2021-2022学年河北省唐山市遵化一中高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知小鸟是椭圆与双曲线的公共焦点，户是它们的一个公共点，且归国＞|尸耳椭圆的离心率为双曲线

的离心率为02,若|尸耳|=|耳闻，则2+半的最小值为（

)

e\3

A.6+273B.6+2&C.8D.6

4

2.已知i是虚数单位，则复数（）

（If

A.2zB.-2zC.2D.-2

3.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面

（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）

A.1B.0C.百D.272

4.已知.f(x)为定义在R上的奇函数，且满足/(x+4)=/(x),当xe(0⑵时，f(x)=2x2,贝！|K3)=()

A.-18B.18C.-2D.2

5.设函数g(x)=e'+(l—G)x—a(aeR,e为自然对数的底数)，定义在R上的函数/(x)满足/(-%)+/(x)=x2,

且当时，f\x）＜x.若存在+—+且为为函数y=g（x）—x的一个零点，则实数

。的取值范围为（）

、&

A.生+8B.(五,+oo)C.fV^,4-oo)D.——,+00

22

77

6.点。在AABC所在的平面内，|明=|砺|=|反I，|雨=2,|尼卜1,而=4而+〃/(Z/zeR),且

/、IUUHi

42-M=2(MHO),则|8C|=()

7V7

A.-B.—C.7D.Jr7

32

V2r2、1r22

7.设双曲线号—*=1（a>0,。>0）的一条渐近线与抛物线y=f+§有且只有一个公共点，且椭圆'+六=1

的焦距为2,则双曲线的标准方程为（）

A.匚片=1B.r_r=ic.兰一£=iD.二一H=i

43432332

8.设全集U=R，集合M={x|x<l},N={x|x>2},则（d"）cN=（）

A.{x|x>2}B.{x|x>l}C.{x|l<x<2}D.{x|x>2}

9.给出50个数1,2,4,7,lb•••,其规律是：第1个数是1,第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数

大2,第4个数比第3个数大3,以此类推，要计算这50个数的和.现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图

中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能（）

A.i<50；P=P+iB.i<50；P=P+i

C.i<50；p=p+lD.i<5()；p=p+l

10.在AABC中，。为BC中点，且荏=；而，若月+〃/,贝！M+〃=()

11.已知i（l一切）=2+6G为虚数单位，a,beR）,则好等于（）

11

A.2B.-2C.—D.-----

22

12.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

13.在矩形ABC。中，BC=4,M为8C的中点，将AABM和△OCM分别沿AM,DM翻折，使点3与。重合

于点P.若NAPA150。，则三棱锥M-的外接球的表面积为.

14.某次足球比赛中，A，B,C,。四支球队进入了半决赛.半决赛中，A对阵C，8对阵。，获胜的两队进入决

赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.

ABCD

A获胜概率—0.40.30.8

3获胜概率0.6—0.70.5

C获胜概率0.70.3—0.3

。获胜概率0.20.50.7—

则A队获得冠军的概率为.

15.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、8原料2千克；生产乙产品1桶需耗A

原料2千克，8原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,

要求每天消耗4B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的

最大利润是_________元.

16.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高

三年级为12人，则抽取的样本容量为________人.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知直线y=x-l是曲线/(x)=alnx的切线.

(1)求函数/(x)的解析式,

(2)若，K3-41n2,证明:对于任意/〃>0,〃(x)=+/(%)+/有且仅有一个零点.

x=2+cos0

18.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线/的参数方程为〈6,e(。为参数)，以原点。为极点,

y=J3+2J3cos2-

X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=4si〃a

(1)求曲线c的普通方程;

(2)求曲线/和曲线C的公共点的极坐标.

19.(12分)设函数/(x)=lnx-ox,aeR,awO.

(1)求函数/(x)的单调区间;

(2)若函数/(x)=0有两个零点再，X2(X,<X2).

(i)求a的取值范围;

(血)求证随着强的增大而增大.

x\

20.(12分)已知在平面直角坐标系X。)，中，椭圆。的焦点为月(-6,0),工(6,0),加为椭圆。上任意一点，且

|岬|+|加■闾=4.

(1)求椭圆C的标准方程;

⑵若直线/：y=丘+袱左>0,m>0)交椭圆C于P,。两点，且满足磕?分别为直线

PQ,OP,OQ的斜率)，求\OPQ的面积为走时直线PQ的方程.

2

22

21.(12分)已知椭圆E:\+方=l(a>0>0)的左、右焦点分别为耳(一1,0)、耳(1,0),点P在椭圆E上,

P鸟J_f；居且归耳|=3|「闾.

