（高中数学）平面解析几何专项训练试题（含答案解析）

（高中数学）平面解析几何专项训练试题（含答案解析）

一、单选题

1.若曲线C：》2+丁+2奴-4"-10〃=0表示圆，则实数。的取值范围为（）

A.（—2,0）B.（-co,-2）=（0,+<»）

C.[-2,0]D.S-2]U[。,同

2.过点（1,-2）,且焦点在），轴上的抛物线的标准方程是（）

D.x2=-1y

2

3.过A（1,-3W（-2,0）两点的直线的倾斜角是（）

A.45'B.60"C.120D.135

4.已知4（3,3,3）,8（6,6,6）,。为原点，则Q4与80的夹角是（）

Ti27r

A.0B.nC.-D.—

23

5.已知抛物线C:y2=以与圆E：*_I）2+产=4交于A,8两点，贝！J|AB|=（）

A.2B.2>/2C.4D.472

6.已知抛物线Y=祖丁焦点的坐标为20,l）,P为抛物线上的任意一点，5（2,2）,则

|P3|+|P/q的最小值为（）

A.3B.4C.5D.—

2

7.动点P,。分别在抛物线』=4y和圆£+8），+13=0上,则|「。|的最小值为（）

13

26C6

A.B.2-D.2-

8.直线2x+3y-6=0关于点（1,1）对称的直线方程为（）

A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=O

C.3x-2y-12=0D.2x+3y-4=0

22

9.已知椭圆C：2+为=l（〃>b>0）的上顶点为A,左、右焦点分别为片，鸟，连接4尼并

延长交椭圆C于另一点8,若忸回：后同=7:3,则椭圆。的离心率为（）

£

A.B.C.D.

4323

10.“m=1”是“直线4：（加一4）x+切+1=0与直线公〃式+（机+2）y-2=0互相垂直”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

11.直线2x-3y+l=0与x+5y-10=0的夹角为.

12.已知圆+y?+2x=0,若直线y=履被圆C截得的弦长为1,贝心=.

13.过四点(0,。),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

14.写出与圆V+r=1和圆(X-4)2+(y+3)2=16都相切的一条切线方程.

三、解答题

15.已知AABC底边两端点以0,6)、C(0,-6),若这个三角形另外两边所在直线的斜率

之积为-42，求点A的轨迹方程.

16.已知巴、瑞是椭圆C:，+4=l(">b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且

PFt±PF2.若片鸟的面积为9,求实数6的值.

17.已知圆C：/+/+m+6-12=0关于直线x+2y—4=0对称，且圆心在y轴上，

求圆C的标准方程.

18.已知椭圆C：工+匕=1,A(0,l),过点A的动直线/与椭圆C交于尸、。两点.

42

(1)求线段PQ的中点M的轨迹方程；

(2)是否存在常数，使得义484。+。「。。为定值？若存在，求出；I的值；若不存在，

说明理由.

试卷第2页，共2页

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1.B

【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.

【详解】由尤2+丁+2公-4。），-104=0,

得（x+a）~+（y-2a『=5/+10”，

由该曲线表示圆，

可知5a2+50。>0,

解得a>0或av-2,

故选：B.

2.C

【分析】设抛物线方程为/=相,，代入点的坐标，即可求出小的值，即可得解;

【详解】解：依题意设抛物线方程为/=〃“，因为抛物线过点（1,-2）,

所以2）,解得加=-3,所以抛物线方程为/=-；为

故选：C

3.D

【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果.

【详解】由已知直线的斜率为=tana=-1,0<«<180,

-2-1

所以倾斜角a=135.

故选：D.

4.B

【分析】求出。4和B。，利用向量关系即可求出.

【详解】因为A(3,3,3),8(6,6,6),则Q4=(3,3,3),BO=(-6,-6-6),

OA-BO3x(—6)+3x(—6)+3x(—6)

则cos<OA,BO>=

可忸。|373x673

所以OA与B。的夹角是灯.

故选：B.

5.C

答案第1页，共10页

【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.

"2A

y=4x

【详解】由对称性易得A,B横坐标相等且大于0,联立；,得f+2x-3=0,

（x-1）+/=4

解得玉=-3,々=1,

则4=/=1,将x=l代入J=4x可得y=±2,贝iJ|AB|=4.

故选：C.

6.A

【分析】先根据焦点坐标求出机，结合抛物线的定义可求答案.

