江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题（南通一模）(含解析)

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题（南通一模）第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|lnx≥0}，则A∩B=(

)A.[−1,2] B.[1,2] C.(0,2] D.(0,1]2.已知向量a，b满足a+2b=(3,1)，2a−3b=(−1,2)，则A.π6 B.π4 C.π33.某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60∘，则该正四棱锥的体积为(

)A.463 B.8234.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1，Sn，A.1 B.2 C.4 D.95.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以p%的增长率呈指数增长.若增长为原来的54倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为(

)(参考数据：lgA.6 B.12 C.16 D.206.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4−x)，且f(x)在[−2,2]上单调递增.设a=f(74)，b=f(72)A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AA.2 B.22 C.3 8.设函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)，若f(x)在(0,π2)上有且只有2个零点，且对任意实数a，f(x)A.(73,3) B.(73,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是(

)A.若z2为实数，则z是实数 B.若z2为虚数，则z是虚数

C.若z2=z1，则z110.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则(

)A.P(A)=13 B.P(B|A)=12 C.A与B为互斥事件 D.11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，FA.C1F⊥平面DD1E

B.向量A1E，BF，B1D1不共面

C.平面CEF第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设(2x−1)5=a0+13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l的倾斜角为45∘，且l过点F.若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为14.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记m=|a−b|，则m的最小值为

，m小于100的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：女男未参加跳绳比赛7590参加跳绳比赛2510(1)能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关?(2)为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人进行研究.老师甲从这12人中随机选取3人，求至少有1人参加跳绳比赛的概率．附：χ2=n(ad−bcP(0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小题15分)在△ABC中，已知tanA=43(1)求B;(2)若AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积为14，求AD．17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，(1)证明：三棱柱ABC−A1(2)证明：A(3)设AB1⊂平面α，BC1/​/平面α，若直线BC118.(本小题17分)已知函数f(x)=x3+ax的图象与x轴的三个交点为A，O，B(O(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数g(x)=f(x)−2ln1−x1+x有三个零点，求(3)若a≠−1，点P在y=f(x)的图象上，且异于A，O，B，点Q满足PA⋅QA=0，PB⋅19.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且经过点A(2,22).定义第n(n∈N∗)次操作为：经过(1)求C的方程;(2)若A1为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值(3)若k=−ba，A1是C在第一象限与A不重合的一点，证明：△答案和解析1.B

【解析】解：集合B={x|lnx≥0}={x|x⩾1}，

又集合A={x|−1≤x≤2}，

∴A∩B={x|1≤x≤2}．

故选：B．2.B

【解析】解：设a=x1,y1，b=x2,y2，

因为a+2b=(3,1)，则cosa,b=a所以⟨a故选：B．3.A

【解析】解：由题意，棱锥的高为2×tan60°=6，

则该正四棱锥的体积为4.C

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

因为Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，

则2Sn=Sn+1+Sn+2，

若q=1，则2na1=n+1a15.B

【解析】解：设蓝藻每天增长率为p%，则经过t天后蓝藻数量为初始数量的(1+p100)t倍，

已知经过4天增长为原来的54倍，则有(1+p100)4=54，求解得p=100(454−1)，

设增长为原来的2倍需要经过x天，则有(1+p6.D

【解析】解：∵f(x)是R上的奇函数，f(x)=f(4−x)，

∴fx+4=f−x=−fx，

∴fx+8=−fx+4=fx，

∴函数f(x)为周期为8的周期函数，

∴a=f(74)，b=f(72)=f(4−72)=f(12)7.C

【解析】解：由题意，在△AF1F2中，|AF2|=|F1F2|=2c，|AF1|=2c−2a，

tan∠AF1F2=8.D

【解析】解：由题意，当x∈(0,π2)时，ωx−π6∈(−π6,π2ω−π6)，

因为函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)，若f(x)在(0,π2)上有且只有2个零点，

则，解得73<ω≤133．

又对任意实数a，f(x)在(a,a+9.BC

【解析】解：对于A，z2=−1为实数时，z=±i为虚数，故A错误；

对于B，设z=a+bi，(a,b∈R)，，因为z所以2ab≠0，所以a≠0且b≠0，因此z是虚数，故B正确；

对于C，设z1=a+bi，(a,b∈R)，则z2=z1=a−bi，

z1z2=(a+bi)(a−bi)=a2+b2是实数，故C正确；

对于10.AB

【解析】解：由题意，P(A)=13，A正确；

在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为12A,B可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，A,B

不互斥，C错误；∵P(B)=23×12+13×0=13，P(AB)=1311.AC

【解析】解：以点D为原点，DA、DC、DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(2,1,0)，F(1,0,2)，A1(2,0,2)，

