反比例函数与一次函数(精)经典难题复习巩固

PAGE5PAGE5努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团DSE金牌数学专题系列经典专题系列反比例函数中的面积问题导入：《飞翔的蜘蛛》信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。知识点回顾

由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|

∴xy=k

故S=|k|

从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|

对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：

结论2：在直角三角形ABO中，面积S=

结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|

结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|

专题讲解考点一已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）

【例1】如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得∴k=4（2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则

．分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴

而

由四边形OEBF的面积为2得

解得k=2评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得-k=3

∴

∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）由，解得，

∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）

（3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2）

CBCBBAAA(第7题图)O4、（湖北潜江）如图，反比例函数的图象与直线相交于B两点，AC∥轴，BC∥轴，则△ABC的面积等于个面积单位.10（3）解答题5、如图所示，反比例函数的图象经过点，过点A作AB垂直x轴于点B，△AOB的面积为。（1）求k和b的值；（2）若一次函数的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，求AB：OM的值。分析：以面积为突破口，可求出A点纵坐标b和系数k，结合A点的双重特性（A点既在直线上，又在反比例函数图象上）求解相应问题。解：（1）∵AB⊥BO，A点坐标为（2）∵点A在直线上当y=0时，所以M点的坐标为点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程（组）解决问题。6.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．7．已知：如图，函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一直线L经过点C（1，0）将△AOB的面积分成相等的两部分．（1）求直线L的函数解析式；（2）若直线L将△AOB的面积分成1：3两部分，求直线L的函数解析式．拓展训练已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．分析：（1）由点A（3，2）在两函数图象上，可求得k=6,a=，正比例函数为,反比例函数为(2)0<x<3(3)设D点坐标为（3，t），则M点坐标为（由四边形OADM的面积为6得3+6+3=3t解得t=4故点M为（

D点为（3，4）从而M点为BD中点，BM=DM评注：第①小问考查求正比例和反比例函数解析式的基本方法，第②小问考查分析图形的能力，第③小问考查反比例函数中的面积的计算问题。三个小问题层次分明，有梯度，是一道较好的中考题目六、反思总结当堂过手训练（快练5分钟，稳准建奇功）1、已知正比例函数与反比例函数的图象都过，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。分析：由A点坐标满足可求得m值，再将A点坐标代入可求得正比例函数解析式，联立方程组可求得另一交点坐标。解：因图象过，即，故，即A（3，1）将A（3，1）代入，得所以正比例函数解析式为联立方程组得∴另一交点坐标为（）点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组再来解决问题。2、如图所示，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点。（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积。3、（2008山东省）（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD