2022-2023学年八年级数学上册专题1 3 .7 最短路径问题专项训练（30道）

专题13.7最短路径问题专项训练（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，选择题10道，填空题】0道，解答题10道，题型针对性较高，覆盖面广，

选题有深度，综合性较强！

一.选择题（共10小题）

I.（2021秋•崇川区校级月考）如图，等腰△ABC的底边BC长为4c”，面积为\6crn1,腰

AC的垂直平分线EP交AC于点E,交AB于点F,。为BC的中点，M为直线EF上的

动点.则周长的最小值为（）

【解题思路】根据垂直平分线的性质可得AM=CM,即A、M、。三点共线时，CM+DM

最小值为4。的长，根据面积求出的长，即可解决问题.

【解答过程】解：连接4M,

VAC的垂直平分线EF交AC于点E,

：.CM+DM=DM+AM,

即A、M,£）三点共线时，CM+DM最小值为4。的长,

•；48=AC,点力为8c的中点，

：.AD±BC,CD=^BC=2cm,

•.•等腰△ABC的底边BC长为4an,面积为16。/,

：.AD=Scm,

：.周长的最小值为AD+CD=\0cm,

故选：D.

2.（2021•彭州市校级开学）如图，/AOB=20°,点M、N分别是边04、。3上的定点,

点P、。分别是08、0A上的动点，记/MPQ=a,NPQN=0,当MP+PQ+QN最小时,

则B-a的值为()

【解题思路】作M关于0B的对称点M',N关于0A的对称点N',连接M'N'交

。4于。，交.0B于P,则MP+PQ+QN最小易知N0PM=N0PM'=NNPQ,Z0QP=

ZAQN'=ZAQN,根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论.

【解答过程】解：如图，作历关于08的对称点M',N关于0A的对称点M,连接

M'N'交0A于。，交0B于P,则MP+PQ+QN最小，

；.NOPM=NOPM'=ZNPQ,ZOQP=ZAQN'=ZAQN,

:.NQPN=%(1800-a)=ZAOB+ZMQP=20°+*(1800-p),

二180°-a=40°+(180°-p),

Ap-a=40°,

故选：C.

3.(2021•沙坪坝区校级开学)如图，在△ABC中，A8的垂直平分线EF分别交A3、AC

边于点E、凡点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度()

【解题思路】连接AK,根据线段垂直平分线的性质得到AK=BK,求得BK+CK=AK+CK,

得至IJAK+CK的最小值=BK+CK的最小值，于是得至lj当AK+CK=4C时，AK+CK的值最

小，即BK+CK的值最小，即可得到结论.

【解答过程】解：连接AK,

是线段AB的垂直平分线，

:.AK=BK,

：.BK+CK=AK+CK,

J.AK+CK的最小值=8K+CK的最小值，

"：AK+CK^AC,

：.当AK+CK=AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小,

/.BK+CK的最小值是线段AC的长度，

故选：C.

4.（2021春•亭湖区校级期末）如图，在五边形A8CDE中，ZBAE=\52°,NB=NE=

90°,AB=BC,AE=DE.在3C,OE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,

则NAMN+N4VM的度数为（）

A.55°B.56°C.57°D.58°

【解题思路】延长48至A',使4'B=AB,延长月E至A",使4"E=4E,则8c垂

直平分A4',DE垂直平分AA",所以AM=A'M,A"N=AN,/\ABC的周长为

AM+MN+AN,要使其周长最小，即使A'M+MN+A"N最小，设NK4A'=x,则NAMN

=2x,设/MtV=y,则/AM0=2y,在△44'A"中，利用三角形内角和定理，可以

求出x+y=28°,进一步可以求出NAMN+N月MW的值.

【解答过程】解：如图，延长A8至A',使A'B=AB,

延长AE至A",使A"E=AE,

则8c垂直平分AA',QE垂直平分44”,

；.AM=A'M,AN=A"N,

根据两点之间，线段最短，

当A',M,N,A"四点在一条直线时，A'M+MN+NA"最小,

则AM+MN+AN的值最小，

即△AMN的周长最小，

'：AM=A'M,AN=A"N,

，可设NM/L4'=AMA'A=x,ZNAA"=ZNA"A=y,

在△AA'A"中，x+y=180°-/84E=180°-152°=28°,

'：ZAMN=ZMAA'+ZMA'A=2x,NAMW=2y,

/AMN+/4NM=2x+2y=56°,

5.（2021春•通川区期末）如图，/AOB=60°,点尸为NAOB内一点，点M、N分别在

04、OB上，当△「〃汽周长最小时，NMPN的度数是（）

【解题思路】分别作点P关于04、OB的对称点P、P2,连接Pi、P2交04于M,交

0B于N,△尸的周长最小值等于P1P2的长，然后依据等腰△0PP2中，N0P1P2+N

OP2Pl=180°-2/0,即可得出/MPN=/OPM+NOPN=/OPiM+/OP2N=18（r-

2/0=60°.

【解答过程】解：分别作点P关于。A、OB的对称点P、尸2,连接P、P2交OA于M,

交。8于M

：.OP1=OP=OP2,NOP\M=/MPO,/NPO=NNP?O,

根据轴对称的性质可得PN=P2N,

:APMN的周长的最小值=PP2,

由轴对称的性质可得NPlOP2=2NAOB,

，等腰△0PP2中，NOP尸2+NOP2Pl=180°-/P|OP2=180°-2ZAOB,

：.NMPN=NOPM+NOPN=ZOPiM+ZOPiN

=NOPIP2+NOP2Pl

=180°-2ZAOB

=60°,

故选:B.

6.（2020秋•播州区期末）如图，在AABC中，AC=8C=8,NACB=120°,8。平分/

ABC交AC于点D,点E、F分别是线段ED,BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）

【解题思路】作C点关于BD的对称点C,过。作C凡LBC交BD于点E,交5c于点F,

CE+EF的最小值CF的长.

【解答过程】解：作C点关于BD的对称点C,过C作CF±BC交BD于点E,交BC

于点F,

：.CE+EF=CE+EF2CF,

：,CE+EF的最小值CF的长，

：.CC.LBD,

；2D平分/ABC,

.'.ZCBG^ZGBC,

在△C8G和△C8G中,

(/.C'BG=4GBe

\BG=BG,

l/BGC'=乙BGC

:.丛CBGq/\CBG(ASA),

：.BC=BC,

'：AC=BC=S,/4CB=120°,

：.ZABC=30°,BC=8,

在RtZ\BFC中，CF=8C・sin30°=8x*=4,

；.CE+EF的最小值为4,

故选：B.

7.(2021春•开江县期末)如图，在四边形ABC。中，ZA=ZC=90°,NB=32°,在

边AB,BC上分别找一点E,尸使△£)£：产的周长最小，此时NE£>F=()

A.110°B.112°C.114°D.116°

【解题思路】如图，作点。关于BA的对称点P,点。关于BC的对称点Q,连接PQ,

交AB于E',交BC于尸'，则点E',尸即为所求，结合四边形的内角和即可得出答

案.

【解答过程】解：如图，作点D关于BA的对称点P,点D关于BC的对称点Q,连接

PQ,交AB于E',交BC于尸'，则点E',F'即为所求.

R

Q

•.,四边形A8CQ中，ZA=ZC=90°，ZB=a,

...NADC=180°-a,

由轴对称知，ZADE1=NP,ACDF'=N。，

在△PO。中，/P+/Q=180°-ZADC

=180°-(180°-32°)

=32。,

：.ZADE'+ZCDF'=NP+NQ=32°,

AZE'DF'=AADC-(ZADE'+ZCDF')

=180°-64°

=116°.

故选：D.

8.(2020秋•泗水县期末)如图，等边△ABC中，BD_LAC于。，QD=1.5,点尸、。分别

为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2,在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE

的最小值为()

A.3.5B.4C.5D.6

［解题思路］作点Q关于BD的对称点。'，连接PQ,交BD于E,连接QE,此时PE+EQ

的值最小.最小值尸E+PQ=PE+E0'=PQ',

【解答过程】解：如图，:△ABC是等边三角形，

:.BA=BC,

VBDA-ACfAQ—2,cmiQD=1.5CJZZ,

：.AD=DC=AQ-^-QD=3.5(cm),

作点Q关于3。的对称点0,连接尸Q‘交5。于E,连接。£,此时尸E+EQ的值最小.最

小值PE+QE=PE+EQ'=PQf,

u

：AQ=2cm,AD=DC=3.5cmf

：.QD=DQ,=1.5(a%),

/.CQf=BP=2(cm),

.\AP=AQ'=5(cm),

VZA=60°,

：.^APQf是等边三角形，

：.PQ'=PA=5(c/n),

PE+QE的最小值为5cm.

故选：C.

9.（2021•南海区二模）如图，等边△ABC,边长为8,点。为边BC上一点，以AO为边

在AD右侧作等边△AOE,连接CE,当△4£）£：周长最小时，CE的长度为（）

【解题思路】由等边三角形的性质得CAADE=3AO,当△ADE周长最小时，AD_L8C时,

4。最小，利用全等三角形的判定边角边得和△ACE全等，即得CE的长度.

【解答过程】解:

•.•△ADE是等边三角形,

：.AD=DE=AE,

♦•C^ADE~3ADr

当△/1£>£周长最小时，

即AD最小，

当ADJ_8c时，AO最小，

此时，3D=A3・sin30°=4,

•••△ABC是等边三角形，

.*.Zl+Z2=60°,

又・・・N2+N3=60°，

Z.Z1=Z3,

在△48。和△ACE中，

(AB=AC

jzl=43，

VAD=AE

:•△ABD94ACE(SAS)，

：.BD=CE=4,

故选：c.

10.（2021•和平区一模）如图，在△AOB中，NOAB=NAOB=15°,0B=6,0c平分

乙40B,点P在射线OC上，点Q为边。4上一动点，则以+PQ的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】作AHJLOB于从交0c于P,作PQLOA于Q,可得PA+PQ^PA+PH^

AH,根据垂线段最短，%+P。最小值为4H,

【解答过程】解：作AH_LOB于H,交0C于P,作PQJ_OA于Q,

•.•/OAB=/AO8=15°,

：.PH=PQ,

：.PA+PQ^PA+PH=AH,

.•.以+P。的最小值为AH,

在RtZ\A5//中，•.•0B=AB=6,/ABH=30°,

：.AH=；48=3,

...以+P。的最小值为3,

11.（2021秋•吉林期中）如图，在△ABC中，ZACB=90°,NA=30°,边AC的垂直

平分线£>E分别交边AB、AC于点。、E,P为直线。E上一点.若BC=2,则aBCP周

长的最小值为6.

【解题思路】由题意可知当P点与D点重合时，PC+PB的值最小，则可求△BCP周长

的最小值为AB+BC=6.

【解答过程】解：是AC的垂直平分线，

二4点与C点关于OE对称，

：.PC=PA,

VPC+PB=PA+PB^AB,

当P点与。点重合时，PC+PB的值最小，

,:BC=2,ZACB=90°,乙4=30°,

."8=4,

.♦.△BCP周长的最小值为A8+8C=6,

.•.△8CP周长的最小值为6,

故答案为：6.

12.（2021•碑林区校级开学）等腰三角形ABC的底边BC长为6,面积是21,腰AB的垂

直平分线EF分别交AB,AC于点E、F,若点。为底边BC的中点，点M为线段EF上

一动点，则的周长的最小值为10.

【解题思路】如图，连接AQ,由题意点B关于直线EF的对称点为点A,推出AO的长

为BM+MD的最小值即可.

【解答过程】解：如图，连接4D

•••△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

：.AD±BC,

：.S&ABC^^'BC*AD=1X6XAD=21,

."0=7,

是线段AB的垂直平分线，

；•点B关于直线EF的对称点为点A,

：.AD的长为BM+MD的最小值，

1

ABDM的周长最短为AD+BD^AD+*8C=10,

故答案为：10.

13.（2021•杏花岭区校级开学）如图，点P是/4OB内任意一点，OP=5an,点M和点N

分别是射线0A和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm,则NA08的度数是

30°.

【解题思路】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C,连接CD,分别交OA、OB于点

M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=DM,O尸=OC,ZCOA

=ZPOA；PN=CN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,得出N408=*C0。，证出△OCQ

是等边三角形，得出NCOO=6（T,即可得出结果.

