2022-2023学年广东省惠州市中考数学专项提升仿真模拟卷（3月4月）含解析

2022-2023学年广东省惠州市中考数学专项提升仿真模拟卷

（3月）

一、选一选（本大题共8小题，共24.0分）

1.（一万）°的值是（）

A.-nB.%C.-1D.1

2.青岛“最美地铁线”-连接崂山和即墨的地铁11号线，在今年4月份开通，地铁11号线全

长月58千米，58千米用科学记数法可表示为（）

A.0.58xl05/nB.5.8x10%C.58X10%D.

5.8xl05/n

3.如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是对称图形的有（）

◎③△即。

中国银行中国工商银行中国人民银行中国农业银行中国建设银行

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.“发红包”是最近兴起的一种娱乐方式，为了了解所在单位员工春节期间使用发红包的情况,

小明随机了16名同事平均每个红包发的钱数，结果如下表

平均每个红

包发的钱数（25101520

元）

发红包的人

25522

数

则此次中平均每个红包发的钱数的众数为（）

A.2元B.5元C.10元D.5元和10元

5.如图，已知48是QO的直径，NCBA=25°，则/。的度数为（)

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A.25°B.50”C.65°D.75°

6.小明家离学校2000米，小明平时从家到学校需要用x分钟，今天起床晚，恰迟到，走路速

度比平时快5米/分钟，结果比平时少用了2分钟到达学校，则根据题意可列方程（）

20002000「2000200020002000

A.------------=5B.------------=5rC.------------=5rD.

x-2xx+2xxx-2

20002000/

------------=5

xx+2

7.如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与MRCi相似的

是（）

A：B.

8.如图，抛物线弘=ax2+bx+c（aw0）,其顶点坐标为4（—1,3）,抛物线与x轴的一个交点

为8（—3,0）,直线%=mx+〃（加工0）与抛物线交于4B两点,下列结论：®2a-b=0,

@abc>0,③方程“x2+bx+c=3有两个相等的实数根，④抛物线与x轴的另一个交点是

（1,0）,⑤当—3<x<—1时，有为〈必.其中正确结论的个数是（）

By

-37-1

力>111

A.5B.4C.3D.2

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.计算：（2x7y）3+（6x6_/）=.

10.3.12日植树节，老师想从甲、乙、丙、丁4名同学中挑选2名同学代表班级去参加学校组

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织的植树，恰好选中甲和乙去参加的概率是.

ni；7

11.如图是反比例函数y=一与反比例函数了=一（〃?>“且〃?〃/0）在象限的图象，直线

XX

N3//X轴，并分别交两条曲线于/、8两点，若"?一〃=2,则△/。台的面积是.

12.如图,若菱形"BCD的周长为20,对角线ZC=5.E为BC边上的中点，则/E的长为

13.将抛物线y=》2+x+i向上平移一个单位，向右平移两个单位，直线y=2x+6恰好平移

后的抛物线的顶点，则b的值是.

14.求1+2+2?+23+…+22期的值，可令s=l+2+2?+23+…+2”°7,则

2342018M18

25=2+2+2+2+...+2,因此2s—s=22°逐一1，g[j5=2-i，仿照以上推理，计

算出1+3+32+3?+…+32°|8的值为______.

三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）

15.2014年，“即墨古城”在即墨区破土重建，2016年建成，现已成为青岛北部一个重要的旅

游景点，为了衡量古城“潮海”门的高度，在数学课外实践中，小明分别在如图所示的4,B

两点处，利用测角仪对“潮海”，门的点C进行了测量，测得NZ=30°，48=45°，若/8=22

米，求“潮海”门的点C到地面的高度为多少米？（结果到1米，参考数据：1.732）

16.为开展体育大课间，某学校需要购买篮球与足球若干个，已知购买3个篮球和2个足球需

第3页/总58页

求共需要575元，购买4个篮球和3个足球共需要785元.

（1）购买一个篮球，一个足球各需多少元？

（2）若体育老师带了8000元去购买这种篮球与足球共80个，由于数量较多，店主给出篮球与

足球一律打八折的优惠价，那么他最多能购买多少个篮球？同时买了多少个足球？

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

17.用圆规、直尺作图，没有写作法，但要保留作图痕迹.

已知：四边形/8CD

求作：点P，使PC/且点P到点4和点B的距离相等.

3x—12x+1

-------------<6

（2）解没有等式组：23

2x+l<3（x-l）

19.在一个没有透明的袋子里装有4个小球，分别标有数字1,2,3,4；这些小球除所标数字

没有同外，其余完全相同，甲乙两人每次同时从袋中各随机摸出一个小球，记下球上的数字，

并计算它们的积.

（1）请用画树状图或列表的方法，求两数积是8的概率；

（2）甲乙两人想用这种方式做游戏，他们规定，当两数之积是偶数时，甲得1分，当两数之积

是奇数时，乙得3分，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若你认为没有公平，请修改得分

规则，使游戏公平.

20.为了了解学生的课外学习负担，即墨区某中学数学兴趣小组决定对本校学生每天的课外学

习情况进行，他们随机抽取本校部分学生进行了问卷，并将结果分为小B,C,。四个等级，

列表如下：

等级ABCD

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每天课外学习时间(7)r<l1<Z<1,51.5</<2/>2

根据结果绘制了如图所示的两幅没有完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题:

图2

(1)本次抽样共抽取了多少名学生？其中学习时间在B等级的学生有多少人？

(2)将条形统计图补充完整；

(3)表示D等级的扇形圆心角的度数是多少？

(4)该校共有2000名学生，每天课外学习时间在2小时以内的学生有多少人？

21.如图，正方形中，点E,尸分别在边，AD,CD上，且BE=BF,BD和EF交于点

O,延长8。至点4,使得BO=HO,并连接"E,HF.

(1)求证：AE=CF；

(2)试判断四边形是什么的四边形，并说明理由.

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3

22.图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，点尸到水面。4的距离为一加，从。、/两处观测产

2

13

处，仰角分别为「，B,且tana=5,tan/7=-,以。为原点，04所在直线为x轴建立直

角坐标系，已知抛物线方程为丁=。/+/.

（1）求抛物线方程，并求抛物线上的点到水面的距离；

（2）水面上升1加，水面宽多少（、历取1.41,结果到01〃。？

23.阅读下列材料:

情形展示：

情形一：如图①，在A/BC中，沿等腰三角形N8C的顶角NR4c的平分线/片折叠，若点B

与点C重合，则称N8/C是A/BC的“好角”，如图②，在AZBC中，先沿N8/C的平分线

/月折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿Ng4c的平分线4打折叠，若点片与点C重合,

则称NBAC是“BC的"好角”•

情形二：如图③，在A/BC中，先沿ZB/C的平分线工用折叠，剪掉重复部分，再将余下部

分沿N8/C的平分线4片折叠，剪掉重复部分…重复折叠〃次，最终若点与1与点。重合,

则称NB4c是AZBC的“好角”，探究发现：（没有妨设NBNNC）

（1）如图①，若N8/C是A/BC的“好角”，则D3与NC的数量关系是：.

（2）如图②，若NA4c是的“好角”，则D8与NC的数量关系是：.

（3）如图③，若NBAC是的“好角”，则DB与NC的数量关系是：.

应用提升：

（4）如果一个三角形的三个角分别为15°，60°，105°，我们发现60°和105°的两个角都是此三

角形的“好角”；如果有一个三角形，它的三个角均是此三角形的“好角”，且已知最小的角

是12°，求另外两个角的度数.

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A

A

24.如图，在四边形/BCD中，AD!IBC,AD=3,DC=5,AB=班,N8=45°,动

点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从点C出

发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.

设运动的时间为/秒（0</<5）.

（1）求8c的长.

（2）当〃48时，求f的值.

（3）设&MNC的面积为S.MNC，试确定S.MNC与t的函数关系式.

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t,使S,M,VC：S四边.8。=12：65?若存在，求出，的

值：若没有存在，请说明理由.

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2022-2023学年广东省惠州市中考数学专项提升仿真模拟卷

（3月）

一、选一选（本大题共8小题，共24.0分）

1.（一万）°的值是（）

A.-nB.%C.-1D.1

【正确答案】D

【详解】任何数的零次方都为1,所以（-7）°=1,

则（一万）°的值是1.

故选D.

2.青岛“最美地铁线”-连接崂山和即墨的地铁11号线，在今年4月份开通，地铁11号线全

长月58千米，58千米用科学记数法可表示为（）

A.0.58X105WB.5.8X10S?C.58X10%D.

5.8X105W

【正确答案】B

【详解】58千米=58000*5.8x10%,

故58千米用科学记数法可表示为5.8X104W.

故选B.

本题考查科学记数法，其形式为：axio"（1<«<10,"为正整数）.

3.如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是对称图形的有（）

©@A©e

中国银行中国工商银行中国人民银行中国农业银行中国建设银行

A.2个B.3个C.4个D.5个

【正确答案】A

【详解】试题分析：中国银行标志：既是轴对称图形又是对称图形，符合题意；

中国银行标志：既是轴对称图形又是对称图形，符合题意；

中国人民银行标志：是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；

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中国农业银行标志：是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；

中国建设银行标志：没有是轴对称图形，也没有是对称图形，没有符合题意；

故选A.

考点：对称图形；轴对称图形.

4.“发红包”是最近兴起的一种娱乐方式，为了了解所在单位员工春节期间使用发红包的情况,

小明随机了16名同事平均每个红包发的钱数，结果如下表

平均每个红

包发的钱数（25101520

元）

发红包的人

25522

数

则此次中平均每个红包发的钱数的众数为（）

A.2元B.5元C.10元D.5元和10元

【正确答案】D

【详解】由题表可知，平均每个红包发的钱数为5和10的人数都是5人，最多，故众数为5元

和10元.

故选D.

本题考查众数，在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，要注意的是众数没

有一定.

5.如图，已知48是QO的直径，Z.CBA=25°＞则ND的度数为（)

B.50°C.65°D.75°

【正确答案】C

【详解】••ZB是。。的直径,

:.ZACB=90°,

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/.ZA=900-ZCBA=65°,

又根据圆的性质，同一段弧所对的圆周角大小相等,

AZD=ZA=65°.

故选C.

本题考查圆周角定理及其推论：（1）在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角

的一半；

（2）同弧或等弧所对的圆周角相等.

6.小明家离学校2000米，小明平时从家到学校需要用x分钟，今天起床晚，恰迟到，走路速

度比平时快5米/分钟，结果比平时少用了2分钟到达学校，则根据题意可列方程（）

20002000「20002000,20002000,

A.------------------=5B.-------------------=5C.-------------------=5D.

x-2xx+2xxx-2

20002000u

------------=5

xx+2

【正确答案】A

【详解】由题意得，小明平常去学校的速度为空变

X

小明今天去学校用的速度为空”

x—2

E-TH一H20002000「

则可列方程------------=5.

x-2x

故选A.

7.如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的

是（)

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【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.

【详解】解：因为A4耳£中有一个角是135。，选项中，有135。角的三角形只有B,且满足两

边成比例夹角相等，

故选B.

本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形的思想解决问题，属于中考常考题型.

8.如图，抛物线凹=ox2+bx+c（a*0）,其顶点坐标为/（一1,3）,抛物线与x轴的一个交点

为8（-3,0）,直线必=树+〃（加工0）与抛物线交于4，8两点，下列结论：①2〃一6=0,

②abc>0,③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，④抛物线与x轴的另一个交点是

（1,0）,⑤当一3<%<一1时，有%〈乂.其中正确结论的个数是（）

【正确答案】A

【详解】由题意可知，抛物线的对称轴为直线尸-2=-1,

2a

.•.2。-6=0,故①正确；

♦・,抛物线开口向下，

•\a<0f

.0*6=2。<0,

V抛物线与y轴的交点在x轴上方，

Aabc>0,故②正确；

•.•抛物线顶点坐标为/（-1,3）,

••.将抛物线必=ax?+6x+c向下平移三个单位，抛物线与x轴只有一个交点,

；・方程“/+bx+c=3有两个相等的实数根，故③正确；

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•.•抛物线与x轴的一个交点为（-3,0）,且抛物线的对称轴为直线x=-l,

.•.抛物线与x轴的另一交点为（1,0）,故④正确；

：•直线为=fnx+n与抛物线必=ax'+bx+c交于"（-1,3）,5（-3,0）两点，

二当—3<x<—1时，有为〈必，故⑤正确；

故正确的有5个.

故选A.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.计算：（2工7团3+（6》6艮）=.

4

【正确答案】一

3

［详解］原式=（8%2R3）;仅分3）=#.

4

故答案为？X”.

3

10.3.12日植树节，老师想从甲、乙、丙、丁4名同学中挑选2名同学代表班级去参加学校组

织的植树，恰好选中甲和乙去参加的概率是.

【正确答案】-

6

【详解】挑选2名同学，所有可能出现的结果共有6种，分别是：甲和乙，甲和丙，甲和丁，

乙和丙，乙和丁，丙和丁，

则恰好选中甲和乙去参加的概率是

6

故答案为—.

6

mn

11.如图是反比例函数了=一与反比例函数了=一（m〉"且〃?〃H0）在象限的图象，直线

XX

N8//X轴，并分别交两条曲线于/、8两点，若7M-〃=2,则A/08的面积是.

第12页/总58页

【正确答案】1

【详解】设X(a,b),B(c,d),

分别代入函数得：m=cd,n=ah,

111

则nlS^AOB=—cd--ab=—(m-")=1.

222

故答案为1.

12.如图,若菱形N88的周长为20,对角线NC=5.E为8c边上的中点，则ZE的长为

【正确答案】更

2

【详解】:菱形488的周长为20,

:,AB=BC=5,

・.7C=5,

•••△48C为等边三角形，

又YE为边上的中点，

15

：.AE±BC,BE=-BC=-,

22

:.AE7AB2-BC?=£^.

2

故答案为逋.

2

第13页/总58页

13.将抛物线y=/+x+l向上平移一个单位，向右平移两个单位，直线y=2x+6恰好平移

后的抛物线的顶点，则6的值是______.

【正确答案】

4

1313

【详解】抛物线^=/+1+1=（]+一）2+一，其顶点坐标为（--，-）,

2424

37

则抛物线向上平移一个单位，再向右平移两个单位后，顶点坐标为（一，-）,

24

・・・直线y=2x+b恰好平移后的抛物线的顶点，

・73

♦•一=2x—助,

42

解得b=----.

4

故答案为—.

4

232007

14.求1+2+22+23+...+22°°7的值，nT^^=l+2+2+2+...+2»则

25=2+22+23+24+...+220,8.因此2s-s=22tH8-1，即5=2288—1，仿照以上推理，计

算出1+3+32+3?+...+32°|8的值为.

R2019_]

【正确答案】-~—

2

【详解】令41+3+32+33+...+320%

则3s=3+32+3?+…+32°19,

.,•35-5=32019-1，

-12019_]

解得s=^——.

2

-12019_]

故答案为2_1.

2

三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）

15.2014年，“即墨古城”在即墨区破土重建，2016年建成，现己成为青岛北部一个重要的旅

游景点，为了衡量古城“潮海”门的高度，在数学课外实践中，小明分别在如图所示的4,B

第14页/总58页

两点处，利用测角仪对“潮海”，门的点C进行了测量，测得NZ=30°，N5=45°，若/8=22

米，求'‘潮海"门的点C到地面的高度为多少米？（结果到1米，参考数据：V3«1,732）

【正确答案】“潮海”门的点C到地面的高度为30米.

