2022-2023学年广东省云浮市高一下学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省云浮市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号体黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A2.若正方形的边长为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为正方形的边长为，所以，且，所以.

故选：B3.高一年级有男生480人，女生520人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取了总样本量为50的样本，则张华从男生中抽取的样本量为（）A.23 B.24 C.25 D.26〖答案〗B〖解析〗由题意，高一年级有男生480人，女生520人，可得高一年级共有人，可得分层随机抽样的方法抽取了总样本量为50的样本，则张华从男生中抽取的样本量为人.故选：B.4.一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（）A.四棱台 B.四棱柱 C.四棱锥 D.五棱锥〖答案〗C〖解析〗对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意.故选：C5.如图，在长方体中，，，，，分别在棱，上，，该长方体被平面截成两个几何体，设体积较大的几何体的体积为，体积较小的几何体的体积为，则（）A.10 B.5 C.12 D.11〖答案〗D〖解析〗不妨设，，因为，所以，，，所以，所以，，因为，所以长方体被平面截成的两部分均为高为的直棱柱，所以其体积之比即为底面积之比，所以.故选：D6.柜子中有3双不同颜色的手套，红色、黑色、白色各1双.若从中随机地取出2只，则取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，分别用表示6只手套，从中随机地取出2只，包含，，共有15种，其中取出的手套中一只左手套一只右手套，包含，共有6种，所以不是一双手套的概率为.故选：B.7.2012年至2021年全国及广东固定资产投资年增速情况如图所示，则（）A.2012年至2021年全国固定资产投资先减后增B.2012年至2021年广东固定资产投资年增速的40%分位数为11.1%C.2012年至2021年全国固定资产投资年增速的平均数比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的平均数大D.2012年至2021年全国固定资产投资年增速的方差比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的方差大〖答案〗D〖解析〗由折线统计图可知2012年至2021年全国固定资产投资年增速先减后增，但是均为正数，故全国固定资产投资均增加，故A错误2012年至2021年广东固定资产投资年增速从小到大排列为、、、、、、、、、，因为，所以第分位数为第、位两数的平均数，即为，故B错误；由统计图可知只有年全国固定资产投资年增速比广东固定资产投资年增速大，其余年份广东固定资产投资年增速均大于全国固定资产投资年增速，所以2012年至2021年全国固定资产投资年增速的平均数比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的平均数小，故C错误；因为全国固定资产投资年增速的极差为，广东固定资产投资年增速的极差为，且全国固定资产投资年增速比较分散，广东固定资产投资年增速比较集中，所以2012年至2021年全国固定资产投资年增速的方差比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的方差大，故D正确；故选：D8.罗定文塔，位于广东省云浮市罗定市城区.宝塔平面上呈八角形，各层塔檐微微翘起，状如绽开的花瓣.顶层的莲花座铁柱、塔刹九霄盘、宝珠等铸件总重逾七吨，为广东古塔之最.如图，为了测量罗定文塔的高度，选取了与该塔底B在同一平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得罗定文塔顶端的仰角为，则罗定文塔的高度______.（参考数据：取，，，）A.23.5m B.47m C.24.5m D.49m〖答案〗B〖解析〗因为，所以，又，因为，，所以，在中由正弦定理，即，又，所以.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则（）A.的实部为1B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，所以，所以实部为，虚部为，，故A、C正确，B错误；，所以在复平面内对应的点位于第二象限，故D正确；故选：ACD10.已知的内角的对边分别为，已知，锐角C满足，则（）A.的面稘为 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗在中，因为，且，由三角形的面积公式，可得，所以A错误；由为锐角，且，可得，所以B正确；由余弦定理得，可得，所以C正确；由余弦定理得，所以D不正确.故选：BC.11.如图，这是一个古典概型的样本空间和事件，，其中，，，，则（）A. B.C.与互斥 D.与相互独立〖答案〗ABD〖解析〗因为，，，，所以，，，所以，即与相互独立，故A、D正确；因为，所以与不互斥，故C错误；，故B正确；故选：ABD12.已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（）A.三棱锥的外接球的体积不变B.三棱锥的体积的最大值为C.当三棱锥的体积最大时，二面角的正切值为D.异面直线与所成角最大值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，设的中点为，则由、知，，所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，所以三棱锥外接球的体积为，故A正确；对于B，设三棱锥底面上的高为，则，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时三棱锥的体积，故B错误；对于C，三棱锥的体积的最大时，平面平面，过点作交于点，过点作，交于点，连接，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，所以，，平面，所以平面，平面，所以，所以即为二面角的平面角，又，则，又，所以，则，所以，即二面角的正切值为，故C正确；对于D，当翻折后点到点的距离为，即，在中，，则，又平面，则平面，即异面直线与所成角为，即异面直线与所成角的最大值为，故D正确；故选：ACD三、填空题：本是共4小题，每小题5分，共20分.13.从这个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为的概率为______.〖答案〗〖解析〗因为，，，，，，，，，从这个数中随机选择一个数共有种选法，其中这个数的平方的个位数字为的只有、共个，所以所求的概率.故〖答案〗为：14.已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则，夹角的余弦值为______，______.〖答案〗①.②.〖解析〗因为，，且在上的投影向量为，所以，即，所以.故〖答案〗为：；15.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为______.〖答案〗〖解析〗由题意知，该圆锥的母线长为，设圆锥底面圆半径为，高为，如图所示，由得，，所以.圆锥内切球的半径等于内切圆的半径，设的内切圆圆心为，半径为，由得，，解得.所以该球状零件表面积的最大值为.故〖答案〗为：.16.如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗延长，与的延长线交于点，是正方形，，易得，又,平面,平面,所以平面，则平面，．E关于面MNPQ的对称点T,易知，以为坐标原点，DA，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．，E，P，分别为，的中点,，，则.故〖答案〗为:.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点，，，且.（1）求点的坐标；（2）求的面积.解：（1）因为，，，所以，设，则，又，所以，解得，即.（2）因为，且轴，到的距离为，所以.18.如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.证明：（1）取的中点，连接、，因为，分别为，的中点，所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，，所以且，所以为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）在正三棱柱中为的中点，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以平面平面.19.村BA全称是“美丽乡村”篮球联赛，近几个月以来，广东各地村居篮球联赛众多.村BA以篮球为纽带，掀起乡村体育热潮，大力促进全民健身和乡村振兴的发展.某村BA球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（3）若该球队准备对得分排名前的比赛进行宣传，试估计被宣传的比赛得分不低于多少.解：（1）由频率分布直方图可得，解得.（2）由频率分布直方图可得平均数为.（3）因为，，所以第百分位数位于之间，设为，则，解得，所以被宣传的比赛得分不低于.20.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，为锐角.（1）求；（2）若，，求.解：（1）．由正弦定理得，又，即，又为锐角，所以.（2）由余弦定理可得，即，由，即，则，即，所以或，若，由余弦定理，即，解得，所以；若，由余弦定理，即，解得，所以；21.某高校的入学面试中有，，三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对，，题的概率依次是，，.（1）求李明第一环节抽中题，且第一环节通过面试的概率；（2）求李明第二环节或第三环节通过面试的概率.解：（1）设事件为李明第一环节抽中题，且第一环节通过面试.由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为，所以.（2）方法一：设事件为李明第一环节通过面试，则.设事件为李明面试失败，李明答题情况如下：题错题错题错，题错题错题错，题错题错题错，题错题错题错，题错题错题错，题错题错题错.所以.故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为.方法二：设事件为李明第二环节通过面试，李明答题情况如下：题错题对，题错题对，题错题对，题错题对，题错题对，题错题对.所以.设事件为李明第三环节通过面试，李明答题情况如下：题错题错题对，题错题错题对，题错题错题对，题错题错题对，题错题错题对，题错题错题对.所以.故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为.22.如图，在四面体ABCD中，，，E为BD的中点，F为AC上一点.（1）求证：平面平面BDF；（2）若，，，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值.（1）证明：在四面体ABCD中，，E为BD的中点，则，而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面.（2）解：依题意不妨设，，则，又，则，．在中，，所，则，．由（1）得，，因，即，则．设点B到平面ACD的距离为h，则，解得，所以点B到平面ACD的距离为.设直线BF与平面ACD所成角为，所以．因为，所以，故当时，最短，此时，正弦值最大为．广东省云浮市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号体黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A2.若正方形的边长为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为正方形的边长为，所以，且，所以.

故选：B3.高一年级有男生480人，女生520人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取了总样本量为50的样本，则张华从男生中抽取的样本量为（）A.23 B.24 C.25 D.26〖答案〗B〖解析〗由题意，高一年级有男生480人，女生520人，可得高一年级共有人，可得分层随机抽样的方法抽取了总样本量为50的样本，则张华从男生中抽取的样本量为人.故选：B.4.一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（）A.四棱台 B.四棱柱 C.四棱锥 D.五棱锥〖答案〗C〖解析〗对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意.故选：C5.如图，在长方体中，，，，，分别在棱，上，，该长方体被平面截成两个几何体，设体积较大的几何体的体积为，体积较小的几何体的体积为，则（）A.10 B.5 C.12 D.11〖答案〗D〖解析〗不妨设，，因为，所以，，，所以，所以，，因为，所以长方体被平面截成的两部分均为高为的直棱柱，所以其体积之比即为底面积之比，所以.故选：D6.柜子中有3双不同颜色的手套，红色、黑色、白色各1双.若从中随机地取出2只，则取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，分别用表示6只手套，从中随机地取出2只，包含，，共有15种，其中取出的手套中一只左手套一只右手套，包含，共有6种，所以不是一双手套的概率为.故选：B.7.2012年至2021年全国及广东固定资产投资年增速情况如图所示，则（）A.2012年至2021年全国固定资产投资先减后增B.2012年至2021年广东固定资产投资年增速的40%分位数为11.1%C.2012年至2021年全国固定资产投资年增速的平均数比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的平均数大D.2012年至2021年全国固定资产投资年增速的方差比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的方差大〖答案〗D〖解析〗由折线统计图可知2012年至2021年全国固定资产投资年增速先减后增，但是均为正数，故全国固定资产投资均增加，故A错误2012年至2021年广东固定资产投资年增速从小到大排列为、、、、、、、、、，因为，所以第分位数为第、位两数的平均数，即为，故B错误；由统计图可知只有年全国固定资产投资年增速比广东固定资产投资年增速大，其余年份广东固定资产投资年增速均大于全国固定资产投资年增速，所以2012年至2021年全国固定资产投资年增速的平均数比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的平均数小，故C错误；因为全国固定资产投资年增速的极差为，广东固定资产投资年增速的极差为，且全国固定资产投资年增速比较分散，广东固定资产投资年增速比较集中，所以2012年至2021年全国固定资产投资年增速的方差比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的方差大，故D正确；故选：D8.罗定文塔，位于广东省云浮市罗定市城区.宝塔平面上呈八角形，各层塔檐微微翘起，状如绽开的花瓣.顶层的莲花座铁柱、塔刹九霄盘、宝珠等铸件总重逾七吨，为广东古塔之最.如图，为了测量罗定文塔的高度，选取了与该塔底B在同一平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得罗定文塔顶端的仰角为，则罗定文塔的高度______.（参考数据：取，，，）A.23.5m B.47m C.24.5m D.49m〖答案〗B〖解析〗因为，所以，又，因为，，所以，在中由正弦定理，即，又，所以.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则（）A.的实部为1B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，所以，所以实部为，虚部为，，故A、C正确，B错误；，所以在复平面内对应的点位于第二象限，故D正确；故选：ACD10.已知的内角的对边分别为，已知，锐角C满足，则（）A.的面稘为 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗在中，因为，且，由三角形的面积公式，可得，所以A错误；由为锐角，且，可得，所以B正确；由余弦定理得，可得，所以C正确；由余弦定理得，所以D不正确.故选：BC.11.如图，这是一个古典概型的样本空间和事件，，其中，，，，则（）A. B.C.与互斥 D.与相互独立〖答案〗ABD〖解析〗因为，，，，所以，，，所以，即与相互独立，故A、D正确；因为，所以与不互斥，故C错误；，故B正确；故选：ABD12.已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（）A.三棱锥的外接球的体积不变B.三棱锥的体积的最大值为C.当三棱锥的体积最大时，二面角的正切值为D.异面直线与所成角最大值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，设的中点为，则由、知，，所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，所以三棱锥外接球的体积为，故A正确；对于B，设三棱锥底面上的高为，则，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时三棱锥的体积，故B错误；对于C，三棱锥的体积的最大时，平面平面，过点作交于点，过点作，交于点，连接，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，所以，，平面，所以平面，平面，所以，所以即为二面角的平面角，又，则，又，所以，则，所以，即二面角的正切值为，故C正确；对于D，当翻折后点到点的距离为，即，在中，，则，又平面，则平面，即异面直线与所成角为，即异面直线与所成角的最大值为，故D正确；故选：ACD三、填空题：本是共4小题，每小题5分，共20分.13.从这个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为的概率为______.〖答案〗〖解析〗因为，，，，，，，，，从这个数中随机选择一个数共有种选法，其中这个数的平方的个位数字为的只有、共个，所以所求的概率.故〖答案〗为：14.已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则，夹角的余弦值为______，______.〖答案〗①.②.〖解析〗因为，，且在上的投影向量为，所以，即，所以.故〖答案〗为：；15.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为______.〖答案〗〖解析〗由题意知，该圆锥的母线长为，设圆锥底面圆半径为，高为，如图所示，由得，，所以.圆锥内切球的半径等于内切圆的半径，设的内切圆圆心为，半径为，由得，，解得.所以该球状零件表面积的最大值为.故〖答案〗为：.16.如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗延长，与的延长线交于点，是正方形，，易得，又,平面,平面,所以平面，则平面，．E关于面MNPQ的对称点T,易知，以为坐标原点，DA，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．，E，P，分别为，的中点,，，则.故〖答案〗为:.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点，，，且.（1）求点的坐标；（2）求的面积.解：（1）因为，，，所以，设，则，又，所以，解得，即.（2）因为，且轴，到的距离为，所以.18.如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.证明：（1）取的中点，连接、，因为，分别为，的中点，所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，，所以且，所以为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）在正三棱柱中为的中点，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以平面平面.19.村BA全称是“美丽乡村”篮球联赛，近几个月以来，广东各地村居篮球联赛众多.村BA以篮球为纽带，掀起乡村体育热潮，大力促进全民健身和乡村振兴的发展.某村BA球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（3）若该球队准备对得分排名前的比赛进行宣传，试估计被宣传的比赛得分不低于多少.解：（1）由频率分布直方图可得，解得.（2）由频率分布直