结构地震响应的剪重比计算公式化简

结构地震响应的剪重比计算公式化简

0设计剪重比的进一步增加切割比例是结构当前设计中的重要指标。然而，随着大量污水周期大于5s的长循环建筑的出现，关于该指数的讨论也在增加。以下论述中,将采用振型分解反应谱法计算所得到的剪重比称为“计算剪重比”,而根据规范要求乘以剪重比调整系数后的剪重比则称为“设计剪重比”,文中除特别说明外,剪重比均指“计算剪重比”。本文将通过推导反应谱作用下剪重比的本质关系,从而进一步讨论对长周期结构是否应通过加大刚度来满足规范要求的“计算剪重比”。1自振周期的地震影响假定某栋高层建筑的各层均满足刚性楼板假定,且不考虑扭转耦联影响,其总层数为n,计算振型数为m,则由文献,反应谱作用下,该栋建筑第j阶振型第i层的水平地震作用标准值如下:式中:Fji为第j阶振型第i层的水平地震作用标准值;αj为对应于第j阶振型自振周期的地震影响系数,按规范反应谱取值;Xji为第j阶振型第i层的水平相对位移;γj为第j阶振型的参与系数;Gi为第i层的重力荷载代表值(下文中重力荷载代表值均简称为重量)。第j阶振型结构底部的剪力Fj为该振型各层水平地震作用标准值之和,则由式(1)可得:将式(2)代入式(3)可得:由文献,第j阶振型的振型参与质量为:将式(5)代入式(4),则第j阶振型首层剪力Fj可化简为:反应谱作用下,结构底部剪力V为各振型首层剪力的平方和的二次方根,即:若结构总重量为G,则结构底部剪重比λ为:mj/G为第j阶振型的振型参与质量系数,设为θj,则式(8)可写为:因此,剪重比λ的本质关系可表述为:“‘各振型地震影响系数αj的平方’与‘各振型参与质量系数θj的平方’的乘积之和的二次方根”。2两个因素的分析直接影响切割权重比的两个因素hj和hj2.1结构的相对位移和相对重量相设结构第j阶振型中的最大位移为Xjmax,由式(5),则结构第j阶周期的振型参与质量系数θj为:由式(10)可以看到,振型参与质量系数θj仅与本振型各质点的相对位移Xji/Xjmax及相对重量Gi/G有关,而与结构的总刚度和总重量无关。如图1所示,将一个4质点模型的刚度和质量整体放大或减小数倍,由于其质点相对位移和相对重量不变(表1),代入式(10)中计算可得,其振型参与质量系数θj也保持不变(图1)。为进一步研究相对重量分布对振型参与质量系数的影响,对一个10质点模型,假定其第1阶振型近似为一条斜直线,则由表2可以看到,振型相对位移Xji/Xjmax较大位置所对应的质点重量越大(表2中的分布形态2),则振型参与质量系数越大。对结构的任一振型,其质点相对位移Xji/Xjmax都可以按从大到小排序,因此上述结论可以推广到结构的所有振型,即结构总重量恒定时,振型相对位移较大处的重量越大,则该振型的振型参与质量系数越大(图2)。从抗震概念设计的角度来看,振型位移最大的位置,通常也是结构较为薄弱的位置,试图增大该位置的质量来提高振型参与质量系数,对结构抗震是不利的。实际上,振型参与质量系数主要由建筑自身的体型、各层质量实际分布等条件决定,很难通过调整质量分布的方法来予以改变。2.2长周期段构造成功率高、刚度影响地震影响系数αj的因素比较简单,在规范反应谱曲线上,当周期大于Tg时,地震影响系数随周期增大而逐渐减小。在长周期段,地震影响系数减小的速度越来越慢,试图增大αj必须将周期缩短很多,亦即将结构刚度增大很多,实际中很难甚至无法做到。如下面的实例1,2所示,两栋长周期超高层建筑的剪重比不同,在很多时候并非由两栋楼的周期差异引起,而是主要受振型参与质量系数影响。3各振型参与质量系数的计算实例1,2是两栋分别位于抗震设防烈度7.5度和7度区的超高层建筑,表3列出了这两栋超高层建筑的初始计算条件及整体指标。显然,位于7.5度区的实例1的地震作用较大、周期较短、位移较小,其刚度大于位于7度区的实例2。但如果将实例1转移到7度区,且各项初始计算条件均按实例2取值,则其剪重比只有0.0076,小于实例2的0.0081,说明刚度大并不一定具有较大的剪重比。由式(9)可知,当已知结构各周期(即已知地震影响系数αj)及各振型参与质量系数θj,即可直接计算得到剪重比。表4将实例1与实例2均放置在7度区,列出了振型参与质量系数最大的8个周期。可以看到,结构第1周期由于振型参与质量系数大,其对剪重比的贡献也最大,实例2的第1阶振型参与质量系数θj比实例1大23%,是其剪重比大于实例1的最直接原因。而根据第2节的推导,实例2的第1阶振型参与质量系数比实例1大,是由于其质量分布属于对抗震更不利的情况所造成的。另外,根据前述总刚度或总质量变化不影响各振型参与质量系数θj的结论,要想提高实例1和实例2的计算剪重比,只能缩短结构周期来提高αj。但由于长周期段αj的变化非常缓慢,如表5所示,要达到规范剪重比限值,结构周期要比表3中原有周期缩短近一半,此时相应刚度需提高约3.5~4.5倍,这是不可能实现的,而且层间位移角太小,也不合理。实例1与实例2周期及振型参与质量系数对比实例1,2计算剪重比达到规范限值所需付出的代价图3所示的L形平面超高层建筑(实例3)是另一个例证。该建筑第1阶振型与X轴成21°夹角,计算结果如表6所示,其主振型方向剪重比为0.0091,而X向只有0.0084,但实际上主振型方向的结构刚度更弱,相同地震作用下的位移角也更大。由表7可以看到,该结构第1阶振型在主振型方向的振型参与质量系数比X向高20%,是其剪重比较高的主要原因。这同样说明刚度较大时,其剪重比未必就较大。4判断是否为质量分布的问题(1)对长周期超高层建筑,振型参与质量系数,尤其是第1阶振型参与质量系数对计算剪重比的影响,是有可能大于刚度和质量对计算剪重比影响的。结构计算剪重比偏小,并不简单意味着结构刚度偏小或质量偏大,还需要针对具体工程考察是否存在振型参与质量系数的影响。(2)长周期超高层建筑的第1阶振型参与质量系数通常都较小,因而其计算剪重比也偏小,此时通过增大刚度或减小质量来加大计算剪重比是非常低效的,还可能造成另外一些不合理现象。(3)振型参与质量系数主要由建筑自身的体型、各层的用途、质量实际分布等条件决定,很难通过调整质量分布的方法来予以改变。(4)在保持质量分布不变的前提下,直接减小结构总质量可以加大计算剪重比,但这很困难。在保持质量不变的前提下,直接加大结构刚度也可以加大计算剪重比,但要付出极大的代价,甚至会造成结构畸形。(5)考虑到反应谱长周期段本身的一些缺陷,保证长周期超高层建筑具有足够的抗震承载力和刚度