【分析】过C作C。，交延长线于点。，设CO=x米，在RtA/C。和Rt.BCD中,

分别用含有x的式子表示40,8。的长，然后根据48=4。-8。列出关于x的方程求解即可.

【详解】如图过C作。。_L/8,交45延长线于点。，

设C0=x米，

在RtA/CZ）中,

tan30

在RbBC。中，

BD=x米,

：.y/3x-x=22米,

22

解得：X=~^=-n30米,

则“潮海”门的点C到地面的高度为30米.

16.为开展体育大课间，某学校需要购买篮球与足球若干个，已知购买3个篮球和2个足球需

求共需要575元，购买4个篮球和3个足球共需要785元.

（1）购买一个篮球，一个足球各需多少元？

（2）若体育老师带了8000元去购买这种篮球与足球共80个，由于数量较多，店主给出篮球与

足球一律打八折的优惠价，那么他最多能购买多少个篮球？同时买了多少个足球？

第15页/总58页

【正确答案】（1）购买一个需要篮球155元，购买一个足球需要55元；（2）这所学校最多可以

购买56个篮球，同时买了24个足球.

【分析】（1）设购买一个篮球需要x元，购买一个足球需要y元，根据题意列出x,y的一元方

程组，然后求解即可；

（2）设购买了"个篮球，则购买了（80-4）个足球，根据题意列出关于a的没有等式，然后求

解没有等式即可得到答案.

【详解】（1）设购买一个篮球需要x元，购买一个足球需要y元，

（3x+2片575

列方程得：4x+3y=785,

（x=I55

解得：\y=55,

答：购买一个需要篮球155元，购买一个足球需要55元：

（2）设购买了4个篮球，则购买了（80-a）个足球，

列没有等式得：155x0.8tz+55x0.8x（80-a）V8000,

解得a<56,

.••最多可以购买56个篮球，

,同时购买了80-56=24个足球,

故这所学校最多可以购买56个篮球，同时买了24个足球.

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

17.用圆规、直尺作图，没有写作法，但要保留作图痕迹.

已知：四边形/8CQ.

求作：点P,使PC//Z8,且点P到点4和点8的距离相等.

【正确答案】见解析.

第16页/总58页

【分析】如图延长至。，根据内错角相等两直线平行作出直线CP,再作出线段48的垂直

平分线尸尸，两直线的交点即为尸点.

【详解】解：如图，延长48至0,作NBCE=NCBQ,再作线段的垂直平分线尸G,交

CE于点尸即可.

点尸即为所求.

解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本

作图，逐步操作.

18.(1)化筒：a-：

3x—12x+1

-------------<6

（2）解没有等式组：23

2x+l<3（x-l）

【正确答案】（l）a+b；（2）4<x<5.5.

【详解】解：（1）原式=三匕+上士=叱蛇心1，—="+/,；

aaaa-b

3x-l2x+1_

-------------<6

（2）<23,

2x+l<3（x-l）

a_ini1

解没有等式v—幺」Y46得：x<5.5,

23

解没有等式2x+l<3（x-l）得：x>4,

则没有等式组的解集为4<xW5.5.

19.在一个没有透明的袋子里装有4个小球，分别标有数字1,2,3,4；这些小球除所标数字

没有同外，其余完全相同，甲乙两人每次同时从袋中各随机摸出一个小球，记下球上的数字，

并计算它们的积.

第17页/总58页

（1）请用画树状图或列表的方法，求两数积是8的概率；

（2）甲乙两人想用这种方式做游戏，他们规定，当两数之积是偶数时，甲得1分，当两数之积

是奇数时，乙得3分，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若你认为没有公平，请修改得分

规则，使游戏公平.

【正确答案】（1）（2）此游戏没有公平；修改规则为：当两数之积是偶数时，甲得1分，

当两数之积是奇数时，乙得5分.

【分析】（1）根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有可能的结果和两数积是8的情况,

再利用概率公式即可求得答案；

（2）先分别求出两数积是偶数与两数积是奇数的概率，然后比较得分是否相同，若没有同根据

所得概率修改得分归则即可.