(I)求椭圆E的标准方程;

(II)设直线/:x=J孙+1(〃2£R)与椭圆E相交于A、B两点,与圆炉+/二片相交于。、。两点,求恒郎|8『

的取值范围.

22.(10分)［选修4.5：不等式选讲］

设函数/(x)=U+l|.

(1)求不等式./■(©<5-/(万-3)的解集；

(2)已知关于x的不等式2/(x)+|x+a区x+4在上有解，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

3%

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简二力结合基本不等式即可求解.

【详解】

设椭圆的长半轴长为。，双曲线的半实轴长为"，半焦距为c,

则q=£,4=三,设居|=加

aa

由椭圆的定义以及双曲线的定义可得:

归用+归国=2ana=3+c,\PF^-\PF^2a'a!

【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.

2.A

【解析】

根据复数的基本运算求解即可.

【详解】

442i〜

-----7==—T=2z.

(1-z)2-2z-z2

故选：A

【点睛】

本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.

3.B

【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论.

【详解】

正方体的面对角线长为20，又水的体积是正方体体积的一半，

且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转，

所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，

即最大水面高度为故选B.

【点睛】

本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题.

4.C

【解析】

由题设条件〃x+4)=/(x),可得函数的周期是4,再结合函数是奇函数的性质将“3)转化为/⑴函数值，即可

得到结论.

【详解】

由题意，J.(x+4)=〃x),则函数“X)的周期是4，

所以，/(3)=/(3—4)=/(—1),

又函数”X)为R上的奇函数，且当xe(O,2)时，/(月=2/,

所以，/(3)=/(-1)=一/.⑴=—2.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.

5.D

【解析】

先构造函数T(x)=/(x)-耳/，由题意判断出函数T(x)的奇偶性，再对函数T(x)求导，判断其单调性，进而可求

出结果.

【详解】

构造函数T(x)=〃x)—

因为“T)+/(%)=/,

11

所以T(*)+7'(_*)=/(司―/彳2+/(_*)_5(_*)9-=/(》)+/(_*)_犬2=0,

所以T(尤)为奇函数，

当xWO时，T'(x)=/'(x)-x<0,所以T(x)在(F,0］上单调递减,

所以T(x)在R上单调递减.

因为存在与x/(x)+^->/(l-x)+xj,

所以/(%)+(2/(1_40)+X0，

所以++："(1-％)+：(1-入0)-+叫

化简得T(x0)27(1_4)，

所以玉)41一天)，即/43

令力(x)=g(<x)-x=ex

因为演)为函数y=g(x)-尤的一个零点，

所以〃(X)在时有一个零点

因为当XV；时,〃，(£)="—五<1—&=()，

所以函数〃(力在xK；时单调递减，

a_1

由选项知。〉0,一

a

又因为〃=ea-\[e\—

a=e>09

所以要使力⑴在X45时有一个零点，

只需使=W0,解得日,

所以a的取值范围为，故选D.

.7

【点睛】

本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.

6.D

【解析】

54

确定点。为AABC外心，代入化简得到4=工，/J=~,再根据前=恁-而计算得到答案.

63

【详解】

由阿=|阿=|因可知，点。为AABC外心,

■.1-----»2■♦1------*2]--------------------

则A8A0=-4B=2,ACAO=-AC=-,又AO=/L45+〃AC,

222

AOAB^AAB2+^AC-AB^4A+^AC-AB^2,

所以____________________2____.___.JCD

AOAC=4ABAC+〃4C=AAB-AC+

因为4彳一〃=2,②

54______________

联立方程①②可得几=工，〃=7，ABAC=-1＞因为前=恁一通,

63

所以团2=/？+通2-2而•南=7,即|配1=4.

故选：D

【点睛】

本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.

7.B

【解析】

设双曲线的渐近线方程为y=近，与抛物线方程联立，利用△=(),求出上的值，得到，的值，求出。力关系，进而判

b

9y2

断a/大小,结合椭圆5+=1的焦距为2,即可求出结论.

a~F

【详解】

设双曲线的渐近线方程为y="，

代入抛物线方程得f—乙+g=o,

42

依题意△=-3=0#=土耳，

---^=,a=-^h>b,

by/3

22_______

...椭圆0+}=1的焦距2行万=2，

—b2-b2=-b2=\,b2=3,Q2=4,

33

2)

双曲线的标准方程为匕-工=1.

43

故选:B.

【点睛】

本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.

8.A

【解析】

先求出Q,.M,再与集合N求交集.

