充分条件与必要条件

1.2充分条件与必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．

课堂互动讲练知能优化训练1.2

充分条件与必要条件课前自主学案课前自主学案温故夯基1．用语言、_________或_________表达的，可以判断真假的__________叫_________2．命题的结构：_____________，其中“p”是条件，“q”是____________符号式子陈述句命题．若p，则q结论．知新益能1．充分条件和必要条件“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，记作_________，并且说p是q的________条件，q是p的__________条件．2．充要条件(1)如果既有_________，又有__________，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称______条件．(2)概括地说：如果________，那么p与q互为充要条件．p⇒q充分必要p⇒qq⇒p充要p⇔q若p是q的充分条件，那么p惟一吗？提示：不惟一．如x>3是x>0的充分条件，x>5，x>10等也都是x>0的充分条件．问题探究课堂互动讲练充分、必要条件及充要条件的判断考点一判断p是q的什么条件，主要是判断若p成立时，能否推出q成立；反过来，若q成立时，能否推出p成立．若p⇒q为真，则p是q的充分条件；若q⇒p为真，则p是q的必要条件．考点突破指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)．(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：函数f(x)＝2x＋1，q：函数f(x)是增函数；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是等腰三角形；(4)p：α>β，q：sinα>sinβ.例1【思路点拨】只需按充分、必要条件的定义，分析若p成立，q是否成立，再反过来，q成立时，p是否成立．【解】

(1)∵a＋b＝0⇒/a2＋b2＝0，反过来，若a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的必要不充分条件．(2)因为函数f(x)＝2x＋1⇒f(x)是增函数，但f(x)是增函数⇒/f(x)＝2x＋1，所以p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q且q⇒p，∴p是q的充要条件．(4)取α＝150°，β＝30°，α>β，但sin150°＝sin30°，即p⇒/q；反之，sin60°>sin150°，但60°>150°不成立，则q⇒/p，所以p是q的既不充分也不必要条件．解：(1)当|a|≥2时，如a＝3时，方程可化为x2＋3x＋6＝0，无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤－2或a≥6，从而可以推出|a|≥2.综上可知，由q能推出p，而由p不能推出q，所以p是q的必要不充分条件．(2)由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是矩形”；而由“四边形是矩形”可以推出“四边形的对角线相等”，所以p是q的必要不充分条件．(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两个方面进行．此时要特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么．(2)在具体解题时需注意若推出(⇒)关系成立，需严格证明．若推出(⇒)关系不成立，可举反例说明．充要条件的证明考点二求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.【思路点拨】解答本题可先确定p和q，然后再分充分性和必要性进行证明．【证明】充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴方程一定有两不等实根，例2根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．充分条件、必要条件、充要条件的应用考点三已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【思路点拨】先求不等式的解集，然后根据充分条件的意义建立不等式组求解即可．例3【名师点评】在涉及求参数的取值范围与充分、必要条件有关的问题时，常借助集合的观点来处理，如A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，显然有B

A，所以“x>1”是“x>2”的必要不充分条件．1．充要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证p⇐q，只需证綈q⇐綈p即可．所以p⇔q，只需綈q⇔綈p.方法感悟(3)利用集合间的包含关系进行判断．2．证明p是q的充要条件应注意的地方(1)首先应分清条件和结论，并不是在前面的就是条件．如若要证“p是q的充要条件”，则p是条件，q是结论；若要证“p的充要条件是q”