特训08圆锥曲线压轴题（原卷版）

特训08圆锥曲线压轴题一、定点、定值问题1．已知椭圆的C的方程：．(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值．(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．(3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．2．已知抛物线：（），直线交于A、B两点.(1)若当时，，求p的值；(2)如图，（i）若，求面积的最小值.（ii）抛物线在A、B两点处的切线分别与y轴交于C、D，AC和BD交于G，.证明：存在实数，使得.3．已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及、．(1)求椭圆的方程；(2)求证：为定值；(3)求的最小值．4．已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线、，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，、的中点分别为、．(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；(3)求四边形面积的最小值．5．已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；(3)证明：为定值？并求的最大值．6．已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为.(1)求双曲线的方程；(2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点.①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.②证明：直线恒过定点.7．已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点，椭圆的上､下顶点分別为，点在椭圆上且异于点，直线与直线分别交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)当点运动时，以为直径的圆是否经过轴上的定点？请证明你的结论.8．已知椭圆的左焦点为F，右顶点为，过F且斜率不为0的直线l交椭圆于A，B两点，C为线段AB的中点，当直线l的斜率为1时，线段AB的垂直平分线交x轴于点O（O为坐标原点），且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线DA，DB分别交直线于点M，N，求证：以MN为直径的圆恒过点F．9．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)当直线的斜率为1时，求的面积；(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.10．已知椭圆的长轴是短轴的2倍，且右焦点为，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点B在第一象限且为等边三角形，求该等边三角形的边长；(3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线与x轴分别交于点M，N，判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.二、面积、求范围问题11．已知椭圆的离心率为，椭圆的下顶点和上项点分别为，且，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，求的面积；(3)求直线与直线的交点的轨迹方程.12．在上任取一点，记，当P在圆C上运动时，点Q的轨迹记为．(1)写出的标准方程，并说明的离心率是定值（与无关）；(2)当时，分别记为，若直线与交于4个点，在直线l上从上到下顺次记为A，B，C，D．①与是否相等？证明你的结论；②已知，求面积的最大值．13．已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)当椭圆和圆：.过点作直线和，且两直线的斜率之积等于，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点，．（i）求的取值范围；（ii）求面积的最大值．14．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.(1)若的面积为，求直线AB的方程；(2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围.15．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为双曲线：的右顶点，直线与的一条渐近线平行.（1）求的方程；（2）如图，､为的左右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴､轴分别交于点､，试比较与的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点､的直线与交于､两点，求的面积最大值.16．已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点.(1)求抛物线的方程；(2)求的值；(3)如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.17．已知双曲线E：的左、右顶点分别为A，B，且，过原点O的直线l与双曲线E相交于不同的两点C，D，且.(1)求双曲线E的标准方程；(2)设点P是双曲线E的右支上一点，过点P的直线m与双曲线E的两条渐近线分别交于点，，其中，若，且，求面积的取值范围.18．已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且当原点O到直线的距离最大时，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过原点O且垂直于直线的直线与椭圆C相交于P，Q两点，记四边形PMQN的面积为S，求的取值范围．19．已知椭圆经过两点为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，且直线、分别与轴交于点.(1)求椭圆的方程；(2)设，求的取值范围.20．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为2．(1)求椭圆C的方程；(2)动直线交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为，且．T是线段OD延长线上一点，且，的半径为，OP，OQ是的两条切线，切点分别为P，Q，求的最大值．21．已知椭圆的左、右焦点分别为、，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，、的延长线分别交椭圆Γ于点、，直线与交于点R．(1)求的周长；(2)当垂直于x轴时，求直线的方程；(3)记与的面积分别为、，求的最大值．22．已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若l交y轴于点P，，，求证：为定值；(3)在（2）的条件下，若，当时，求实数m的取值范围.三、弦长问题23．已知椭圆，分别为左右焦点，O为坐标原点，过O作直线交椭圆于C，D两点，若周长的最小值为6，面积的最大值为.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线交椭圆E于A，B两点，①若直线的斜率为且的面积为，求直线方程；②若直线与x轴交于M点，当点A在x轴的上方时，有，且直线与圆相切于点N，求的长.24．已知椭圆，抛物线与椭圆有相同的焦点，抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，设直线PA，PB的斜率分别为，.（1）求抛物线的方程及的值；（2）若直线AB交椭圆于C、D两点，、分别是、的面积，求的最小值.25．已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程；（3）如图，四边形是矩形，椭圆相切于点，与椭圆相切于点，与椭圆相切于点，与椭圆相切于点求矩形面积的取值范围．26．如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．（Ⅰ）设线段的中点为；（ⅰ）求证：平行于轴；（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知双曲线过点，且的渐近线方程为．(1)求的方程；(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．①求四边形面积的取值范围；②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．四、定直线问题28．已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当时，求△OMN的面积；(3)求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上．29．已知点F是椭圆C：(a>b>0)的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为；当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；(3)若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．30．如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点F在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设P是上的动点，且位于第一象限，在点Р处的切线l与交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标.31．已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为､，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.(1)求双曲线的方程；(2)证明：直线与直线的斜率之积