考点05函数的概念与基本性质

考点05函数的概念与基本性质1.【2023新高考Ⅱ卷】若f(x)=(x+a)ln2x−12x+1为偶函数，则a=A.−1 B.0 C.12 D.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查利用函数的奇偶性求参数，属于基础题．

根据偶函数有f(−x)=f(x)，即可求参数a．

【解答】

解：因为g(x)=ln2x−12x+1是奇函数，而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数，有

f(−x)=(−x+a)g(−x)=−(−x+a)g(x)=(x+a)g(x)=f(x)，故x−a=x+a，则a=0，

2.【2023全国甲卷】已知函数f(x)=e−(x−1)2．记a=f(22)，b=f(A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】A

【解析】【分析】本题考查利用指数函数的图象与性质比较大小，属中档题．

先通过函数解析式判断函数对称性和单调性，进一步可判断选项．【解答】解：函数f(x)=e−(x−1)2图象关于直线函数在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，2则b>c>a.

故选A．3.【2022新高考Ⅱ卷】若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则k=122f(k)=A.−3 B.−2 C.0 D.1【答案】A

【解析】【分析】本题考查函数性质的应用，涉及函数的周期与赋值法的应用。【解答】解：令y=1得f(x+1)+f(x−1)=f(x)⋅f(1)=f(x)⇒f(x+1)=f(x)−f(x−1)

故f(x+2)=f(x+1)−f(x)，f(x+3)=f(x+2)−f(x+1)，

消去f(x+2)和f(x+1)得到f(x+3)=−f(x)，故f(x)周期为6;

令x=1，y=0得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)⇒f(0)=2，

f(2) =f(1)−f(0)=1−2=−1，

f(3)=f(2)−f(1)=−1−1=−2，

f(4)=f(3)−f(2)=−2−(−1)=−1，

f(5)=f(4)−f(3)=−1−(−2)=1，

f(6)=f(5)−f(4)=1−(−1)=2，

故k=122f(k)=3[f(1)+f(2)+⋯+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)

=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(−1)+(−2)+(−1)=−3

4.【2022全国乙卷】已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5，g(x)−f(x−4)=7，若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=A.−21 B.−22 C.−23 D.−24【答案】D

【解析】【分析】本题考查函数的对称性，周期性，属于拔高题．【解答】

解：若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，则g(2−x)=g(2+x)，因为

f(x)+g(2−x)=5，所以f(−x)+g(2+x)=5，故f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数.由

g(2)=4，f(0)+g(2)=5，得f(0)=1.由g(x)−f(x−4)=7，得g(2−x)=f(−x−2)+7，

代入f(x)+g(2−x)=5，得f(x)+f(−x−2)=−2，f(x)关于点(−1,−1)中心对称，所以

f(1)=f(−1)=−1.由f(x)+f(−x−2)=−2，f(−x)=f(x)，得f(x)+f(x+2)=−2，所

以f(x+2)+f(x+4)=−2，故f(x+4)=f(x)，f(x)周期为4.由f(0)+f(2)=−2，得

f(2)=−3，又f(3)=f(−1)=f(1)=−1，所以k=122f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=5.【2021全国甲卷】下列函数中是增函数的为(

)A.f(x)=−x B.f(x)=(23)x C.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．

结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】

解：由一次函数性质可知f(x)=−x在R上是减函数，不符合题意；

由指数函数性质可知f(x)=(23)x在R上是减函数，不符合题意；

由二次函数的性质可知f(x)=x2在R上不是增函数，不符合题意；

根据幂函数性质可知f(x)=36.【2021全国乙卷】设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是

(

)A.f(x−1)−1 B.f(x−1)+1 C.f(x+1)−1 D.f(x+1)+1【答案】B

【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于中档题．

先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．【解答】

解：因为f(x)=1−x1+x=−(x+1)+21+x=−1+2x+1，

所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，

所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，

得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，7.【2021全国Ⅱ卷】设函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则

(

)A.f−12=0 B.f(−1)=0 C.【答案】B

【解析】【分析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查．

推导出函数fx是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f【解答】

解：因为函数fx+2为偶函数，则f2+x=f因为函数f2x+1为奇函数，则f1−2x=−f所以，f(x+3)=−f(x+1)，即f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，故函数fx是以4因为函数Fx=f2x+1故f−1故选B．8.【2021全国甲卷】设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.A.−94 B.−32 C.【答案】D

【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的应用，属于中档题．

由f(x+1)为奇函数，可得f(1)=0，结合x∈[1,2]上的函数解析式可得b=−a，再根据f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，分别计算出f(0)与f(3)，结合条件可得a=−2，最后将f92转化为【解答】

解：因为f(x+1)为奇函数，所以f(1)=0，即a+  b=0，所以b=−  a.

又f(0)=  f(−1+1)=−  f(1+1)=−  f(2)=−4  a−  b=−3  a.

f(3)=  f(1+2)=  f(−1+2)=f(1)=0，

由f(0)+  f(3)=6，得a=−2.

f(92)=f(2+52)=f(2−9.【2020全国Ⅰ卷】若定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是

(

)A.[−1,1]∪[3,+∞) B.[−3,−1]∪[0,1] C.[−1,0]∪[1,+∞) D.[−1,0]∪[1,3]【答案】D

【解析】【分析】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查运算求解及逻辑推理能力，属于一般题．

根据题意，不等式xf(x−1)⩾0可化为x⩾0f(x−1)⩾0

或x⩽0【解答】解：根据题意，不等式xf(x−1)⩾0可化为x⩾0f(x−1)⩾0

或由奇函数性质得f(−2)=−f(2)=0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以x⩾00⩽x−1⩽2或x−1⩽−2或x⩽0−2⩽x−1⩽0或x−1⩾2,

解得1⩽x⩽3满足xf(x−1)⩾0的x的取值范围是x∈[−1,0]∪[1,3]．故选D．10.【2023新高考Ⅰ卷】已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)A.f(0)=0 B.f(1)=0

C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点【答案】ABC

【解析】【分析】本题主要考查抽象函数的奇偶性、函数的极值点，属中档题．通过赋值法，可判断ABC选项.对于D选项可设常函数f(x)=0

，进行排除．【解答】解：选项A，令x=y=0，则f(0)=0×f(0)+0×f(0)，则f(0)=0，故A正确;选项B，令x=y=1，则f(1)=1×f(1)+1×f(1)，则f(1)=0，故B正确;选项C，令x=y=−1，则f(1)=(−1)2×f(−1)+(−1再令y=−1，则f(−x)=(−1)2f(x)+x2f(−1)选项D，不妨设f(x)=0为常函数，且满足原题f(xy)=y2f(x)+故选：ABC.11.【2022新高考Ⅰ卷】已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域为R，记g(x)=f′(x).若f(32−2x)，g(2+x)均为偶函数，则

(

)A.f(0)=0 B.g(−12)=0 C.f(−1)=f(4)【答案】BC

【解析】【分析】本题主要考查导函数与原函数的关系，函数的对称性及奇偶性，属于难题.利用函数的奇偶性及周期性，导函数与原函数的关系逐项分析即可．【解答】解：由f(32−2x)为偶函数可知f(x)关于直线x=32对称，

由g(2+x)为偶函数可知g(x)关于直线x=2对称，

结合g(x)=f′(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2,t)对称，

根据f(x)关于直线x=32对称可知：g(x)关于点(32,0)对称，

综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正确;

f(−1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(−1)=f(4)，所以C正确．

g(−12)=g(312.【2023全国甲卷】若f(x)=(x−1)2+ax+sin(x+π【答案】2

【解析】【分析】本题考查由函数的奇偶性求参，属于基础题．化简表达式，由偶函数的定义可得结果．【解答】解：f(x)=(x−1)所以f(−x)=x由题意知f(x)=f(−x)，即(a−2)x=0对x∈R恒成立，故答案为2.

13.【2022北京】函数f(x)=1x+1−x【答案】(−∞,0)∪(0,1]

【解析】【分析】本题考查求函数的定义域，属于基础题．【解答】

解：依题意x≠0,1−x≥0,解得x∈(−∞,0)U(0,1]14.【2022全国乙卷】若f(x)=ln|a+11−x|+b是奇函数，则a=

，【答案】−ln【解析】【分析】本题主要考查利用函数的奇偶性求参，属于较难题．【解答】

解：f(x)=lna−ax+11−x+b=lnax−a−1x−1+b，

f(−x)=lnax+a+1x+1+b，

f(x)+f(−x)=lnax−(a+1)x−115.【2022浙江】已知函数f(x)=−x2+2,x≤1,x+1x−1,x>1,则f(f(12))=

;【答案】373+【解析】【分析】本题考查函数值计算，利用函数值域求自变量取值范围．【解答】

解：由题可知：f(12)=14=74，所以f(f(12))=f(74)=3728．

当x≤1时，令f(x)∈[1,3]，解得x∈[−1,1];

当16.【2022北京】设函数f(x)=−ax+1,x<a(x−2)2,x≥a，若f(x)存在最小值，则a的一个取值为

，【答案】0(答案不唯一)；1

【解析】【分析】本题考查分段函数的取值问题，题目较难．【解答】

解：由题意知，函数最值与函数单调性相关，故可考虑以0，2为分界点研究函数的性质，

当a<0时，f(x)=−ax+1，x<a，该段的值域为(−∞,−a2+1)，故整个函数没有最小值;

当a=0时，f(x)=−ax+1，x<a该段的值域为{1}，而f(x)=x−22，x⩾a的值域为[0,+∞)，故此时f(x)的值域为[0,+∞)，即存在最小值为0，故第一个空可填写0;

当0<a⩽2时，f(x)=−ax+1，x<a，该段的值域为(−a2+1,+∞)，而f(x)=(x−2)2，x≥a的值域为[0,+∞)，若存在最小值，则需满足−a2+1≥0，于是可得0<a⩽1;

当a>2时，f(x)=−ax+1，x<a，该段的值域为−a2+1,+∞.而f(x)=(x−217.【2021浙江】已知a∈R，函数f(x)=x2−4,x>2|x−3|+a,x≤2，若f(f(6【答案】2

【解析】【分析】本题考查了分段函数，属于基础题．

先得出f(【解答】

解：f(6)=6−4=2，

所以f(f(6))=f(2)=1+a=3，

可得18.【2021新高考Ⅱ卷】写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx:

．①fx1x2=fx1fx2；【答案】f(x)=x2(答案不唯一，f【解析】【分析】本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题．

根据幂函数的性质可得所求的fx【解答】

解：取f(x)=x2，则f(xf​′(x)=2x，x>0时有f′f​′(x)=2x又f​′(−x)=−2x=−f​′故答案为：f(x)=x2(答案不唯一，19.【2020北京】函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是

【答案】{x|x>0}

【解析】【分析】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，属于基础题．

根据函