2021-2022学年北师大版八年级数学下册第六章平行四边形重点解析试题

北师大版八年级数学下册第六章平行四边形重点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在平行四边形/中，4=30°,那么N3与4的度数之比为（）

A.4：1B.5：1C.6：1D.7：1

2、如图，已知四边形业£9和四边形6处均为平行四边形，ZZ^=60°,连接加；并延长交班1于点

P,若APLBE,46=3,BC=2,AF=\,则应•的长为（）

A.5B.2瓜C.2逐D.30

3、如图，求乙什/加/6/小（)

AD

A.90°B.130°C.180°D.360°

4、如图所示，在o46（力中，对角线4G初相交于点。,过点。的直线跖分别交于点E,火于

点F,SJOE=3,5刖=5，则口4比》的面积为（）

A.24B.32C.40D.48

5、n边形的每个外角都为15°,则边数〃为（）

A.20B.22C.24D.26

6、平行四边形ABC。中，24=60。，则NC的度数是（)

A.30°B.60°C.90°D.120°

7、多边形每一个内角都等于150。，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）

A.9条B.8条C.7条D.6条

8、如图，四边形4仇力中，/〃=比'，点P是对角线劭的中点，E、尸分别是48、切的中点，若NEPF

=130°,则/月卯的度数为（)

D

A.25°B.30°C.35°D.50°

9、如图，点。是。的对称中心，/是过点。的任意一条直线，它将平行四边形分成甲、乙两部

分，在这个图形上做扎针试验，则针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是（）

A.甲大B.乙大C.一样大D.无法确定

10、一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是（）

A.12B.11C.10D.9

第n卷（非选择题7。分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、正五边形的一个内角与一个外角的比_____.

2、四边形的外角度数之比为1：2：3：4,则它最大的内角度数为_

3、一个多边形的边数增加2,则内角和与外角和增加的度数之和是—度.

4、一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°,则这个正多边形的边数为

5、如图，在勿版中，点后是对角线4c上一点，过点后作〃1的垂线，交边力〃于点R交边%于点

Q,连接产仁AQ,若力C=6,PQ=\,则/T+/0的最小值为

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、如图1,在等腰直角三角形/6C中，/胡片90°,点反/分别为〃'的中点，〃为线段所'上

一动点(不与点反尸重合)，将线段4〃绕点力逆时针方旋转90°,得到4G,连接GC,HB.

(1)证明："HB^AAGC

(2)如图2,连接阳和阳其中的交〃1于点0.

①证明：在点〃的运动过程中，总有若=90°；

②若四=力。=4,当胡的长度为多少时，A/QG为等腰三角形？

2、如图，一辆小汽车从。市出发，先到6市，再到。市，再到4市，最后返回夕市，这辆小汽车共

转了多少度角？

3、已知一个多边形的边数为〃.

(1)若〃=5,求这个多边形的内角和.

(2)若这个多边形的内角和的：比一个四边形的外角和多90。，求〃的值.

4

4、在厦AA5c中，ZABC=90°,ZACB=3()。，将绕点C顺时针旋转一定的角度a得到

△DEC,点/、6的对应点分别是4E.

(1)当点6恰好在力。上时，如图1,求NADE的大小；

(2)若a=60。时，点尸是边4c中点，如图2,猜想四边形丽'的形状并说明理由.

5、如图1,在中，/的C=90°,AB=\,以46为边在46上方作等边以比'为边在

加右侧作等边△鹿，连结庞：

(1)当/C=5时，求班•的长.

(2)求证：BDLDE.

(3)如图2,点、。与点。关于直线力〃对称，连结C'E.

①求C"的长.

②连结C'D,当△，'应是以C£为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的

长：.(直接写出答案)

E

E

图1图2

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据平行四边形的性质先求出的度数，即可得到答案.

【详解】

解：•••四边形46切是平行四边形，

：.AD//BC,

后180°-ZJ=150°,

:.NB：ZJ=5：1,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形邻角互补.

2、D

【分析】

过点〃作交％的延长线于点//,连接DE,先证佚90。，再证四边形4a如是平行四

边形，最后利用勾股定理得出结果.

【详解】

过点、D作DHLBC,交6C的延长线于点“，连接被，DE,

♦.•四边形力腼是平行四边形，AB=3,ZAD(=60°,

：.庐3,ZDC*ZABOZ［屐60°,

YDHLBC,

:"D晔9N,:.NADC+/CDH=9Q°,：.ZCDH=30°,

在.RtADCH中,CH^\CD=^,游，C02-C”2=”,

BD2=BH2+DH2=(2+^)2+(^-)2=19,

•.•四边形6侬'是平行四边形，

：.AD=B(=EF,AD//EF,

...四边形/期是平行四边形，

J.AF//DE,仍法1,

'：AFVBE,

：.DELBE,

：.BE2=BD2-DE2=19-1=18,

，BE=30，

故选D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题.

