（含答案）高中数学集合与常用逻辑用语重难点归纳

（每日一练）（文末附答案）（Word版含答案）高中数学集合与常用逻辑用语重

难点归纳

单选题

1、等比数列｛即｝的公比为9,前〃项和为土,设甲：q>0,乙：｛S"是递增数列，贝IJ（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案:B

分析：当q>。时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当｛Sn｝是递增数列时，必有册>0成立即可说明q>

0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.

由题，当数列为-2,-4,-8,・“时，满足q>0,

但是｛SJ不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若｛SJ是递增数列，则必有而>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立,

所以甲是乙的必要条件.

故选：B.

小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程.

2、已知集合闻=｛01—a<x<2a｝,N=（1,4）,且MUN,则实数a的取值范围是（）

A.(-8,2]B.(—8,0]C.8,如.[1,2]

答案：C

分析：按集合〃是是空集和不是空集求出a的范围，再求其并集而得解.

因MaN,而。QN,

i

所以时，即2aSl—a,则aWa此时

<1

>

a-

1

0时McN3

-<<

1a0

-无解,

i<2

ka_

综上得a<即实数a的取值范围是(一%J

故选：C

3、已知集合时={-1,0,1,2,3,4},7=口,3,5}1=用门乂贝IJP的真子集共有()

A.2个B.3个C.4个D.8个

答案：B

分析：根据交集运算得集合尸，再根据集合夕中的元素个数，确定其真子集个数即可.

解：•；M={-1,0,1,2,3,4},N={1,3,5)

•<-P={1,3},P的真子集是口},{3},。共3个.

故选：B.

4、集合4={x|x<-1或x23},8={R£1》+1±0}若8=4则实数a的取值范围是()

A.31)B.卜卜l]c.(—oo,—l)U[0,+oo)D.卜30)U(0,1)

答案：A

分析：根据B=4分3=。和B*。两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围.

2

解：.•.BU4

•••①当B=。时，即ax+1<0无解，此时a=0,满足题意.

②当8力0时，即ax+l40有解，当a>0时，可得万《一；，

fa>0

要使Bc4则需要,解得0<a<1.

当a<°时，可得X》/

fa<0i

要使8U4则需要三>3，解得一三

综上，实数a的取值范围是1).

故选：A.

小提示：易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为0.

5、已知集合4={-1,124},B=-则4nB=()

A.{-1,2}B.［1,2}C.［1,4)D.{-1,4}

答案：B

分析：方法一：求出集合B后可求力nB.

［方法一］•直接法

因为8={尤［0<%<2},故ACB={1,2},故选：B.

［方法二］:【最优解】代入排除法

%=-1代入集合8={对比-1仁1},可得2W1,不满足，排除A、D；

%=4代入集合8={刈刀一1|31},可得3W1,不满足，排除C.

故选：B.

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【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解.

6、已知集合M={x|%2+%=0},则（）

A.{0}6MB.0GMC.-1gMD.-16M

答案：D

分析：先求得集合M再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.

因为集合”={xI+%=0}={0,-1},所以一1eM,

故选：D.

7、已知p:0<x<2,q:-l<x<3,则p是q的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分不必要条件

答案：A

分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.

由p:0cx<2,可得出

由q:-l<x<3,得不出p:0<x<2,

所以P是q的充分而不必要条件，

故选：A.

8、已知集合5={x€N|xW4},T=[x&R\x2=a2）,且Sn7={l},则SU7=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

答案：C

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分析：先根据题意求出集合T,然后根据并集的概念即可求出结果.

s={xGN\X<Vs}={0,1,2},而snr={i},所以ler,则a?=1,所以r={xe町/=。2}={一］1},则

SU7={-1,0,1,2}

故选：C.

9、已知集合4={x|xW1},B={XGZ|O<X<4},贝必nB=()

A.{x|0<x<l}B.{x|0<x<1}C.{x|0<x<4}D.{0,1}

答案：D

分析：根据集合的交运算即可求解.

由8={*GZ|0<x<4}得8={0,1,2,3,4},所以4CB={0,1},

故选：D

10、下面四个命题：

①x2-3x+2>0恒成立；②mxEQ,/=2；

③三xG凡/+1=0；④VxGR、4/>2x-1+3/

其中真命题的个数为()

A.3B.2C.1D.0

答案：D

分析：对于①，计算判别式或配方进行判断；

对于②，当/=2时，只能得到^为±&,由此可判断；

对于③，方程丁+1=0无实数解；

对于④，作差可判断.

