最完整的直线和圆知识总结

第七章直线和圆知识总结一．直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把X轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为a，那么a就叫做直线的倾斜角。当直线l与X轴重合或平行时，规定倾斜角为0；倾斜角的范围［0,代)。如二．直线的斜率：1•定义:倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k=tana(a工90°)；倾斜角为90。的直线没有斜率；(斜率公式：经过两点P(x,y)、P(x,y)的直线的斜率为k二2(x丰x)；111 222 x—x 1 212直线的方向向量a=(1k)，直线的方向向量与直线的斜率有应用：证明三点共线：k=k。ABBC三．直线的方程：点斜式：已知直线过点(x,y)斜率为k，则直线方程为y—y二k(x—x)，它不包括垂直0000于x轴的直线。斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为y=kx+b，它不包括垂直于x轴的直线。y—y x—x3.两点式：已知直线经过P(x,y)、P(x,y)两点，则直线方程为-=J,111 222 y—yx—x2121它不包括垂直于坐标轴的直线。xy4.截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b，则直线方程为一+?二1，它不包括垂直ab于坐标轴的直线和过原点的直线。5.—般式：任何直线均可写成Ax+By+C二0(A,B不同时为0)的形式。如四．设直线方程的一些常用技巧：1.知直线纵截距b，常设其方程为y二kx+b；知直线横截距xo，常设其方程为x=my+x°(它不适用于斜率为0的直线)；知直线过点(x,y)，当斜率k存在时，常设其方程为y二k(x—x)+y,当斜率k不存0000在时，则其方程为x二x；0与直线1:Ax+By+C=0平行的直线可表示为Ax+By+C—0；1与直线1:Ax+By+C—0垂直的直线可表示为Bx—Ay+C—0.1提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。五.点到直线的距离及两平行直线间的距离：Ax+By+C|(1)点P(x,y)到直线Ax+By+C—0的距离d— 0 000 如+B2（2）两平行线1:Ax+By+C—0,1:Ax+By+C—0间的距离为d—1122六．直线1:Ax+By+C—0与直线1:Ax+By+C—0的位置关系：111122221.平行oAB—AB—0（斜率）且BC—BC丰0（在y轴上截距）;12211221•相交AB—AB丰0；1221•重合oAB—AB—0且BC—BC—0。12211221

TOC\o"1-5"\h\zA B C A B A B C提醒：(1)仅是两直线平行、相交、重合的充—1= —1 丰1、 —1 丰—1、提醒：(1)仅是两直线平行、相交、重合的充A B C A B A B C22222222分不必要条件！(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；(3)直线l:Ax+By+C=0与直线1111:Ax+By+C=0垂直oAA+BB=0。2221212(答：4x+3y-4=0和x=1)七．到角和夹角公式：1.1至强的角是指直线i绕着交点按逆时针方向转到和直线i重合所转的角&,ewS,兀)且1212tane=—2 4(kk —1)；k—k2 4|（kkk—k2 4|（kk鼻一1）。1+kk 12丿12兀(2)1与1的夹角是指不大于直角的角°,0w(0,^］且tanQ=|122提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M是直线2x—y—4=0与x轴的交点，把直线1绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是 (答：3x+y-6=0)八．对称(中心对称和轴对称)问题——代入法：如已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为 九．简单的线性规划：1.二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成y>kx+b或y<kx+b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断;无等号时用虚线表示不包含直线1，有等号时用实线表示包含直线1；③设点P(x,y)，11Q(x,y)，若Ax+By+C与Ax+By+C同号，则P，Q在直线1的同侧，异号则在直线1的221122异侧。线性规划问题中的有关概念：满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量x,y的解析式叫目标函数，关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数；求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式;②作出可行域,写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。十.圆的方程：1.圆的标准方程:(x—a)2+(y—b)2=r2。2.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2—4F>0），特别提醒：只有当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圆心为D~21,,半径为D~21,,半径为2<D2+E2—4F的圆（二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是什么？(A=C丰0,且B=0且D2+E2—4AF>0))；3.圆的参数方程：｛y二a:rcos©(°为参数)，其中圆心为⑺,b)，半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元：X2+y2=r2Tx=rcos°,y=rsin°；x2+y2<tTx二rcos°,y二rsin°(0<r<\;t)。4.A(x,y),B(x,y)为直径端点的圆方程(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=011221212十一.点与圆的位置关系：已知点M(x,y)及圆C：(x-a匕+(y-bl=r2(r>0),00点M在圆C外o|CM|>ro(x- +(y-b^>r2；00点M在圆C内o|CM|<ro(x-a+(y-b)2<r2；0 0点M在圆C上o|CM|=ro(x-a匕+(y-b^=r2。0 0十二。直线与圆的位置关系：直线l:Ax+By+C=0和圆C：(x-a匕+(y-b匕=r2(r>0)有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：A>0o相交；A<0o相离；A=0o相切；(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d<ro相交；d>ro相离；d=ro相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。x=1)十三．圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断)：已知两圆的圆心分别为0,0，半径分别为r,r，贝1212当100|>r+r时，两圆外离；12 12当|00|=r+r时，两圆外切；12 12当r-r<|00|<r+r时，两圆相交；121212当|00|=|r-r|时，两圆内切；1212当0<|00|<|r-r|时，两圆内含。1212十四．圆的切线与弦长：(1)切线：①过圆x2+y2=R2上一点P(x,y)圆的切线方程是：xx+yy=R2，过圆0000(x-a)2+(y-b》=R上一点P(x,y)圆的切线方程是：(x-a)(x-a)+(y-a)(y-a)=R2，0000一般地，如何求圆的切线方程？(抓住圆心到直线的距离等于半径)；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求；③过两切点的直线(即“切点弦”方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0((x-a)2+(y—b)2=R2)外一点P(x,y)所引圆的切线的长为 00x2+y2+Dx+Ey+F(、：(x—a)2+(y—b)2—R2)0000*00(2)弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半2a及圆的