3、D

【分析】

连接由三角形内角和外角的关系可知•/”伊，由四边形内角和是360°,即可求

/BA我N/NC+NCDE+N计NF=360°.

【详解】

解如图，连接力〃，

,：N\=NE+NF,Nl=NADE+NDAF,

ZE+ZF=NADE+NDAF,

从分/班/(%/曲=360°,

：.ZBAF^ZB+ZC+ZCDE+ZE+ZF^QO0.

.♦./物4/班///缪研/4/厅=360°.

故选：D.

D

【点睛】

本题考查三角形的外角的性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问

题，属于基础题.

4、B

【分析】

先根据平行四边形的性质可得=AD||3C,再根据三角形全等的判定定理证出！。OE三！BOF,

根据全等三角形的性质可得色”£==5,从而可得$小8=8,然后根据平行四边形的性质即可

得.

【详解】

解：•.•四边形AJ58是平行四边形，

OB=OD,AD\\BC,

:.ZEDO=ZFBO,

在ADOE和ABOF中，

'NEDO=NFBO

"：［0D=OB,

NDOE=NBOF

:.“DOE*BOF(ASA),

■<?_q—s

一".DOE—°ABOF~0>

S、M)D=S、AOE+S^DOE=3+5=8,

则oABCD的面积为=4x8=32,

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质

是解题关键.

5、C

【分析】

根据多边形的外角和等于360度得到15°・〃=360°,然后解方程即可.

【详解】

解：•••〃边形的每个外角都为15°,

，15°•72=360°,

.,./?=24.

故选C.

【点睛】

本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形外角和为360度是解题的关键.

6、B

【分析】

根据平行四边形对角相等，即可求出NC的度数.

【详解】

解：如图所示,

D

Az-------------------，B

V四边形ABC®是平行四边形，

，ZA=ZC,

ZA=60°,

：.ZC=60°.

故：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质.

7、A

【分析】

多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条.多边形的每一个内角都等于150°,多边形的内角

与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°,则求得多边形的边数；再

根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）

条，即可求得对角线的条数.

【详解】

解：•••多边形的每一个内角都等于150。，

.•.每个外角是30°,

多边形边数是360。+30°=12,

则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12-3=9条.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容.

8、A

【分析】

根据三角形的中位线定理，可得PE=gAO,P尸=；8c,从而除杼；则有/PE六NPFE,再根据三角

形的内角和定理，即可求解.

【详解】

解：•.•点P是对角线切的中点，E、夕分别是/氏缪的中点,

/.PE=^AD,PF=^BC,

YAABC,

J.P^PF,

：.NPEX4PFE,

♦.•Ni)呼=130°,

NPEF=-(180°-NEPF)=25°.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的

中位线定理是解题的关键.

9、C

【分析】

如图，连接AC,8。记过。的直线交A。,BC于N,H,则。为AC,8。的中点，

。—。（^。"。2/^〃也再证明丫人血心力/。，VONO4V8"O,V4OBgVCO。，可得

S四边形ANHB=S四边形CWNO，从而可得答案.

【详解】

解：如图，连接AC8。记过。的直线交4。,8。于M”,

•••O为。/氏力的对称中心，

为AC,的中点，OA=OC,OB=OD,AD〃BC,

\?NAO彳汨CO,ANO=2CHO,

\VANO^VCHO,

同理：7DNO尔BHONAOBmCOD,

'$四地形ANHB=S四边形CMWP

所以针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是一样的，

故选C

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，随机事件发生的可能性的大小，几何概

率的意义，理解几何概率的意义是解本题的关键.

10、A

【分析】

设这个多边形的边数为〃，依据多边形的内角和是它的外角和的5倍列方程，即可得到〃的值.

【详解】

解：设这个多边形的边数为〃，依题意得

(/r-2)«180°=5X360°,

解得上12,

...这个多边形是十二边形，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和与外角和，解题时注意：多边形的外角和等于360。.

二、填空题

-I

【分析】

根据公式分别求出一个内角与一个外角的度数，即可得到答案.

【详解】

解：正五边形的一个内角的度数为‘二2g180。=]08。,正五边形的一个外角的度数为浮=72。，

1AQOQ

...正五边形的一个内角与一个外角的比为券=1，

3

故答案为：f.

【点睛】

此题考查了正五边形的内角度数及外角度数，熟记多边形的内角和与外角和公式是解题的关键.