【详解】因为抛物线工2=机），焦点的坐标为（0,1）,所以7=1,解得加=4.

记抛物线的准线为/,作PNLI于N,作明人/于A,则由抛物线的定义得

|P8|+|PF|=|P8|+|PN|…|54|=3,当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立.

故选：A.

7.B

【分析】设尸根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几

何性质，即可得答案.

【详解】设尸卜圆化简为f+（y_4）2=3,即圆心为（0,4）,半径为6,

所以点P到圆心的距离d=—Xg~+16,

令［=玉：，则

令/⑺=上产—+16,年0,为开口向上，对称轴为r=8的抛物线,

16

所以小）的最小值为了⑻=12,

答案第2页，共10页

所以4nhi=配=26，

所以IPQI的最小值为dmm—g=2g—G=J5.

故选：B

8.D

【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y),则其关于点(1,1)对称的点的坐标为

(2-x,2-y),代入已知直线即可求得结果.

【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y),则其关于点。,1)对称的点的坐标为

(2-x,2-y),以(2-x,2-y)代换原直线方程中的(x,y)得2(2-x)+3(2—y)—6=0,即

2x+3y-4=0.

故选：D.

9.C

【分析】根据椭圆的定义求得|月用，优用，在A%中，利用余弦定理求得cosN用AK，在

△4R与中，再次利用余弦定理即可得解.

【详解】解：由题意可得|百目+内闿=2«,

因为由同:内同=7:3,

73

所以巧即二］。,优却=不，

因为A为椭圆的上顶点，

Q

所以|g|=|A闻=4,则|A8|=(,

在4A跖中,

cos“AF阳22525

21A用AB2X”，2

5

在△A6g中,

忻图2=馆用2+H周2-2a用,用cosN^AE,

即4c2="+/—/=2,所以£c=1

a2

答案第3页，共10页

即椭圆C的离心率为

故选：C.

10.A

【分析】根据给定直线方程求出乙，，2的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断

作答.

【详解】依题意，lt-i-l2<=>-4)+m(m+2)=0,解得m=O或机=1,

所以=1”是“直线/i：（机-4）x+/ny+l=0与直线4：侬+（加+2）＞-2=0互相垂直”的充

分不必要条件.

故选：A

11.—##45。

4

【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角.

22

【详解】直线2x-3y+l=0的斜率占二§,即倾斜角。满足tana=§,

直线x+5y—10=0的斜率心=-1,即倾斜角/满足tan/?=-",

2

tan/y-tana

所以tan(£-a)=53

1+tan/?tana

3

所以夕一£=:万，

4

又两直线夹角的范围为0,1

所以两直线夹角町,

答案第4页，共10页

故答案为：£.

4

12.±G

【分析】将圆C一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解

出k的值.

【详解】解：将d+y2+2x=0化为标准式得(x+iy+y2=i,故半径为1；

k=±5/3.

故答案为：±6.

13.(x-2)2+(y-3)2=13B£(jt-2)2+(y-l)2=5^^-1j鬻或

［用+/1)2=等

【分析】方法一：设圆的方程为工2+炉+m+小+尸=0,根据所选点的坐标，得到方程组,

解得即可；

【详解】［方法一］:圆的一般方程

22

依题意设圆的方程为x+y+DX+Ey+F=O,

(1)若过(0,0),(4,0),(-1,1),则J16+4O+F=0,解得。=-4,

l+l-D+E+F=0[E=-6

所以圆的方程为丁+丁-4*-6)，=0,BP(x-2)2+(y-3)2=13；

尸=0

(2)若过(0,0),(4,0),(4,2),则<16+4。+尸=0,解得<

16+4+4O+2E+尸=0

所以圆的方程为f+/-4X-2丫=0,BP(x-2)2+(y-l)2=5；

答案第5页，共10页

F=0

F=0

Q

(3)若过(0,0),(4,2),(-1,1),则1+1-。+七+/=。解得O=-§，

16+4+4O+2E+尸=0

l14

E=---

所以圆的方程为f+y2—：2x—了14丫二。,65

~9

l+l-Z)+E+F=0

(4)若过(一1,1),(4,0),(4,2),则116+4。+尸=0，解得。=弋,

所以圆的方

16+4+4D+2E+/=0

E=-2

产小2,216168丫/1\2169

程为x+y-—x-2y--=0,即|x——+(y-l)=—；

55I5；V725

故答案为：(x_2y+(y_3)2=]3或(x-2)2+(y-l)2=5sK

(N169

+(y-l)=——

v725

［方法二］:【最优解】圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心)