【详解】

由已知，^,M=[x\x>l},又N={x|x>2},所以dMcN={x|x>2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.

9.A

【解析】

要计算这50个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.

【详解】

因为计算这50个数的和，循环变量i的初值为1,所以步长应该为1,故判断语句①应为i=i+l,第1个数是1,第2

个数比第1个数大1,第3个数比第2个数大2,第4个数比第3个数大3,这样可以确定语句②为〃=〃+"故本题

选A.

【点睛】

本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.

10.B

【解析】

选取向量通，/为基底，由向量线性运算，求出屁，即可求得结果.

【详解】

BE=AE-AB=^AD-AB,AD=^(AB+AC),

：.BE=-^AB+^AC=AAB+^iAC,

0512

..71=---9U,——f../I+〃=----.

663

故选：B.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.

11.A

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解.

【详解】

/(I—ai)=2+hi9

:.a+i=2+bi,得Q=2,b=1.

:.ab=2・

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题.

12.D

【解析】

试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的！，剩余部分体积是正方体体积的工,所以截

66

去部分体积与剩余部分体积的比值为工，故选D.

5

考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.68万.

【解析】

计算外接圆的半径广，并假设外接球的半径为R,可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据

（PMV

加_1面24。，/?2=—+/即可得解.

I2）

【详解】

由题意可知，MPA.PA,MPLPD,PDcPA=P,

所以可得PM，面PAD，

设AADP外接圆的半径为r,

AD

由正弦定理可得2r,即-------〃=4,

sinZAPDsin150°

设三棱锥M-24。外接球的半径R,

因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，

CPM¥

则4=—+,=1+16=17,

I2）

所以外接球的表面积为S=4%R2=68乃.

故答案为：68万.

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.

14.0.18

【解析】

根据表中信息，可得A胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.

【详解】

由表中信息可知，A胜C的概率为0.3；

若B进入决赛，B胜D的概率为0.5,则A胜B的概率为0.5x04=0.2；

若D进入决赛，D胜B的概率为().5,则A胜D的概率为0.5x0.8=0.4；

由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为P=0.3x(O.5xO.4+().5x0.8)=0.18.

故答案为：0.18

【点睛】

本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.

15.1元

设分别生产甲乙两种产品为X桶，丁桶，利润为z元

x+2y<12

则根据题意可得《2x+y<12

x,y>0且x,yeN

目标函数z=30()x+400y,作出可行域，如图所示

作直线L：3x+4y=0,然后把直线向可行域平移,

由图象知当直线经过A时，目标函数z=300x+400y的截距最大，此时z最大,

尤+2y=12x=4

可得《，即A(4,4)

2%+y=l2y=4

此时z最大z=300x4+400x4=2800,

即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为1.

【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是

解决本题的关键.

16.42

【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

【详解】

设抽取的样本为〃，

45+5+4

则由题意得不=~—,解得“=42.

12n

故答案为：42

【点睛】

本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)/(x)=lnx(2)证明见解析

【解析】

(1)对函数求导，并设切点发(不，%)，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得与=。=1，即可得答

案；

(2)当x充分小时〃(x)<0,当x充分大时/x)>0,可得以x)至少有一个零点.再证明零点的唯一性，即对函数

求导得〃(幻=吁*(9，对机分〃2寸和0<“<焉两种情况讨论，即可得答案.

【详解】

(1)根据题意，f\x)=-,设直线y=x-l与曲线/(x)=alnx相切于点用(毛,%).

X

9=1

根据题意，可得彳小,解之得，%=。=1,

aInx0=x0-1

所以/(x)=lnx.

(2)由(1)可知/?(x)=&+ln尤+*x>0),

则当x充分小时/x)<0,当x充分大时依x)>0,.••〃(、至少有一个零点.

111<1if

Vh\x)------尸+m=mK—r=——

X2yjx16yy/x4,

①若加》上,贝!J"(x)20,以X)在(0,+8)上单调递增，有唯一零点.

16

②若0<〃2<,令/i'(x)=(3-L+m--=0,得〃(x)有两个极值点，

161Jx4J16

/、11

<%2)，％,/.0<X)<16.

.•./7。)在(0,%)上单调递增，在(斗,马)上单调递减，在(％，+00)上单调递增•

嘉+ln%+r.=_"一i+inx1+r，又

.,.极大值为Mx)=…+In玉+，=

，㈤“出+；=茅〉。，

...〃(%)在(0,16)上单调递增,

/./?(%))<7?(16)=lnl6—3+Z<lnl6—3+3-41n2=0,

:.h(x)有唯一零点.

