2022年中考数学总复习微专题第四章三大常考相似模型

微专题三大常考相似模型模型一A字型典例1(2021·江苏连云港改编)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD平分∠ABC,作DE⊥AB于点E.若S△ABC=2S△AED,求CDBC的值.【答案】∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,∠ACB=90°,∴∠AED=∠ACB=90°,∴CD=DE,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴S△∵S△ABC=2S△AED,∴DEBC“A字型”常见的图形如下:条件:∠1=∠2,结论:△ABC∽△ADE模型二8字型典例2(2021·安徽C20一模改编)如图,在四边形ABCD中,∠ADB=∠ACB=90°.(1)求证:OA·OC=OB·OD;(2)若∠DAB=55°,∠ABC=65°,求DCAB的值【答案】(1)∵∠ADB=∠ACB=90°,∠DOA=∠COB,∴△ADO∽△BCO,∴OCOB=ODOA,即OA·OC=(2)∵∠ADB=90°,∠DAB=55°,∴∠DBA=35°.∵∠ABC=65°,∴∠DBC=∠ABC－∠DBA=30°.∵∠ACB=90°,∴OC=12由(1)可知OCOB=ODOA,∵∠DOC∴△DOC∽△AOB,∴DCAB“8字型”常见的图形如下:条件:∠1=∠2,结论:△ABC∽△ADE模型三一线三等角型典例3如图,M为线段AB的中点,AE与BD相交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,且DM交AC于点F,ME交BC于点G.(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;(2)连接FG.如果α=45°,AB=42,AF=3,求FG的长.【答案】(1)△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM.以下证明△AMF∽△BGM.∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B,∴△AMF∽△BGM.(2)当α=45°时,可得AC⊥BC且AC=BC.∵M为AB的中点,∴AM=BM=22.∵△AMF∽△BGM,∴AFAM∴BG=AM·∵AC=BC=42·cos45°=4,∴CG=4－83=43,CF在Rt△FCG中,FG=CF常见的一线三等角模型的图形如下:图示点P在线段AB上(同侧型)锐角一线三等角一线三垂直钝角一线三等角点P在线段AB的延长线上(异侧型)锐角一线三等角一线三垂直钝角一线三等角提分训练1.如图,在正方形ABCD中,G为CD边的中点,连接AG并延长交BC边的延长线于点E,对角线BD交AG于点F.已知FG=2,则线段AE的长度为(D)A.6 B.8 C.10 D.12【解析】∵四边形ABCD为正方形,∴AB∥CD,∴△ABF∽△GDF,∴AFGF=ABGD=2,∴AF=2GF=4,∴AG=6.∵CG∥AB,AB=2CG,∴CG为△EAB的中位线,∴AE2.(2021·江苏徐州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边BA,BC上,且ADDB=CEEB=32,△DBE与四边形【解析】∵ADDB3.(2021·内蒙古包头)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为

65.【解析】∵∠ACB=90°,BD⊥CB,MN⊥CB,∴AC∥MN∥BD,∠CNM=∠CBD,∴∠MAC=∠MBD,∠MCA=∠MDB=∠CMN,∴△MAC∽△MBD,△CMN∽△CDB,∴MCMD4.如图,在等边△ABC中,AC=8,点D,E,F分别在三边AB,BC,AC上,且AF=2,FD⊥DE,∠DFE=60°,则AD的长为3.

【解析】由题意知∠AFD+∠CFE=120°,∠AFD+∠ADF=120°,∴∠ADF=∠CFE.又∵∠A=∠C,∴△ADF∽△CFE,∴ADCF=DFEF.∵5.如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE,AE分别相交于点P,M.求证:(1)△BAE∽△CAD;(2)MP·MD=MA·ME.证明:(1)由题意得AC=2AB,∴ACAB∵∠BAC=∠EAD,∴∠BAE=∠CAD,∴△BAE∽△CAD.(2)由(1)知△BAE∽△CAD,∴∠BEA=∠CDA.∵∠PME=∠AMD,∴△PME∽△AMD,∴MPMA∴MP·MD=MA·ME.6.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上.(1)求证:△BDE∽△CEF;(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF