2022北京高考真题数学(含答案)

绝密★本科目考试启用前

2022北乐图考真题

数学

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束

后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知全集(/={x]—3<x<3},集合A={x[—2<x〈l},则。。力二

(A)(-2,1](B)(-3,-2)u[1,3)

(C)[-2,1)(D)(-3,-2]u(1,3)

(2)若复数z满足i・z=3—4i,则忖=

(A)1(B)5

(C)7(D)25

(3)若直线2x+y-1=0是圆+丁=1的一条对称轴，则。=

(A)-(B),1

22

(C)1(D)-1

(4)己知函数/(x)=」一,则对任意实数

X,有

1+2

(A)/(-%)+/(x)=0(B)/(-x)-/(x)=0

(C)/(-x)+/(x)=l(D)

(5)己知函数/(xXcc^x-sin'x,则

(A)在(―万>，—不[上单调递减在卜上单调递增

(B)

(C)/(X)在(0,。)上单调递减/(X)在[?，卷]上单调递增

(D)

(6)设{%}是公差不为0的无穷等差数列,则“{q}为递增数列”是“存在正整数N。，当〃〉N。时，，7“〉0”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(7)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨

临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件

下二氧化碳所处的状态与T和1g尸的关系，其中T表示温度，单位是

K；尸表示压强,单位是bar,下列结论中正确的是

(A)当7=220,P=1026时，二氧化碳处于液态

(B)当7=270,P=128时，二氧化碳处于气态

(C)当7=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态

(D)当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态

4432

(8)若(2x-I)=a4x+a3x+a2x+a}x+an,则a0+a2+a4-

(A)40(B)41

(C)-40(D)-41

(9)已知正三棱锥P—ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点构成的集合，设集合

T={QeS\PQ„5},则T表示的区域的面积为

.、3九

(A)—(B)71

4

(C)2〃(D)37t

(10)在/XABC中,AC=3,BC=4,ZC=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,^PA-PB

的取值范围是

(A)[-5,3](B)[-3,5]

(C)[F4](D)[<可

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题,每小题5分，共25分。

函数/(x)=4+Jl-x的定义域是.

(11)

尤2h

(12)己知双曲线丁+一=1的渐近线方程为＞=±4尢，则〃?

m3

若函数/(x)=Asinx-bcosx的一个零点为?，则A=71

(13)

12

—1,x<a

(14)设函数/(%)=«,若/(x)存在最小值，则。的一个取值为.；a的最大值为

U-2)2,

(15)已知数列｛4｝的各项均为正数，其前九项和S”，满足。,「5“=9(〃=1,2,)给出下列四个结论：

①｛q｝的第2项小于3；②｛q｝为等比数列；

③｛4｝为递减数列；④｛4｝中存在小于焉的项。

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

在/SA8c中，sin2C=GsinC.

(I)求NC：

(H)若8=6,且△ABC的面积为66,求△ABC的周长.

(17)(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC—中，侧面6CGg为正方形，平面6CG用，平面A64A，AB=BC=2,M,N

分别为44，AC的中点.

(I)求证：MN〃平面BCCR；

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

直线AB与平面BMN所成角的正弦值。

条件①：AB上MN；

条件②：BM^MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

(18)(本小题13分)

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀

奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：

m)：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9,85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立

(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(II)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；

(Ill)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)

(19)(本小题15分)

)2

x~V

已知椭圆=l(a〉b>0)的一个顶点为A(O,1),焦距为2G.

(I)求椭圆E的方程:

(II)过点P(—2,1)作斜率为Z的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N,当

|MN|=2时，求攵的值。

(20)(本小题15分)

己知函数/(x)=exln(l+x).

(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(I)设g(x)=/'(x),讨论函数g(x)在［0,+oo)上的单调性；

(III)证明：对任意的e(0,+8),有/(s+，)>f(s)+f(t).

(21)(本小题15分)

己知。：%,生，，%为有穷整数数列.给定正整数机，若对任意的〃e{1,2,,加},在。中存在

a},aM,aj+2,,ai+J(j..O),使得q+a,*|+q*2++ai+j=n,则称。为机一连续可表数列.

(I)判断。：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

(H)若Q:q，4，，以为8-连续可表数列，求证：攵的最小值为4；

(ID)若。：％,。2,，4为20—连续可表数列，%+。2+…+4<20,求证：k>l.

参考答案

一、选择题

12345678910

DBACCCDBBD

1【解析】C"=(—3,—2)Q3)

2.【解析】由条件可知2=^^=-4一3，所以目=5

3.【解析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(出0),所以由2〃+0-1=0解得。=工

2

112、2*+1

4.【解析】由/⑴二「^，可得/(一外二丁)二丁^,所以得

5.【解析】/(x)=cos2_r-sin2x=cos2x,选项A中：2x£(-乃，一?),此时/(元)单调递增，选项8中:

2xe(—令，此时/(x)先递增后递减，选项C中：2xe(0,斗)，此时/(x)单调递减，选项D中：

2x吗?)，此时/(x)先递减后递增；所以选C

6.【解析】①充分性证明：

若｛凡｝为递增数列，则有对VneN,a„+l>an,公差d=an+l-a„>0,

取正整数N0=-幺+2(其中-%为不大于-幺的最大正整数)，

[_ddd

则当〃〉N0时，只要%>0,都有%=%+(〃—l)d>q+(-%+l)J>0;

Ld_

②必要性证明：

若存在正整数N0,当〃〉时，4>°，

因为%=4

所以d>《二以，对V〃>No，〃eN都成立

n

因为lim上幺=0,且4工0

所以rf>0

所以对N,都有a„+l-an=t/>O,an+1>an,即：｛4｝为递增数列；

所以“｛q｝为递增数列''是"存在正整数N。,当〃〉N。，时，a„>0”的充要条件”

所以选C

7.【解析】

A选项：lgP=lgl026>3,T=220,由图易知处于固态；

B选项：lg尸=lg128>2,7=270,由图易知处于液态；

C选项：lgP=lg9987a3.999,7=300,由图易知处于固态；

D选项：lgP=lg729>2,7=360,由图易知处于超临界状态；

所以选D

8.【解析】

当x=l时，1="4+%+。>+%+%①；当4-1时，81=%—%+%—6+/②；①+②得原式=41

9.【解析】

过点P作底面射影点O,则由题意，。0=2百,「。=6,所以20=2遍,当(70上存在一点。使得/>2=5,此时

QO=1,则动点Q在以QO为半径，O为圆心得圆里，所以面积为〃

10.【解析】

方法一：

建立如图所示坐标系，由题易知，设。(0,0),A(3,0),B(0,4),

因为PC=1,所以设P(cossin0\0G[0,2TF],

PA-PB=(3-cos6^,-sin6)•(—cos夕,4-sin0)=-3cos0.-4sin0+cos2夕+sin?0

=1—5sin(9+°)(sin夕=[,cos9=1)£[-4,6],

所以选D

方法二：

注意：<PC,CB>=色一<PC,C4>,且CAC5=0

2

所以PB=(PC+CA)-(PC+CB)

.2

=PC+PCCA+PCCB+CACB

二、填空题

11.【答案】(…,0)(0,1］

【解析】依题意1解得XG(-oo,0)U(0,ll

l-x>0,

12.【答案】—3

【解析】双曲线>2+一=1的渐近线方程为y=±-7==，故%=一3

myj-m

13.【答案】1,一

【解析】/(-)=Asin--^cos-=-71--=0,MWA=l

33322

/(x)=sinx-cosx—2sin(x-(-^)=2sin(-^—y)=2sin(一()=一桓

14.0(答案不唯一),1

【解析】由题意知，函数最值于单调性相关，故可考虑以0,2为分界点研究函数兀v)的性质，当x<0时，

段)=®+l,x<a,该段的值域为(-00,-«2+1),故整个函数没有最小值；当。=0时，段)=3+1该段值域为{1},而

/(%)=(%-2)2)2。的值域为［0,+00),故此时段)的值域为［0,+00),即存在最小值为0,故第一个空可填写0；当

0<把2时，段)=zx+l,x<a,该段的值域为(一/+1,+00),而/(x)=(x-2)2,xZ。的值域为［0,+8),若存在最小值，则

需满足一4+1»0,于是可得o<a<1；当公2时/龙)=-办+1该段得值域为(4+1,+8),而/(x)=(%—2-,x2a

的值域为［(a-2f,+8),若存在最小值，则需满足-/+12(0-2)2,此不等式无解.综上，a的取值范围是［0,1］,故a

的最大值为1.

15.【答案】①③④

【解析】”=1可得。：=9,又各项均为正，可得4=3,令n=2可得生(3+生)=9,可解得

3(75-1)99994一9一a；

a,=—~~^<3,故①正确；当*2时，由S“==得S----,于是可得=--------,即，若

a

2ann-\a“a,Ian-\9

｛4｝为等比数列，则应2时，《用=。“，即从第二项起为常数，可检验〃=3则不成立，故②错误;

a

a,,-S“=9(〃=1,2…).可得an-Sn=an+i-Sn+i，于是3=2<1,所以an+t<a„，于是③正确，对于④，若所有项

a

,,Sll+I

均大于等于击，取〃>90000,则42+,5.>900,于是4尸“>9,与已知矛盾，所以④正确.

三、解答题

16.(I)由已知2sinCcosC=GsinC

由于NC在A4BC中，故0<NC(肛sinCHO,故cosC=43

2

zc=i

(II)由(I)知sinC=一,「.50族,6sinC=6G代入sinC・L〃=6得。=4百

由余弦定理：C=[a1+/?2-2-<cosC=2>/3,

••^MBC=+6>/3

17.(1)设点P为A8中点，由于P为A8中点，N为AC中点

所以尸N为A4BC中位线

PN〃BC

又M为AB中点,PM是正方形的中位线

所以PM〃BB]

BB、〃PM

BC//PN

n面8CG4〃面MPN

BBiBC=B

PMCPN=P

又MNq面MPN

.♦.MN〃面BCCg

(2)选择条件①，：面BCC｝耳±面ABB1A

面BB£C面ABC=BC,面4B}BA面ABC=AB

BC1AB,又NP//BC

.,.NPJ.AB,又由①：MN1AB

NP1AB

：.<MNLAB=>面MNP1AB

NPMN=N

PMu面MNP,

PM1AB

故AB,BC,B4两两垂直

以B为原点,BC为x轴正方向，函为y轴正方向，为z轴正方向建立坐标系

B:(0,0,0),M(0,1,2),AT：(1,1,0),A:((),2,0),BM:(0,1,2),B7V:(1,1,0),AB:(0,-2,0)

则BMN的法向量”：(2,-2,1)

ABn_-4_2

48与面BMN所成角的正弦等于A3与〃所夹余弦的绝对值，即

卜明〃|63

答：所求正弦为三2.

3

18.(1)甲共投10次,优秀4次

42

由频率估计概率/优秀

To5

丙优秀概率为‘X,X可取的值为0,1,2,3

522

3113

故尸(x=0)==x一义一=又二

52220

〜,,211311311

&X=D=—x—X—+—X—X—+—X—X—=-

522522822

n/311311311

P(x=2)=—x—x--F—x—x—+—x—x—=

522522522

»c、2112

P(x=3)=-x—x—=——

52220

33717

,-.£X=0x—+lx-+2x—+3x—=-

20520105

(3)丙：丙投到过3人中的最大值9.85,比甲、乙的最大值都要大，若比赛中发挥出好状态，丙实力最强。

19.

(1)由已知/?=1,2c=26,a=2,E:—+y12=1

4

(2)由题可设直线方程为：y-1=k(x+2),B=(xi,yi)C:(x2,y2)

y-1=k(x+1),

联立直线和椭圆E方程：/

—+y2=\,

I4,

可得=(4%2+1)82+(1642+8A)X+(16%2+16%)=0

由A>0可得(16k2+8左产-4x(1+4攵2)(16k2+\6k)>0,解得由0,

—(16公+8%)\6k2+l6k

根据韦达定理可得=，%1%2

4^+14左2+1

直线AB的斜率为kAH=&二！,AB的直线方程为：y=上二1+1,

王X,

令产0,可得点M的横坐标为=一^,同理可得点N的横坐标/=一匚

'1-X1-%

则有

-g+2)/々X+2)1+2々+2

\MN\不2王)

i-yif

2

1x(Xj+2)-Xj(x+2)12-y(%,+x2)—4X,X2

22=2,

kx,x24-2(X1+X2)+4kx[x2+2(x,+x2)+4

j-(166+84)丫16公+16Z

*1+4-2-)-1+4F

代入韦达定理可得-

k\6k2+l6kJ-16k2-Sk}.