综上可知，对于任意m>0,力(x)=nu-J7+/(%)+/有且仅有一个零点.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论

思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意零点存在定理的运用.

18.(1)x2+(y—2)2=4(2)(2-^/3,—).

【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的转化公式X=pcos0,y=psin0求解.

(2)先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可.

【详解】

(1)•.,曲线C的极坐标方程为O=4sin(9,

p~-4/7sin0,J?!)x2+y2=4y,

即f+(y—2)2=4.

a

x=2+cos2a-2cos2—+1

⑵v2

y=6+2Gcos2—->/3(2cos2—+1)

、22

:.y=6x>x>1

联立/+(y_2)2=4可得Y+3d=4瓜，

x=0(舍)或*=百，

公共点(6,3),化为极坐标(2百，1).

【点睛】

本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一

般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.

19.(1)见解析；(2)G)(«)证明见解析

【解析】

(1)求出导函数r(x)=,—〃=匕竺,xe(0,+8),分类讨论即可求解；

XX

(2)(0结合(1)的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；3)设，=2>1,通过转化

玉

ln(x,x2)=lnx1讨论函数的单调性得证.

【详解】

(1)因为/(x)=lnx-ox,所以r(x)='-a=i_—(0,+<»)

XX

当。<0时，尸(幻>。在(0,+8)上恒成立，所以/(幻在(0,+8)上单调递增，

当4>0时，/'(幻>0的解集为/'(》)<0的解集为(：,+8),

所以/(X)的单调增区间为(o,：),/(幻的单调减区间为+00)；

(2)(I)由(1)可知，当。<0时，/(X)在(0,+8)上单调递增，至多一个零点，不符题意，当4>0时，因为f(x)有

两个零点，所以/(尤)1^=/(，〕=心2一1>0,解得0<“<!，因为/(1)=一。<0,且1<，，所以存在履€[,21

\ajaea\ci)

使得/(F)=o，又因为=一：=_21na_：,设g(a)=_21na_：(q,则

g'(a)=4+4=上孚>0,所以g(a)单调递增，所以g(a)<gj，]=2-e<0,即/(与)<0,因为

aaayeJ\ajaa

所以存在£€(：，，■)，使得/(%)=0,综上，ae(0,J]；Gi)因为In%-叫=lnx2-ax2=0,=,

因为%,所以卫>1,设，=2>1,则々=枕]，所以生”=见2,解得111%=生匚所以

王玉x}x2tx}r-1

iiHnr~ii(r+l)ln/…八(z+l)lnr.、

lnx=InXj4-lnz=---,所以ln(%元2)=皿玉+I11X2=--------，设〃(，)=---------z(Z>1),m贝l!!

2t—1，一1t—1

lnf+T卜T)T，+Dlnf

Z21n?

-；~,设“⑺=」-21nf(f>l),则

〃'(r)=

("1)2(—)2t

〃'(f)=l+；—：=包产>0,所以，⑺单调递增，所以，⑺>“6=0,所以H(/)>0,即“(/)>0,所以力⑺

单调递增，即In(玉与)随着三=/的增大而增大，所以王々随着强的增大而增大，命题得证.

x\x\

【点睛】

此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命

题.

20.(1)—+y2=1(2)y=-x+^-y=-x+-^-

4-22-22

【解析】

(1)根据椭圆定义求得。力,得椭圆方程;

y=kx+m

⑵设P(3,yJ,。(孙冉)，由”得(1+4左2)》2+8初六+4加2_4=0,应用韦达定理得3+X2,X1X2,

—+/=1

I4一

代入已知条件可得々=g,再由椭圆中弦长公式求得弦长|PQ|,原点。到直线PQ的距离d,得三角

形面积，从而可求得〃?，得直线方程.

【详解】

解：(D据题意设椭圆C的方程为三+£=1(4>〃>

3=4

则<c=G

c2=a2+〃

a=2,h2—1

椭圆。的标准方程为三+V=1.

4-

y=kx-\-m

⑵据尤2得(1+4AI%?+8/7nx+4加2-4=0

彳+)=1

64公疗—4(1+4巧(4加2—4)>0

m2<4公+1

4m2-4

设「（不凶），。（工2，%），

1+4/

X|x2

1

.'.(AXj+m)(^x2+m)=kxxx2

1.mk(X[+/)+4=o

*+病=0

1+4/

又：Z〉0,加〉0

；.k=L

2

i------I-------；------4、/(1+/)(4公+1-/

：.\PQ\=y/l+k2-，(内+々)--4九也=-------—^72------

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原点。到直线PQ的距离d

2帆12-M

5*闸*4