【详解】（1）画树状图得：

2

/1\/1\/1\/1\

234134124123

积23426836124812

•••共有12种等可能的结果，两次摸出的小球的数字积是8的有2种情况，

21

，两数积是8的概率为一=—；

126

（2）两数之积是偶数的有10种情况，两数之积是奇数的有2种情况，

・•.P（两数之积是偶数）=W=*,P（两数之积是奇数）=2=,，

126126

:一xl力一x3,

66

，此游戏没有公平；

修改规则为：当两数之积是偶数时，甲得1分，当两数之积是奇数时，乙得5分.

20.为了了解学生的课外学习负担，即墨区某中学数学兴趣小组决定对本校学生每天的课外学

习情况进行，他们随机抽取本校部分学生进行了问卷，并将结果分为4B,C,。四个等级，

列表如下：

第18页/总58页

等级ABcD

每天课外学习时间（/）r<l14f<1.51.5<Z<2t>2

根据结果绘制了如图所示的两幅没有完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题:

图2

（1）本次抽样共抽取了多少名学生？其中学习时间在B等级的学生有多少人？

（2）将条形统计图补充完整；

（3）表示。等级的扇形圆心角的度数是多少？

（4）该校共有2000名学生，每天课外学习时间在2小时以内的学生有多少人？

【正确答案】（1）200名，100名；（2）补全图形见解析;（3）36°；（4）1800名.

【分析】（1）根据/等级的人数与其所占百分比即可得到抽取学生总人数，再用抽取学生总人

数减去4C,。等级的学生人数即可得到B等级的学生人数；

（2）根据（1）将条形统计图补充完整即可；

（3）用。等级人数除以抽取学生的总人数再乘以360°,即可得到其圆心角的度数；

（4）用该校总人数乘以4,B,C等级所占比例即可得到答案.

【详解】（1）本次抽样共抽取学生40+20%=200（名），其中学习时间在B等级的学生有

200-（40+40+20）=100（名）；

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（2）补全图形如下:

图2

20

（3）表示。等级的扇形圆心角的度数是360°=36°；

200

（4）估计每天课外学习时间在2小时以内的学生有2000x4。+；；；+4。=1800（名）.

21.如图，正方形中，点E,尸分别在边，AD,CDh,BE=BF,BD和EF交于点

O,延长BD至点H,使得BO=HO,并连接HE,HF.

(1)求证：AE=CF；

（2）试判断四边形8E”尸是什么的四边形，并说明理由.

【分析】（1）根据题意可得/8=C8,BE=BF,即可证RS/BE名RSCB/，所以NE=C尸；

（2）由（1）可得。E=O凡即厂为等腰直角三角形，可得E尸垂直B”,然后可证得OE=OF,

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即EF与5//互相垂直平分，所以四边形8E//F是菱形.

【详解】(1)：四边形48。。是正方形，

:.AB=BC,N4=NC=90°，

在RUABE和RtKBF中，

AB=CB,BE=BF,

Rt"BE丝Rt^CBF(HL)

：.AE=CF；

(2)四边形8分/尸是菱形：

理由：•••四边形48。是正方形，

ZBDF=45°-AADC=90^AD=CD,

又•；AE=CF,

DE=DF,

.•.△DE尸为等腰直角三角形，

NDFE=45"，

ZDOF=90°>即O5_LEE,

又•：BE=BF,

：.OE=OF,

•••OB=OH,

，四边形BE”尸是平行四边形.

YBHLEF,

/.四边形BEHF是平行四边形.

3

22.图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，点尸到水面的距离为一〃?，从O、/两处观测产

2

13

处，仰角分别为a,(3,且tana=5，tan^=-,以。为原点，所在直线为x轴建立直

角坐标系，已知抛物线方程为了=这2+以.

(1)求抛物线方程，并求抛物线上的点到水面的距离；

(2)水面上升1加，水面宽多少(0取1.41,结果到01〃?)？

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【正确答案】(1)故抛物线方程为卜=-；@-2)2+2,抛物线上的点到水面的距离2加；

(2)水面宽约为2.8〃?.

