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文档简介

第一讲一阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程二、高阶线性微分方程三、二阶常系数齐次线性微分方程四、二阶常系数非齐次线性微分方程1一、可降阶高阶微分方程

1、型的微分方程2、型的微分方程3、型的微分方程21、两端积分得同理可得依次通过

n

次积分,可得含

n

个任意常数的通解.型的微分方程

机动目录上页下页返回结束3例1.解:

机动目录上页下页返回结束4型的微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解2、机动目录上页下页返回结束5例2.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为机动目录上页下页返回结束63、型的微分方程

令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解机动目录上页下页返回结束7例3.求解代入方程得两端积分得(可分离变量)故所求通解为解:机动目录上页下页返回结束8例4.解初值问题解:

令代入方程得积分得利用初始条件,根据分离变量得故所求特解为得机动目录上页下页返回结束9内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令

解二阶可降阶微分方程初值问题需注意：(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.10二、高阶线性微分方程11证毕1、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)

定理1.机动目录上页下页返回结束12说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束13定义

设是定义在区间I

上的函数，线性相关若线性无关常数例1.判断下列函数组在其定义区间内是否线性相关？机动目录上页下页返回结束，则称若，则称14定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为机动目录上页下页返回结束2、非齐次线性微分方程解的结构1516例2.已知均为方程的解，求该方程的通解。解：线性无关故：通解为例3.已知方程的一个特解为为方程的特解，求的通解。解：通解为17三、二阶常系数齐次线性微分方程和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,(r

为待定常数),所以令①的解为②其根称为特征根.18192022例3.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为例4.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为23根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法四、二阶常系数非齐次线性微分方程2

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