设点A(0,0),8(4,0),C(-l,l),0(4,2)

(1)若圆过A、B、C三点，圆心在直线x=2,设圆心坐标为(2,a),

则4+/=9+(a-1)"=>a=3,r=44+a2=V13,所以圆的方程为(x-2)?+(y-3)。=13；

(2)若圆过AB、。三点，设圆心坐标为(2,a),则

4+a2=4+(a—2了=>a=l,r=j4+a2=若，所以圆的方程为(x—2)'+(y—lf=5；

(3)若圆过A、aD三点,则线段4c的中垂线方程为y=x+l,线段AO的中垂线方程

为y=-2x+5,联立得*=1=六『=半,所以圆的方程为(x-?+(y-f吟；

(4)若圆过&C、D三点,则线段30的中垂线方程为y=l,线段BC中垂线方程为

y=5x-7,联立得x=*y=lnr=£,所以圆的方程为。［了=鳖.

故答案为：(x-2y+(y-3)2=13或(x-2y+(y-l)2=5或(x-g)=等或

答案第6页，共10页

(,x2169

+(y-l)=——

''25

【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单,

运算稍繁；

方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解.

14.y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0

【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.

【详解】圆/+丁=1的圆心为0（0,0）,半径为1；圆（x-4y+（y+3）2=16的圆心为C（4,—3）,

半径为4,

圆心距为=5,所以两圆外切，如图，有三条切线《4，

易得切线4的方程为y=i,

因为SOC,且限=一彳3，所以4=4§，设4：y=y4+"即4x—3y+3b=0,

则。（。,0）至北的距离粤=1，解得力（舍去）或一|，所以/3：4%一3〉一5=0,

[3,彳、

3v=­（41

可知4和4关于oc：y=-%对称，联立“4x,解得卜了1J在4上，

[y=l'

在4上任取一点（0,1）,设其关于oc的对称点为（为,％）,

%3%

--

24一

=与

+21-4X2/--

解^275

f3，

为\1

T一

Xr--=%-

-1乂-

X4/25

则4=-£OS4=一2亍4，所以直线4：yT=-亍24卜<+§4卜1即24x+7y+25=0,

-------1—、/

253

综上，切线方程为y=l或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0.

故答案为：y=l或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0.

答案第7页，共10页

【分析】设A(x,y),利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意XHO.

【详解】设且x#0,则砥y砥，=匕^*=亡生=-9，

xxx9

整理得：A的轨迹方程工+匕=l(x*O).

8136

16.Z?=3

【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.

【详解】因为工，所以N6P8=90。，

所以名为直角三角形，

2

\PF^+\PF2^=(2C),\PF\+\PF^=2a,

麻|2+|尸国2=(附|+归号)2-2附卜|尸用，

即(2c)2=(2a)2-4xg|明任用，

S.FjPG=3阀HP瑞1=9，

所以4c2=4a2-4x9=0,所以46?=4x9.所以人=3；

综上,6=3.

17.X2+(J-2)2=16.

DF

【分析】由题设知圆心且在已知直线和y轴上，列方程求参数力、E,写出一

答案第8页，共10页

般方程，进而可得其标准方程.

【详解】由题意知：圆心在直线x+2y—4=0上，即一段一E-4=0.

又圆心C在y轴上，所以一日=0.

由以上两式得：。=0,£=—4,则工2+、2一4,-12=0,

故圆C的标准方程为x2+（y-犷=16.

2

18.（1）X+2^-1J=1

（2）存在,2=1

【分析】⑴①当直线/存在斜率时，设尸（不乂）、Q（&,%）、加（占,%），/H0,利用点差

法求解；②当直线/不存在斜率时，易知”（0,0）,验证即可；

（2）①当直线/存在斜率时，设直线/的方程为：y=kx+l,与椭圆方程联立，结合韦达定

理，利用数量积运算求解；②当直线/不存在斜率时，直线/的方程为：x=0,易得网0,血）、

0（0,-亚），验证即可.

【详解】（1）解：①当直线/存在斜率时，设P（x”yJ、。（々,必）、与力0,

X2A

-.+

42