【分析】(1)如图过点尸作尸〃_L于"，求出RaOHP中OH的长得到P点坐标，再求出

中月〃长得到4点坐标为(4,0),所以可设抛物线解析式为歹="(x—4),然后将P

点坐标代入求解得到抛物线解析式，然后求出顶点坐标即可得到答案;

(2)将y=l代入抛物线解析式中求解得到x的值，然后计算出水面宽即可.

【详解】(1)过点P作于//,如图.

/.OH—3〃?，

二点尸的坐标为(3,g

在尸中，

3

・"二”PH=-m,

AH2

AH=Im,

OA=4m,

・••点A坐标为(4,0),

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过点。(0,0),/(4,0)的抛物线的解析式可设为歹=ux(x—4),

••.尸[3弓)在抛物线卜=狈(》一4)上，

3

・•・3tz（3-4）=-,

解得a——,

2

119

抛物线的解析式为y=--x(x-4)=--(x-2)-+2,

二抛物线的顶点坐标为(2,2),

则抛物线上的点到水面的距离2m,

1,

故抛物线方程为y=--(x-2)+2,抛物线上的点到水面的距离2m：

(2)若水面上升后到达5c位置，如图，

当y=l时，一;(x—2y+2=l,

解得玉=2+&,X2=2-42,

SC=(2+V2)-(2-^]=2^2«2.8w.

故水面宽约为2.8m.

本题主要考查抛物线函数与图像，解此题的关键在于先利用三角函数求出抛物线上点的坐标,

然后用待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可解决其它相关问题.

23.阅读下列材料：

情形展示：

情形一：如图①，在△NBC中，沿等腰三角形/3C的顶角ZB4C的平分线/片折叠，若点8

与点C重合，则称N8ZC是A/BC的“好角”，如图②，在AZBC中，先沿NB/1C的平分线

/片折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿乙B/C的平分线同打折叠，若点片与点C重合,

则称NB4C是“8。的“好角”.

情形二：如图③，在4486^3先沿N历IC的平分线N片折叠，剪掉重复部分，再将余下部

分沿N8/C的平分线同耳折叠，剪掉重复部分…重复折叠〃次，最终若点瓦一与点C重合,

则称ZBZC是ANBC的“好角”，探究发现：(没有妨设NBNNC)

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（1）如图①，若NA4c是△NBC的“好角”，则D3与NC的数量关系是：.

（2）如图②，若N8ZC是△Z8C的“好角”，则DB与NC的数量关系是：.

（3）如图③，若N及1C是△/BC的“好角”，则DB与NC的数量关系是：.

应用提升：

（4）如果一个三角形的三个角分别为15°，60'，105°，我们发现60。和105°的两个角都是此三

角形的“好角”；如果有一个三角形，它的三个角均是此三角形的“好角”，且已知最小的角

是12°，求另外两个角的度数.

【正确答案】（1）ZB=/C；（2）Z5=2ZC；（3）Z5=nZC；

（4）该三角形的另外两个角的度数分别为：12°,156°或24。，144。或84。，84°.

【分析】（1）由根据题意可知，DB与NC重合，即N8=NC；

（2）根据题意得N8=N/44，乙4即=NC,因为444瓦=NC+N48c=2NC,所

以/B=2NC；

（3）根据上面结论可知：当N8/C是“好角”,折叠的次数就是N8为NC的倍数,即Z5=n/C；

（4）由题意可知，三角形的另外两个角都是12°倍数，则可设另两角分别为12加°,12加〃。，

根据三角形的内角和定理分情况求出m,n的值即可.

