概率论与数理统计：数字特征和数字特征

概率论与数理统计概率论与数理统计概率论部分

2§1.随机变量的数学期望第四章数字特征和数字特征3例:计算下列随机变量的期望100--1分布:20

几何分布:45例：计算下面均匀分布的期望63.随机变量函数的数学期望公式:71.在已知是ξ的连续函数前提下,当我们求E(η)时不必知道的η分布,只需知道ξ的分布就可以了.2.上述定理可以推广到多维r.v.函数.注84.均值的性质:(1)E(c)=c;(c为常数)(2)E(cξ)=cE(ξ);(c为常数)(3)E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);(4)设ξ,η相互独立,则E(ξη)=E(ξ)E(η);关于性质的拓展9将ξ分解成数个r.v.之和,然后利用r.v.和的数学期望等于r.v.的数学期望之和来求解.这个方法具有一定的普遍意义.注105.一般随机变量的数学期望11作业：4.1,4.2,4.4,4.912§2.方差

若ξ为离散型r.v.其分布律为P{ξ=xk}=pk,k=1,2,…,则一.定义：13例1.分别求出0-1分布，几何分布，均匀分布的方差。作业：4.5,4.814二、方差的性质及切比雪夫不等式：1.性质:10

设ξ是r.v.,C是常数,则有D(Cξ)=C2D(ξ);30D(ξ)=0的充要条件是ξ以概率1取常数C,

即P{ξ=C}=1.2.切比雪夫不等式:15常用随机变量的均值及方差:100--1分布:分布律为

P{ξ=0}=1-p,P{ξ=1}=p则E(ξ)=p,D(ξ)=p(1-p)(一).离散型:1640

几何分布:

P{ξ=k}=qk-1p,k=1,2,…(二).连续型:10

均匀分布:ξ在区间(a,b)上服从均匀分布19§3.随机向量的数字特征(iii)对于任意的两个r.v.ξ和η,有

D(ξ

η)=D(ξ)+D(η)2Cov(ξ,η).注(i)Cov(ξ,ξ)=D(ξ).(ii)Cov(ξ,η)=E(ξη)-E(ξ)E(η).20协方差的性质:1.Cov(ξ,η)=Cov(η,ξ);

3.Cov(a1ξ+b1,a2η+b2)=a1a2Cov(ξ,η),其中a1,a2,b1,b2是常数;2.Cov(ξ1+ξ2,η)=Cov(ξ1,η)+Cov(ξ2,η);4.|Cov(ξ,η)|2≤D(ξ)·D(η);5.若ξ,η相互独立,则Cov(ξ,η)=0.2122作业：4.16(1),(3)改为求协方差23(2)相关系数的性质:24说明相关系数刻划了ξη之间的线性相关关系,当=0时,我们称ξη不相关.(这里是指它们之间线性关系最薄弱)25设(ξ,η)服从二维正态分布,则ξ,η相互独立的充要条件是r=0.知ξ与η不相关与ξ和η相互独立是等价的.例.设(ξ,η)服从二维正态分布,求ξ和η的相关系数.结论作业：4.10,4.1326定义:设ξ和η是随机变量,(1)若E(ξk),k=1,2,…存在,则称它为ξ的k阶原点矩.(2)若E{[ξ

-E(ξ)]k},k=1,2,…存在,则称它为ξ的

k阶中心矩.(3)若E{ξ

k•η

l},k,l=1,2,…存在,则称它为ξ和η的k+l阶混合(原点)矩.(4)若E{[ξ

-E(ξ)]k•[η

-E(η)]l},k,l=1,2,…存在,则称它为ξ和η的k+l阶混合中心矩.（三）矩27（四）随机向量的数学期望和方差2829302.随机向量数字特征的基本性质31注32（五）条件数学期望练习：写出离散型随机变量的条件期望定义。33注34条件数学期望的性质：作如下对应：确定性世界——一维直线空间由ξ的信息所产生的世界——二维平面空间一般陌生随机变量的世界——三维立体空间则条件期望就可以看作一种投影映射！35作业：4.18(1),4.19(1)36例:假设X与Y有联合密度f(x,y)=x+y,对0<x<1,0<y<1,求:(a)

E(X|Y=y).3738§4特征函数一.一元特征函数及其性质1.随机变量的特征函数39作业：4.21,4.22402.特征函数的性质412、常见分布的特征函数：42二.特征函数与分布函数的对应关系4344(对特征函数作傅立叶反变换)45(F(x)未必也是分布函数)(即在t的任一有限区间内收敛是一致的)464748三。分布族的再生性4950n维正态变量主要内容：51例：二维正态向量：522.性质:(利用特征函数和分布的相互唯一确定)10

n维r.v.(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布的的充要条件是X1,X2,…,Xn的任一非零线性组合l1X1+l2X2+…+ln

Xn服从一维正态分布.20若(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,…,Yn是Xj(j=1,2,…,n)的线性函数,则(Y1,Y2,…Yn)也服从多维正态分布.(线性变换不变性)30若(X1,X