1+4/I1+4女2

64(2/:2+A:)2-4x16(k2+k)(\+4k2)

1N1+4S

化简可得:

~k16公+16攵—32%2―16%4+16P

1+4公1+4F1+4公

即L4"/+4/+二一4/一4二一公一，二2

k

可得l^p|=1,两边平方则有m=；，解得k=-4

故女的值为-4.

20.解：(1)尸(x)=e'[ln(l+x)+」一],则/>'(())=1,又/•(())=0,故所求切线方程为产x

1+x

2]

(2)g\x)=eW+x)+-——-~~-],

1+X(1+X)

21+2%八

又e*>0,ln(l+x)+-v>lnl+------7>0

1+x(1+x)2(1+幻2

故g'(%)>0对Vxe[0,+oo)成立，g(x)在[0,+oo)上单调递增

(3)证明：不妨设於f,由拉个日朗中值定理

小)，其中“Ss+H,即加+力-/⑶/©

/“)一《°)=1①)，其中"e(0,f)，即/(0-/(0)=(f'(/?)

由g(x)在［0,+oo)上单调递增，故/'C)>/'(Z7)

f(s+t)-f(s)>fit)-/(0)=f(t)

.1•/(s+f)>/G)+/(f)证毕

21.【解析】(1)若加=5,则对于任意〃6{1,2,3,4,5}

a2=1=1，4=2=2,G+a2=2+1=3,%=4=4,a,+a3=1+4=5,

所以。是5-连续可表数列；

由不存在任意连续若干项之和相加为6,所以。不是6-连续可表数列；

1a

(2)反证法：假设k的值为3,则q,a2,6最多能表示6，«2i'q+“2，。2+。3吗+。2+4共6个数字，

与。为8-连续可表数列矛盾，故后4；

现构造Q：1,2,3,4可以表达出1,2,3,4,5,6,7,8这8个数字，

即存在仁4满足题意，故々的最小值为4；

(3)用反证法证明：假设狂6,

①不妨取06,因为。为20-可表数列，且q+a2+a3+---+ak<20,

所以有一项必为负数，所以最多有5项时正数.

(i)假设6项中，1项是负数，5项是正数，

从6个正数中，取一个数字只能表示自身，共6个数字，

取两个数字能表示5个数字，取三个数字能表示4个数字，

取四个数字能表示3个数字，取五个数字能表示2个数字

取六个数字能表示1个数字，可以表示6+5+4+3+2+1=21个整数.

但是其中有一项是负数，所以最多能表示20个正整数，

即除去单个的负数项，剩下的连加形成的数字必须是1,2,3,-,19,20.

假如负数在中间，因为六数连加小于20,所以将没有一个连加项之和为20,

所以负数必然在首或者尾，不妨设4<0,

想到每一个项在连加中都用了6次，

这些连加产生了一项负数和1,2,3,•••,19,20共21个整数，

所以由和相等可得4+1+2+…+20=63+4+/+…+4)=6(4+20)

解得：q=18>0,与q<0,矛盾，故假设不成立.

即假设6项中，1项是负数，5项是正数，不能满足题意；

(ii)再假设6项中，2项是负数，4项是正数，或其他情况，同理可证不能满足题意.

②如果当仁5时，连加所形成的整数只有5+4+3+2+1=15,不够20个，舍去.

③如果当仁4时，理由同上，舍去.

综上所述必有泛7

坚持希望

一天，一个瞎子和一个病子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。历经千辛

万苦，头发开始斑白。有一天，那病子对瞎子说：“天哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。

“