【解答过程】解：分别作点尸关于OA、OB的对称点。、C,连接CD,

分别交。4、OB于点M、N,连接。C、OD、PM、PN、MN,如图所示：

,/点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,

：.PM=DM,OP=OD,ZDOA^ZPOA；

,：点P关于OB的对称点为C,

:.PN=CN,OP=OC,NCOB=NPOB,

1

：.OC=OP=OD,/AOB="COD,

・・•△PMN周长的最小值是5cm,

；・PM+PN+MN=5,

；・DM+CN+MN=5,

即CD=5=0P,

：.OC=OD=CDf

即△OCQ是等边三角形，

・・・NCO£>=60°,

AZAOB=30°；

故答案为300.

D

14.（2021春•成都期末）如图，点C,。分别是边NAOB两边。4、OB上的定点，ZAOB

=20°,。C=。。=4.点E,F分别是边08,OA上的动点，则CE+EF+F。的最小值是

【解题思路】作C关于08的对称点C',作力关于04的对称点。'，连接C'D',

即为CE+EF+FD的最小值.

【解答过程】解：作C关于OB的对称点C',作。关于OA的对称点D',

连接C'D',即为CE+EF+F。的最小值.

根据轴对称的定义可知：ZDOC1=NAOB=NFOD'=20°,

：.^OC'D'为等边三角形

：.C'D'=OC'=OC=4.

故答案为4.

15.(2021春•萝北县期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(0,2),8(4,1),P

是x轴上任意一点，当以+PB取得最小值时，点尸的坐标为,0)_.

【解题思路】在y轴负半轴上取点A',则OA=OA'=2,所以OP垂直平分A4',所

以%=%',根据“两点之间，线段最短”，得到当A',P,B三点共线时，PA'+PB

取得最小值，此时以+PB的值最小，利用A'和8点坐标，利用待定系数法，求出直线

A'8的解析式，再令y=0,求出x的值，即得到此时P点坐标.

【解答过程】解：在,，轴负半轴上取点A',使0A=OA'=2,

，。「垂直平分A4',A'(0,-2),

：.PA=PA'

•••两点之间，线段最短，

...当A',P,B三点在一条直线上时，

PA'+P8的值最小，此时以+P8取得最小值，

设直线A'8的解析式为y=H-2,

代入点B的坐标(4,1)得，

4k-2=1,

,,k—4,

直线A'3的解析式为y=,%-2,

O

令y=0,则工=可

8

.•.点P的坐标为.，0),

8

故答案为：(30).

16.（2021春•新乡期末）如图，在RtZXABC中，乙4cB=90°,CM平分乙4CB,点。为

CM上一点，点尸为边AC上一动点（不与点A,C重合），连结。尸，BP.已知8=

BC,当OP+BP的值最小时，NCDP的度数为22.5.

【解题思路】如图，作点B关于AC的对称点8',连接。8,交AC于点P,当D,P,

B'共线时，PQ+P8的值最小.证明C8'=CD,根据/OCB=±NACB=45°,可得结

论.

【解答过程】解：如图，作点8关于AC的对称点8,，连接OB'交AC于点P,当D,

P,B'共线时，PD+PB的值最小.

；NAC8=90°,CM平分NAC8,

/.ZDCB=1x90°=45°,

;CB=CB',CD=CB,

:.CD=CB',

：.ZCDB'=NB',

ZDCB=ZCDB'+ZB',

A22.5°,

故答案为：22.5.

17.（2021春•平顶山期末）如图，在△48C中，AB=AC,BC=5,ZVlBC的面积为20.DE

垂直平分AC,分别交边AB,AC于点。，E,点尸为直线OE上一动点，点G为BC的

中点，连接FG,FC,则△FGC的周长的最小值为r

【解题思路】由0E是AC的垂直平分线，可知A与C关于OE对称，连接AG,CF,此

时FC+FG最短，再由已知求出AG=8,则△FGC的周长AG+CG=俳，即为所求.

【解答过程】解：是AC的垂直平分线，

AA与C关于OE对称，

连接AG,CF,

：.GF+FC=AF+FG=AG,此时FC+FG最短，

•：AB=AC,点G为8c的中点，

：.AG±BC,

,：BC=5,△ABC的面积为20,

，AG=8,

c21

:ZGC的周长=FC+FG+GC=AG+CG=8+]=号，

AAFGC的周长的最小值为

,,,21

故答案为可.

18.（2021春•宝丰县期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8,AD,CE分别是△A8C的两

条中线，CE=6,P是A。上一动点，则BP+EP的最小值是6.

【解题思路】作E关于AO的对称点E,连接BE,由已知可得E在AC边上，且是AC

边的中点，BP+EP的最小值即为8E,再由等腰三角形的性质得BE=CE,即可求解.

【解答过程】解：作E关于的对称点少，连接8E,

•.,A8=4C=8,AD是BC边中线，CE是AB边中线，

少在AC边上，且是AC边的中点，

；.BP+PE=BP+PE=BE,此时BP+EP的值最小，

•••△8AC是等腰三角形，

：.BE=CE,

；CE=6,

的最小值为6,

故答案为6.

19.（2021春•番禺区期末）如图，在平面直角坐标系中，MAOB的边OA在x轴上，且

04=6,点B的坐标为（2,4）点。为。A的中点，4B的垂直平分线交x轴于点C,交

14

AB于点E,点P为线段CE上的一动点，当△APO的周长最小时，点P的坐标为（工,

-----5―

4

-）.

5------

【解题思路】如图，连接8C,PB,8D.首先证明乙4cB=90°,利用勾股定理求出8D,

根据fi4+/Y>=P8+/Y）N8。，推出8,P,。共线时8P+PQ的值最小，可得直线CE的解

析式为y=x-2,直线8。的解析式为y=-4x+12,构建方程组确定点P坐标.

【解答过程】解：如图，连接8C,PB,BD.

,.Q=6,B（2,4）,

二/班。=45°,

；CE垂直平分线段48,

：.CH=CA,PA=PB,

：.ZCBA=ZCAB=45°,

，NBCA=90°,

：.0C=2,AC=BC=4,

'：OD=DA^3,

：.CD=OD-CD=\,

V/\PAD的周长=PC+Rl+AL>=PB+R4+3,

又,：BP+PD'BD,

：.B,P,。共线时8P+PD的值最小，

•.,直线CE的解析式为y=x-2,直线8£）的解析式为y=-4x+l2,

（_14

由忧二；+优解得"?

U=5

144

,满足条件的点P（三，-）.

144

故答案为：（三，-）.

20.（2021春•深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2,9）,8（3,1）,

点C,。分别是y轴正半轴和x轴正半轴上的两个动点，则当四边形48OC的周长最小

时，点C的坐标为（0,5）.

【解题思路】将点A关于y轴对称到E,将点B关于x轴对称到F,连接EF,EF的长

度为四边形A8DC的周长最小值，求出宜线EF的解析式即可求解.

【解答过程】解：将点A关于y轴对称到E,将点8关于x轴对称到F,连接EF,此时

点C、。的位置如图C'、D'.

根据对称性质，可得EF的长度为四边形ABDC的周长最小值.

点£(-2,9)、点尸(3,-1).

设直线EF解析式为：

.(-2k4-6=9

••〔3/c+b=-1'

.(k=-2

"lb=5,

二直线EF解析式为:y=-2x+5.

当x=0时，，y=5.

...点C的坐标为：(0,5).

故答案为：(0,5).

三.解答题(共10小题)

21.（2021秋•江油市期末）如图，点P、Q为NMON内两点,分别在0M与ON上找点A、

8,使四边形出BQ的周长最小.

【解题思路】作点尸关于直线OM的对称点P',作。关于直线ON的对称点Q',连

接P'Q'交OM于A,ON于B,于是得到结论.

【解答过程】解：作点尸关于直线OM的对称点P',作。关于直线ON的对称点0',

连接P'Q'交OM于A,ON于B,

则此时四边形PABQ的周长最小.

22.（2021•罗湖区校级模拟）用三角板和直尺作图.（不写作法，保留痕迹）

如图，点A,8在直线/的同侧.

（1）试在直线/上取一点M,使MA+M8的值最小.

（2）试在直线/上取一点N,使NB-NA最大.

•B

■A

【解题思路】（1）作点4关于直线/的对称点，再连接解答即可;

（2）连接BA,延长8A交直线/于M当N即为所求;

【解答过程】解：（1）如图所示:

（2）如图所示:

/B

N

理由：,:NB-NAWAB,

...当A、B、N共线时，BN-24的值最大.

23.（2020秋•汝南县期中）尺规作图：

用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.如图，已知点4,点8和直线/,

（1）在直线上求作一点P,使%+PB最短；

（2）请在直线I上任取一点。（点。与点P不重合），连接QA和QB,试说明PA+PB

WQA+QB.