【详解】（1）如图1中，••・N8/C是的“好角”，

与NC重合，

Z5=ZC,

故答案为N8=NC；

（2）如图2中，・••沿N历IC的平分线Z片折叠，

NB=NAA[B],

又・•・将余下部分沿Ng4c的平分线小胡折叠，此时点B]与点C重合，

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AA[B1C=ZC；

・・・R4=NC+N45c=2ZC（外角定理）,

・•.Z5=2ZC；

故答案为N8=2NC；

（3）根据上面结论可知：

当1次折叠时，NB4c是“好角”,则有NB=NC,

当2次折叠时，NB4c是“好角”,则有NB=2NC,

当3次折叠时，NB/C是“好角”，则有N8=3NC,

当"次折叠时，NB4c是“好角”,则有N8="NC,

故答案为N8=〃NC.

（4）因为最小角是12。是“BC的好角，

根据好角定义，则可设另两角分别为12加°,12用〃。（其中"?、〃都是正整数），

由题意，得12帆+12加”+12=180,

+1）=14,

•.加、〃都是正整数，所以m与〃+1是14的整数因子，

m=l,〃+1=14,或加=2,〃+1=7,

即加=1,〃=13,或加=2,〃=6,或m=7,n=l,

.-.12772=12°,12加〃=156。，或12加=24。，12加〃=144。或12加=84。，12加〃=84。，

则该三角形的另外两个角的度数分别为：12。，156。或24。，144。或84。，84°.

24.如图，在四边形488中，AD//BC,4D=3,DC=5,AB=472>N8=45°,动

点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从点C出

发沿线段C。以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.

设运动的时间为f秒（0</<5）.

（1）求8C的长.

（2）当〃/8时，求z的值.

（3）设AMNC的面积为试确定S.MNC与t的函数关系式.

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻3使黑we：SmABCD=12：65?若存在，求出，的

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值；若没有存在，请说明理由.

其值

为2或3；理由见解析.

【分析】（1）如图①，过力、O分别作8c于K,DH工BC于H,然后分别求出BK,

KH,CH的长即可；

（2）如图②，过。作。G//Z8交BC于G点，则四边形40GB是平行四边形，可得GC=7,

CN=t,CAI=10-27,再证明△MNCSAGDC,根据相似三角形对应边成比例列出关于f

的方程求解即可；

（3）如图③，过N作NG_L8C于点G,过。作。尸J_8C与点凡则ANGCS/^DRC,根

4f

据相似三角形对应边成比例可得到NG=不，再利用三角形面积公式即可得解；

（4）首先求出四边形N8CQ的面积，即可得到△MNC的面积，再代入（3）中的函数关系式求

解即可.

【详解】（1）如图①，过4、。分别作ZK18C于K,DH上BC于H,则四边形力。断是矩

形，

：.KH=AD=3,

在RtZ\/8K中，

AK=AB-sin45°=472•—=4，

2

BK=AB-cos45°=4y[2—=4>

2

在RtaCD”中，由勾股定理得，〃C=J52-4」=3.

BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；

第26页/总58页

（2）如图②，过。作OG/A48交8C于G点，则四边形NOG8是平行四边形,

•：MNHAB,

：.MNHDG,

BG=AD=3>

.•.GC=10-3=7,

由题意知，当加、N运动到/秒时，CN=t,CAT=10-2/1

DG//MN,

:.NNMC=NDGC（两直线平行，同位角相等），

又•.•NC=NC,

:./\MNCsAGDC.

CNCMt10-2/

一=——，即nn一=------,

CDCG57

解得：/=—;

17

（3）如图③，

又题意可知，CN=t,MC=W-2t,

过N作NGJ_5C于点G,过D作DFLBC与点F,

:.ANGCSADFC,

第27页/总58页

CNNGtNG

/.——=——，w即n一二——，

CDDF54

:,NG=—f

5

ii4/4.

'''S.MNC=~MC-NG--\\0-2t')--=--r+4t；

(4)存在这样的f,其值为2或3；

.,AD+BC3+10g

理由如下：S四边形/be。=2AK=一~lx4=26,

**S&MNC;S四边形/BCD=12：65,

•v=4X

*3AMNCF°'

4

代入(3)中得一］〃7+々=4.8,

解得：尸2