2、144°度

【分析】

先根据四边形的四个外角的度数之比分别求出四个外角，再根据多边形外角与内角的关系分别求出它

们的内角，即可得到答案.

【详解】

解：•.•四边形的四个外角的度数之比为1：2：3：4,

..•四个外角的度数分别为：36。°><白丁36。；

360°X--------------=72°；

1+2+3+4

3

360°X=108°；

1+2+3+4

4

360°X=144°；

1+2+3+4

，它最大的内角度数为：180。-36。=144。.

故答案为：144°.

【点睛】

本题考查了多边形的外角和，以及邻补角的定义，解题的关键是掌握多边形的外角和为360。，从而

进行计算.

3、360°

【分析】

利用〃边形的内角和公式（〃-2"80。（"23）且”为整数，多边形外角和为360。即可解决问题.

【详解】

解：根据”边形的内角和可以表示成（〃-2卜180。，

可以得到增加2条边时，边数变为"+2,

则内角和是小180°,因而内角和增加：n.l80o-（n-2）.180o=360o,外角和不变

即：一个多边形的边数增加2,则内角和与外角和增加的度数之和是360°

故答案为：360°

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式和外角和，是需要熟练掌握的内容.

4、9

【分析】

设正多边形的外角为X度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程

即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数.

【详解】

设正多边形的外角为x度，则内角为(5x~60)度

由题意得：x+5x—60=180

解得：x=40

则正多边形的边数为：360+40=9

即这个正多边形的边数为9

故答案为：9

【点睛】

本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角.

5、2而

【分析】

利用平行四边形的知识，将PC+A。的最小值转化为MP+C尸的最小值，再利用勾股定理求出团的

长度，即可求解；

【详解】

过点力作。且AM=PQ,连接如

M

四边形AQPM是平行四边形，

AQ^MP,

将PC+42的最小值转化为用P+CP的最小值，当肌p、c三点共线时，MP+CP的最小，

AM//PQ,AC1PQ,

：.AMLAC,

在R//XM4C中，MC=JA”+AC2="2+62=2万;

故答案是：29.

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质，勾股定理，准确计算是解题的关键.

三、解答题

1、（1）见详解；（2）①见详解；②E件应或2；

【分析】

（1）根据等腰直角三角形4比'中，N胡C=90°,可得力庐4C,根据线段4〃绕点4逆时针方旋转

90°,得到4G,可得4米4G,NHAD=9G°,可证N应代NOG,即可证班白△力比（SIS）；

（2）①根据点乙尸分别为被“■的中点，可得4斤（A8,AF=；AC,EF〃BC,可得

/胡白90°,可得力代/凡/用后90°,可求/力吠N42;（180°-NEAF）=45°,再证

（外S）,可得阱/4叱45°,可求/版?=//侬/4吩45°+45°=90°；

②根据四=然=4,NBA090。，利用勾股定理5C=4AB?+3=不了=40，根据点反尸分别

为AB,〃'的中点，可求小;8c=；x4&=2&,根据为等腰三角形，分三种情况，当/CG0

时，根据加%G,N物作90°,可求N窈会N0&=45°,可证“入/fG再证4〃平分/口尸，A氏AF,

可得阱H*EF=$20=6；当AG=GQ=AH,ZAGQ=45°,可求/南伯/G2=

g（180。-NAG。）=67.5。，可求NA麻/我=67.5°,可得阱4斤；AB=；x4=2；当力伯QG时，根据

N/IQC是△4Q”的夕卜角，得出N4QQN4M>=90°>N/G®45°,力心/G不成立.

