线段AC于E．(1)点D从B向C运动时，逐渐变__________（填“大”或“小”），但与的度数和始终是__________度．(2)当DC的长度是多少时，，并说明理由．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如图1，求证：BD＝CE；(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．2．（2022·全国·八年级）（1）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．（2）应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．3．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．考点六全等三角形判定的三垂直模型例题：（2021·福建·武夷山市第二八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若AD=12，BE=5，求ED的长．【变式训练】1．（2021·天津·八年级期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E．(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝；(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．2．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．3．（2022·广东·河源广赋创新八年级阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于．(1)当直线绕点旋转到①的位置时，求证：①≌；②；(2)当直线绕点旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线绕点旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．4．（2021·北京·东北师范大学附属朝阳八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）考点七全等三角形判定的倍长中线模型例题：（2021·甘肃·庄浪县阳川八年级期中）已知△ABC中，AB=3，AC=4，则中线AD的取值范围是______．【变式训练】1．（2022·广东·深圳市龙岗区丰丽七年级期末）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围；（2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．2．（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．3．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．考点六全等三角形的动态问题例题：（2021·四川·东坡区实验八年级期中）如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A点出发，沿A→C路径向终点C运动；点Q从点B出发，沿B→C→A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P运动时间为_____时，∆PEC与∆QFC全等．【变式训练】1．（2021·贵州·兴义市万峰林民族八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0<t<3）．解答下列问题：（1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值；（2）是否存在某一时刻t，使若存在，求出t的值，并判断此时AP和PQ的位置关系；若不存在，请说明理由．2．（2021·海南华侨八年级期中）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．3．（2021·吉林长春·八年级期中）如图①，线段，过点B、C分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为．（1）当，________，用含a的代数式表示的长为_______．（2）当时，①求证：．②求证：．（3）如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值．考点九角的平分线的性质1．（2022·江苏·南京市金陵河西分校七年级期末）在中，，若，平分交于点，且：：，则点到线段的距离为（

）A． B． C． D．2．（2022·陕西·西大附中浐灞八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，过点D作DF⊥AB于点F，若AB＝4，BC＝6，DF＝2，则AE的长为（

）A．3 B． C． D．3．（2022·重庆市巴渝八年级期中）如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为4，的面积为8，，则的长为_____．