B

【解题思路】（1）要使PA+PB最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点A关于直

线/的对称点4',连接A'8交直线/于P；

（2）在直线/上任取另一点Q,连接用、QA.QB.根据轴对称的性质得到以=用'，

QA^QA'.根据三角形的三边关系即可得到结论.

【解答过程】解：（1）作点A关于直线/的对称点A',连接A'8交直线/于P,

则点P即为所求；

（2）在直线/上任取另一点0,连接用、QA,QB.

•.•点A与4'关于直线/成轴对称，点P、。在直线/上

：.PA=PA',QA=QA'.

'：QAr+QB》A'B,

：.QA+QB^A'B

即QA+QBZA'P+BP,

：.PA+PB^QA+QB.

24.(2020秋•庆云县期中)如图，在△ABC中，已知AB=AC,A8的垂直平分线交AB于

点M交AC于点连接

(1)若NABC=70°,则NAMN的度数是50°.

(2)若A8=8c〃?，△MBC的周长是14cm.

①求BC的长度；

②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△P8C周长的最小值.

【解题思路】(1)依据△ABC是等腰三角形，即可得到/ACB的度数以及N4的度数，

再根据是垂直平分线，即可得到/ANM的度数，进而得出/AMN的度数；

(2)①依据垂直平分线的性质，即可得到进而得出aBCM的周长=AC+BC,

再根据AB=AC=8c，〃，△M8C的周长是14c”?，即可得到8C的长；

②依据PB+PC=B4+PC,PA+PC^AC,即可得到当P与M重合时，PA+PC=AC,此时

PB+PC最小，进而得出△PBC的周长最小值.

【解答过程】解：(1)•••AB=AC,

.,.NC=/A8C=70°,

；.乙4=40°,

,：AB的垂直平分线交AB于点N,

，NAMW=90°,

：.ZNMA=50Q,

故答案为：50°；

(2)①是48的垂直平分线，

：.AM=BM,

：./\BCM的周长=BM+CM+BC^AM+MC+BC=AC+BC,

'：AB=AC=Scm,△MBC的周长是14cv«,

/.BC=14-8=6(cm)；

②当P与加重合时，8c的周长最小.

理由：'：PB+PC=PA+PC,PA+PC^AC,

...当P与M重合时，PA+PC^AC,此时PB+PC最小值等于4c的长，

.♦.△P8C的周长最小值=AC+8C=8+6=14(c/n).

M

----------------、C

25.(2020秋•海淀区校级期中)如图，在边长为2的等边aABC中，力是BC的中点，点

E在线段AD上，连接BE,在BE的下方作等边△BEF,连接QF,当△8OF的周长最小

时，求NDBF的度数.

【解题思路】连接CF,由条件可以得出NA8E=NCBF,再根据等边三角形的性质就可

以证明从而可以得出N8CF=NBA〃=30°,作点。关于CF的对称点

G,连接CG,DG,则FD=FG,依据当B,F,G在同一直线上时，QF+BF的最小值等

于线段8G长，可得尸的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到NDB尸的度

数.

【解答过程】解：如图，连接CF,

•.•△ABC、ABEF都是等边三角形，

：.AB=BC^AC,BE=EF=BF,NBAC=NABC=NACB=NEBF=NBEF=NBFE=

60°,

/.AABC-NEBD=NEBF-NEBD,

:.NABE=NCBF,

在△6AE和△BC/中，

(AB=BC

"BE=乙CBF,

(BE=BF

,△BAE学ABCF(SAS),

.♦.NBC尸=Na4D=30°,

如图，作点。关于CF的对称点G,连接CG,DG,连接FG,则F£>=FG,

.•.当8,F,G在同一直线上时，DF+8F的最小值等于线段BG长，且BG_LCG时，△

8。厂的周长最小，

由轴对称的性质，可得NOCG=2/8CF=60°,CD=CG,

.♦.△QCG是等边三角形，

：.DG=DC=DB,

：.NDBF=ZDGB=|zCDG=30°.

26.(2021秋•永定区期中)如图，在△ABC中，NACB=90°,以4c为边在△ABC外作

等边三角形AC。，过点。作AC的垂线，垂足为凡延长DE交48于点E,连接CE.

(1)求证：CE=BE.