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解：/-3x+2>0,Z1=(-3)2-4X2>0,J.当x>2或xvl时，V-3*+2>0才成立，

••・①为假命题.

当且仅当x=±近时，/=2,.•.不存在xGQ,使得#=2,，②为假命题.

对VxGR,/+1W0,.•.③为假命题.

4x’-(2x-1+3xj=/-2x+1=(x-即当x=l时，4x'=2x-1+3/成立，六4为假命题.

•••0X2③④均为假命题.

故选：D

小提示：此题考查特称命题和全称命题真假的判断，特称命题要为真，只要有1个成立即可，全称命题要为假,

只要有1个不成立即可，属于基础题.

多选题

11、对任意实数a,b,c,给出下列命题，其中假命题是()

A."a=b”是"ac=be"的充要条件

B.ua>b-是ua2>b2"的充分条件

C."a<5"是C<3"的必要条件

D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件

答案：ABD

分析：根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.

A：由a=匕有加=be,当ac=be不一定有a=b成立，必要性不成立，假命题；

B：若a=1>b=-2时a2<b2,充分性不成立，假命题；

C：a<5不一定a<3,但a<3必有a<5,故"a<5”是“a<3"的必要条件，真命题；

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D：a+5是无理数则a是无理数，若a是无理数也有a+5是无理数，故为充要条件，假命题.

故选：ABD

12、下列选项中的两个集合相等的有().

A.P-{x|x-2n,nEZ),Q={x\x=2(n+l),n£Z}

B.P={x|x=2n-l,n£N+},(2={xIx=2n+l,nEN+}

21+

C.P={x|x-x=0),Q=x=H)

D.P-(xy=x+l},Q={(x,y)y-x+1}

答案：AC

分析：分析各对集合元素的特征，即可判断.

解：对于A：集合P={x|x=2n,nGZ}表示偶数集,集合Q={xIx=2(n+l),nGZ}也表示偶数集，所以P=Q,故

A正确；

对于

B:P={x|x=2n-l,n6N+}={l,3,5,7,},

},所以故错误；

Q={x|x=2n+l,nGN+}={3,5,7,9,PrQ,B

对于C：P={x|x2-x=0}=(0.1),又鳖.

(-l,n为奇数

所以,即Q={x|x=*^,nCz}={O,l},所以P=Q,故C正确;

2(O,n为奇数12J

对于D:集合P={xIy=x+l}=R为数集,集合Q={(x,y)Iy=x+l}为点集,所以P>Q,故D错误;

故选：AC

13、(多选题)已知集合4={x|M-2x=0},则有()

A.0QAB.-2£AC.[0,2}QAD.AQ{y\y<3}

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答案：ACD

分析：先化简集合4={0,2},再对每一个选项分析判断得解.

由题得集合4={0,2},

由于空集是任何集合的子集，故A正确：

因为4={0,2},所以CD正确，B错误.

故选ACD.

小提示：本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14、下列说法正确的是（）

A.“对任意一个无理数x,M也是无理数，，是真命题

B."xy>0"是"x+y>0"的充要条件

C.命题"3%eR,x2+1=0"的否定是"VxGR,x2+1*0-

D.若"1<x<3"的必要不充分条件是“m—2<x<m+2"，则实数6的取值范围是口3]

答案：CD

解析：根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项.

%=&是无理数，M=2是有理数，A错；

x--l,y--2Bt,xy>0,但x+y=-3<0,不是充要条件，B错；

命题mxeR,x2+1=0的否定是：VxeR,/+1片0,C正确；

11<X<3"的必要不充分条件是“m—2<x<m+2"，则器;套;，两个等号不同时取得.解得1W

m<3.D正确.

故选：CD.

8

小提示：关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断.但

求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确.

15、如图所示，阴影部分表示的集合是()

A.(CuB)nAB.(Cy^)nB

C.CuQ4nB)D.ACiCu(4cB)

答案：AD

分析：由图可得，阴影部分表示的集合包含于4且包含于6的补集，从而得解.

由图可知，阴影部分表示的集合包含于4且包含于8的补集，且包含于Q(4nB),

阴影部分表示的集合为:(CuB)nA或4nCy(AnB),

故选：AD.