B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，

对于A，C1F=(1,−2,0)，DE=(2,1,0)，DD1=(0,0,2)，

所以C1F·DE=0，C1F·DD1=0，所以C1F⊥DE，C1F⊥DD1，

又DE∩DD1=D，DE、DD1⊂平面DD1E，所以C1F⊥平面DD1E，故A正确；

对于B，A1E=(0,1,−2)，BF=(−1,−2,2)，B1D1=(−2,−2,0)，

假设向量A1E，BF，B1D1共面，则存在实数m、n，使得A1E=mBF+nB1D1，

所以0=−m−2n1=−2m−2n−2=2m，解得m=−1，n=12，所以向量A1E，BF，B1D1共面，故B错误；

对于C，设平面CEF的法向量为a=(x,y,z)，

又CE=(2,−1,0),CF=(1,−2,2)，

则CE·a=0CF·a=0，即2x−y=0x−2y+2z=0，取x=2，则y=4，z=3，所以a=(2,4,3)，

易知平面ABCD的一个法向量为b=(0,0,1)，

设平面CEF与平面ABCD的夹角为α，

所以cosα=|a·b||a|·|b|=31·29=329，所以tanα=1−cos2αcosα12.122

【解析】解：∵(2x−1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x413.2【解析】解：由题意，F(1,0)，直线l的方程为y=x−1，

由y=x−1y2=4x，得x2−6x+1=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，圆心D(x0,y0)，半径为R，

则x0= x1+x2214.47；1【解析】解：第一问：

将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b，

则最小的三位数为123，最大的三位数是654，

记m=|a−b|，

当|a−b|的值取最小时，则a，b两数接近，

取a=365，b=412，此时|a−b|的值取最小，即m=412−365=47，

即m的最小值为47;

第二问：

当m小于100时，则a，b的百位数字差值只能是1，

即a的百位数字是1时，b的百位数字只能是2，这样有5种情况，

则m小于100的概率为：5A44A615.解：(1)假设学生参加跳绳比赛与学生的性别无关，

则χ2=200(75×10−90×25)2100×100×165×35=60077≈7.792>6.635，

所以有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关;

(2)利用分层抽样的方法从女生这100人中抽取12人，

则未参加跳绳比赛的有9人，参加跳绳比赛的有3人．

老师甲从这12人中随机选取3人，

记“至少有1人参加跳绳比赛”为事件A，

16.解：(1)在△ABC中，

tanA=43>0，

所以0<A<π2，

因为0<B<π，

所以−π<A−B<π2，

因为sin(A−B)=210>0，

所以0<A−B<π2，

所以cos(A−B)=1−sin2(A−B)=7210．

所以tan(A−B)=sin(A−B)cos(A−B)=17，

所以tanB=tan[A−(A−B)]=tanA−tan(A−B)1+tanA⋅tan(A−B)=43−171+43×17=1，

所以B=17.证明：(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，

因为BB1=CC1=AA1，∠ABB1=∠BCC1=∠CAA1=90∘，

又因为AB1=BC1=CA1，

所以△ABB1≌△BCC1≌△CAA1，

所以AB=BC=CA，

所以三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱．

证明：(2)取AC，A1C1的中点D，D1，连接BD，DD1，

由(1)知三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱.，

所以BD⊥AC，AA1/​/DD1，

因为AA1⊥平面ABC，

所以DD1⊥平面ABC．

以{DB,DC,DD1}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨设AC=2a，AA1=b，

则A(0,−a,0)，B(3a,0,0)，C(0,a,0)，A1(0,−a,b)，C1(0,a,b)，B1(3a,0,b)，

所以BC1=(−3a,a,b)，CA1=(0,−2a,b)18.解：(1)由已知得，f(x)=0有三个根，

令x3+ax=0，得x=0或x2+a=0，

所以x2+a=0有两个不同的解，所以a<0．

令f′(x)=3x2+a>0，得x<−−3a3或x>−3a3;令f′(x)<0，得−−3a3<x<−3a3，

所以当a<0时，f(x)在(−∞,−−3a3)和(−3a3,+∞)上单调递增;

在(−−3a3,−3a3)上单调递减．

(2)令1−x1+x>0，得−1<x<1．

令g(x)=x3+ax−2ln1−x1+x，

因为g(−x)+g(x)=−x3−ax−2ln1+x1−x+x3+ax−2ln1−x1+x=0，

所以g(x)为奇函数．

因为g(0)=0，所以0是g(x)的一个零点，

要使g(x)=f(x)−2ln1−x1+x有三个零点，只需要g(x)在(0,1)有且仅有一个零点．

g′(x)=3x2+a+41−x2在(0,1)上单调递增，g′(0)=a+4．

当a+4≥0，即a≥−4时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，

由g(0)=0，得g(x)在(0,1)上无零点，不合题意，舍去．

当a+4<0，即a<−4时，g′(1+4a)>a+41−(1+4a)=0，

所以存在x0∈(0,1)，使得g′(x0)=0．

当0<x<x0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,x0)上单调递减;

当x019.解：(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b