(2)若A8=l5ca,P是直线OE上的一点.则当P在何处时，P8+PC最小？并求出此

时PB+PC的值.

【解题思路】(1)先证明。E是AC的垂直平分线，再证明OE〃8C,最后由/EC8=

NEBC,即可证得CE=8E；

(2)连接司，PC,由垂直平分线的性质可得PC=%,再由两点之间线段最短即可得到

所求PA+PB最小为A8的长.

【解答过程】解：(1),.,△AC。为等边三角形，OELAC,

.♦.OE垂直平分AC,

，ZAEF=ZFEC,

,.,/AC8=/AFE=90°,

：.DE//BC,

：.ZAEF-NEBC,NFEC=NECB,

:.NECB=NEBC,

:.CE=BE；

(2)连接以，PC,

■垂直平分AC,P在OE上，

：.PC^PA,

•••两点之间线段最短，

二当尸与E重合时B4+EB最小为15cm,

...P8+PC最小为15an.

27.(2021秋•拱墅区校级期中)如图，在AABC中，AB=AC,是中线，且AC是。E

的中垂线.

(1)求证：NBAD=NCAD；

(2)连接CE,写出BO和CE的数量关系.并说明理由；

(3)当NBAC=90°,BC=8时，在A。上找一点P,使得点P到点C与到点E的距离

之和最小，求aBCP的面积

【解题思路】(1)根据等腰三角形的性质即可得到结论.

(2)利用轴对称的性质即可证明.

(3)连接2E交AC于点尸，此时PE+PC的值最小.根据全等三角形的判定和性质定理

求出即可解决问题.

【解答过程】解：(1),：AB=AC,AO是中线，

：.ZBAD^ZCAD,

(2)连接EC.结论：BD=CE.

理由：•.乂。是中线，

：.BD=CD,

'：AD,AE关于AC对称,

:.CD=CE,

:.BD=CE：

(3)连接BE交AO于点P,此时PE+PC的值最小.

：.AD=AE=4,

'."AE//BD,AE=AD=BD,

：.ZAEP=ZDBPM,

,/NAPE=NDPB,

：.(A45),

：.PA=PD=2,

'CPDVBC,

/.SABCP=1X8X2=8.

28.(2021秋•衡水期中)如图，在RtZSABC中，/A=90°,ZACB=30°,AC=10,CD

是角平分线.

(1)如图1,若E是AC边上的一个定点，在CC上找一点P,使以+PE的值最小；

(2)如图2,若E是AC边上的一个动点，在CQ上找一点尸，使以+PE的值最小，并

直接写出其最小值.

D,ED,E

【解题思路】(1)如图，作点E关于CO的对称点「连接AF交CO于点P,于是得到

结论；

(2)如图，过。作DF_L5c于F,过尸作EF_LAC交CO于尸，则此时，必+PE的值最

小；用+PE的最小值=£凡根据角平分线的性质得到力4=。凡即点4与点尸关于C。

对称，根据直角三角形的性质即可得到结论.

【解答过程】解：(1)如图，作点E关于CO的对称点尸连接AF交CO于点P,

则此时，用+PE的值最小；

点P即为所求；

(2)如图，过。作。EL8C于F,过尸作ERLAC交CO于P,

则此时，租+PE的值最小；

PA+PE的最小值=EF,

CD是角平分线，NB4C=90°,

：.DA=DF,

即点A与点尸关于CO对称，

：.CF=AC^]0,

VZACB=30G,

：.EF=|CF=5.

29.(2021春•郊县期末)已知点P在NMON内.

(1)如图1,点尸关于射线OM的对称点是G,点P关于射线ON的对称点是H,连接

OG、OH、OP.

①若NMON=50。，则/G04=100°；

②若PO=5,连接GH,请说明当NMON为多少度时，GH=10；

(2)如图2,若NMON=60°,A、B分别是射线。例、ON上的任意一点，当的

周长最小时，求NAPB的度数.

【解题思路】(1)依据轴对称可得OG=OP,OM±GP,即可得到OM平分NPOG,ON

平分NPOH,进而得出NGOH=2NMON=2X50°=100°；②当NA/ON=90°时，Z

GOH=180°,此时点G,O,"在同一直线上，可得GH=GO+”O=10：

(2)设点P关于OM、ON对称点分别为尸‘、P",当点