16、已知集合4={x[l<x<2},B={x\2a-3<x<a-2],下列说法正确的是()

A.不存在实数a使得4=B

B.当a=4时，A^B

C.当0WaW4时，BQA

D.存在实数a使得BcA

答案：AD

分析：选项A由集合相等列方程组验算；选项B由41=4得B=0,故不满足AUB；选项C、D通过假设BUA

求出实数a的取值范围可判定.

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选项A：若集合4=B,则有因为此方程组无解，所以不存在实数a使得集合A=B,故选项A

正确.

选项B：当a=4时，B={x|5<x<2]=0,不满足4UB,故选项B错误.

若BU4,贝IJ

①当8=0时，有2a-32a-2,a>1；

a<1,

②当BR0时，有2a-3>1,此方程组无实数解；

、a—2V2

所以若BU4,则有a21,故选项C错误，选项D正确.

故选：AD.

17、已知集合力={x|ax=1},B=[0,1,2）,若AUB,则实数a可以为（）

A•济1

C.OD,以上选项都不对

答案：ABC

解析：由子集定义得4=0或4={1}或4={2},从而土不存在，-=1,i=2,由此能求出实数a.

aaa

解：•••集合A={x|ax=1},B={0,1,2},AQB,

•••A=。或A={1}或4={2},

:不存在，：=1,：=2,

•••aaa

解得a=l,或a=l,或a=[.

故选：ABC.

小提示：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题

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18、对于集合4B,定义4-B={x|xe4xCB},4㊉B=(4-B)U(B-力).设M={1,2,3,4,5,6},N=

[4,5,6,7,8,9,10},则M㊉N中可能含有下列元素().

A.5B.6C.7D.8

答案：CD

分析：根据所给定义求出M—N,N-M,即可求出M㊉N,从而判断即可；

解：因为“={123,4,5,6},N={4,5,6,7,8,9,10},所以M-N={1,2,3},N-M={7,8,9,10},

M㊉N=(M—N)U(N—M)={1,2,3,7,8,9,10).

故选：CD

19、下列各题中，o是。的充要条件的有()

A.p：四边形是正方形；g：四边形的对角线互相垂直且平分

B.P：两个三角形相似；(7：两个三角形三边成比例

C.pxy>0;q:A>0,y>0

D.p：x=l是一元二次方程a^+bx+c-Q的一个根；g：a+b+c-Q(aWO)

答案：BD

分析：根据充要条件的定义对各选项逐一进行分析讨论并判定作答.

对于A,四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可

能是菱形，即。不是9的充要条件，A不是；

对于B,两个三角形相似与两个三角形三边成比例能互相推出，即。是。的充要条件，B是；

对于C,孙>0不能推出r>0,y>0,可能x<0,y<0,即。不是。的充要条件，C不是；

对于D,x=l是一元二次方程ax~+bx+c=0的一"根，可得a+6+c=0,

反之，当a+6+c=0时，把c=-a-6代入方程ax'+6x+c=0得ax?+6x-a-6=0,即(ax+a+功(x-l)=0,显然ml是

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方程的一个根，即。是。的充要条件，D是.

故选：BD

20、已知集合4={xeR|x2-3x-18<0},5={xeR\x2+ax+a2-27<0},则下列命题中正确的是

()

A.若4=B,贝IJa=-3B.若4UB,贝1Ja=-3

C.若B=0,则a<一6或a26D.若B隼4时，则一6<a<-3或a>6

答案：ABC

分析：求出集合4根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断.

A={x&R\-3<x<6},若4=B,则a=-3,且a2-27=—18,故A正确.

a=-3时，A—B,故D不正确.

若4UB,贝IJ(-3)2+-(—3)+£12—2730且62+6£1+(12-2730,解得a=-3,故B正确.

当B=0时，a2-4(a2-27)<0,解得aW—6或a26,故C正确.

故选：ABC.

填空题

21、定义集合4和B的运算为4*B={x|x€4xCB},试写出含有集合运算符号“*""U""n",并对任意

集合4和8都成立的一个式子：.

答案：A*(AnB)=Q4UB)*B(答案不唯一).

分析：根据运算4*B=1x\x&A,x^B}的定义可得出结论.

如下图所示，由题中的定义可得A*(4nB)={x|xGA,xCG4nB)}={x|x6Q4UB},xWB}=Q4U8)*B.

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所以答案是：4