【详解】

（1）证明：•.•等腰直角三角形4a'中，/刈。=90°,

J.AB^AC,

•.•线段/〃绕点/逆时针方旋转90°,得到4G,

：.AH=AG,NHAD=9Q°,

:/BA小NHA户NHAF+/CAG=9G°,

:.NBA住NCAG,

在△46〃和中，

AB=AC

«NBAH=ZCAG,

AH=AG

:.△AB的2ABG（必S）,

Bc

图1

(2)①证明：•.•点反夕分别为46,〃l的中点,

：.AE=-AB,AF=-AC,EF〃BC,

22

,：AB-AC,ZBA(=90°,

：.AE=AF,/口片90°,

力华N4降g(18O°-/E4/)=45°,

在/和△4C'G中，

AE=AF

<ZEAH=ZFAG,

AH=AG

：./\AEH^/\AFG(SIS),

：.ZAEH=ZAFG=45°,

Z//FG=ZAFE+ZAFG=A50+45°=90°,

...N施G=90°；

②解：\"AB=AC=4,/胡玲90。，

根据勾股定理BC=>jAB2+AC2="2+42=40>

•••点EF分别为AB,力，的中点，

.,.上,BC=4x40=20,

22

•；A/QG为等腰三角形

分三种情况

当/10G0时，

■:A4AG,N胡伊90°,

N4除N4G住g(1800-NHAG)=45°,

...N/RN*=45°,

...N406M8O°-//。/。0=90°,

：.HGVAC,

胡小90°-ZC46t90°-45°=45°,

:.NEAH=9Q°-N创290°-45°=45°,

:"H平分NEAF,AE^AF,

：.EH=Hf^-EE=k2&=0

22

当AG=GeAH,N4G心45°,

/.ZGAQ=ZGQA=1(1800-ZAG0)=67.5°,

：.4EA4KQAG^l.5,

/.ZAH^18Q°-NAEH~NEA+180°-45°-67.50=67.5°

:.NEA*4EHA=67.5°

：.EH=A^-AB=-x4=2；

22

G

当力缶0G时，过力作于M,

YN/QG是△力Q犷的外角，

・・・N/QQN4给90°>N4G(M5°,

//G不成立.

5C

综合得叱血或2.

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，等腰三角形分类讨论思

想，掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，等腰三角形分类讨论思

想是解题关键.

2、360°

【分析】

分别记/B,NC,44的外角为名民人用。+4+/即可得出答案.

【详解】

如图，当小汽车从0出发行驶到6市，由8市向C市行驶时转的角是a,由。市向4市行驶时转的角

是夕，由4市向2市行驶时转的角是/.

.•.小汽车从。市出发，经8市、C市、力市，又回到卢市，共转a+£+7=360。.

【点睛】

本题考查外角和定理的应用，掌握多边形的外角和为360。是解题的关键.

3、(1)540°；(2)12

【分析】

(1)把n=5,代入多边形内角和公式求解即可；

(2)根据多边形内角和公式及多边形外角和为360。，列出一元一次方程求解即可.

【详解】

解：(1)当〃=5时，(5—2)*180。=540。，

•••这个多边形的内角和为540。.

(2)由题意，得;乂(〃-2*180。-360。=90。，

解得：〃=12,

的值为12.

【点睛】

本题考查了多边形的内角和与外角和问题及一元一次方程应用，解题的关键是牢记多边形的内角和与

外角和.

4、(1)15°；(2)四边形应如是平行四边形，见解析

【分析】

(1)根据旋转的性质可得C4=8,ZECD=ZBCA=30°,ZDEC=ZABC,根据三角形内角和定

理求得ZC4D,根据余角的定义即可求得ZADE的大小；

(2)连接力。，证明△ACD和ABCE为等边三角形，进而证明3E〃。尸，RtACFD^RtAABC,得到

DF=BE,结合BF=DE,即可证明四边形应如是平行四边形.

【详解】

(1)解：：绕点C顺时针旋转a得到QEC,点£恰好在ACh,

：.CA=CD,ZECD=ZBCA=30°,ZDEC=ZABC=90°,

ZCAD^ZCDA^(180°-30°)=75°,

，ZADE=900-ZCAD=\50；

(2)四边形施加是平行四边形.

理由如下：如图2,连接力。

•.•点厂是边4c中点，

BF^AF=CF=-AC,

2

ZACB=30°,

.・・AB=-AC

29

・・・BF=CF=AB,

・・・“IBC绕点。顺时针旋转60°得至【JGEC,

：.ZBCE=ZACD=6O°fCB=CE,DE=AB,DC=AC

：.DE=BF,AAC。和为等边三角形，

:・BE=CB,AD=DC

.\ZEBC=60°

・•.ZABE=ZABC-ZEBC=90°-60°=30°

又ZB4C=90。一ZACB=60。

:.BE±AC

・•,点尸为八48的边〃'的中点，

・・・DFVAC,

S.BE//DF

4\DC=CA

在Rt/\CFD和RSABC中〈「厂4n

[Cr=AB

RtACFDgRtAABC,

・・・DF=BC,

：.DF=BE,

而即=£>E,

・・・四边形应如是平行四边形.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形全等的

性质与判定，平行四边形的判定，掌握以上知识是解题的关键.

5、（1）741；（2）见解析；（3）①4；②4或4上

【分析】

（1）证明△加3△飒1（见S）,利用全等三角形的性质求解即可；

（2）证明△的口△破（弘S）,利用全等三角形的性质可得/物、/9花=90°,即可得出结论；

（3）①连接47',由（2）知△物屋△隧（3S）,可得4C=应，NBAC=NBDE=9Q：则N/庞=

60°+