《高等应用数学》（曾慧平）教案 第七章 多元函数微积分 7.2.5-2多元函数的最值和条件极值

课题多元函数的最值和条件极值课时1课时（45min）总49课时教学目标知识技能目标：理解多元函数最值的定义。（2）掌握条件极值与拉格朗日乘数法。（3）掌握求多元函数最值的方法。素质目标：（1）培养大局观，提升社会责任感和使命感．（2）培养科学精神和理性思维，提升科学素养．（3）养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度．教学重难点教学重点：多元函数最值的定义，条件极值与拉格朗日乘数法教学难点：求多元函数最值的方法教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计→→→传授新知（23min）→强化训练（10min）→课堂小结（3min）→教学过程主要教学内容及步骤设计意图课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家预习有关多元函数最值及多元函数的条件极值的知识。【学生】完成课前任务通过课前任务，使了解多元函数极值及二元函数的条件极值，增加学生的学习兴趣考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（5min）【教师】提出以下问题通过上一节的学习，我们已经知道如何求函数的最值．那么，如何求函数在区域上的最大值、最小值呢？【学生】聆听、思考、回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（23min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识知识点多元函数求最值理论❖【教师】提出理论求二元函数最大值和最小值的一般方法是先考察函数的所有驻点、一阶偏导数不存在的点及边界点的函数值，再比较这些值，其中最大者（或最小者）即为函数在上的最大值（或最小值）．但是，二元函数可能会有无限个驻点及边界点，比较无限个函数值会非常复杂，不容易求出最值．下面介绍在实际问题中经常遇到的一种简单情形的求最值问题．在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数在上连续，其最大值（或最小值）一定在内取得，并知道函数在内可微，且只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值（或最小值）❖【学生】聆听、理解、记录❖【教师】讲解例题18某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱．问当长、宽和高各为多少时，才能使用料最省？❖【学生】聆听、理解、演算知识点条件极值与拉格朗日乘数法❖【教师】通过实例讲解条件极值与拉格朗日乘数法如果函数的自变量除了限制在定义域内以外，再无其他限制条件，这种极值称为无条件极值．但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题．例如，求表面积为而体积为最大的长方体的体积问题．设长方体的三棱长分别为，则体积．又因长方体的表面积为，所以自变量还必须满足附加条件．像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值．条件极值可转化为无条件极值来进行求解，例如，上述问题中，可由条件，将表示成，再把它代入中，于是问题就转化为求的无条件极值．但在很多情形下，条件极值转化为无条件极值比较复杂，下面介绍一种不用将条件极值转化为无条件极值，就可以直接求解的方法—拉格朗日乘数法．设函数和在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且，解．（1）构造辅助函数，其中为参数．（2）求辅助函数对，的一阶偏导数，并使之为0，然后与方程联立起来，组成方程组（3）由以上方程组解出，则点就是函数在附加条件下的可能极值点．以上求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法，辅助函数称为拉格朗日函数，称为拉格朗日乘子．拉格朗日乘数法还可以推广到自变量多于两个且条件多于一个的情形．❖【学生】聆听、思考、记录❖【教师】讲解例题例19设某公司下属的甲、乙两厂生产同一产品，当甲、乙两厂的产量分别为件和件时，总成本为（元）．现有总成本530000元，该如何分配甲、乙两厂的生产指标，才能使甲、乙两厂的产量之和为最大？【学生】聆听、思考、演算、对比演算步骤和结果通过教师讲解和例题分析等方式，使学生理解多元函数极值和最值的概念，并掌握求多元函数极值和最值的方法强化训练（10min）变式训练（5min）【教师】通过课堂例题进行变式训练求的最大值和最小值．【学生】黑板板演【教师】巡视纠错使用讲练结合的方式，充分了解学情课堂达标（5min）【教师】布置练习题将周长为的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体，问矩形的两边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大？【学生】练习课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了多元函数最值的概念及应用，以及条件极值与拉格朗日乘数法的相关知识。希望大家在课下多加练习，巩固课上所学知识，熟练掌握多元函数最值的相关概念及应用。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固多元函数的最值和多元函数的条件极值相关知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业完成教材中小节作业7.2中与本课相关的习题本课作业布置二维码老师扫描此码，即可进行线上作业布置【学生】完成课后任务通过课后作业复习巩固学到的知