常微分方程32 线性微分方程的基本理论

3.2

线性微分方程的基本理论线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论.1及其各阶导数均为一次的n阶微分方程称为n阶线性微分方程.一、基本概念n阶线性微分方程:

未知函数一般形式为:式中上的连续函数。及是区间2n阶线性齐次微分方程:

n阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程,（3.2.1）称非齐线性方程。3上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。

关于高阶方程同一阶方程一样,也有相类似的解的存在惟一性定理.4定理3.1：如果(3.2.1）的系数

及右端函数在区间上连续，

满足下列初始条件

方程（3.2.1）存在惟一的解

则对任一个及任意的

5线性微分算子:为常数.性质3.2

性质3.1例如:6二、齐次线性方程解的性质和结构定理3.2(叠加原理)如果

是方程（3.2.2）的n个解，

则它的线性组合

也是方程（3.2.2）的解，这里是常数.7例1

验证是方程的解.解:分别将代入方程,得所以为方程的解.8基本解组:如果方程（3.2.2）的任意一个解都可以表示为,则称是方程组（3.2.2）

的基本解组。线性相关:对定义在区间(a,b)上的函数组

如果存在不全为0的常数,使得

在(a,b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关.9例2:

函数在任何区间上都是线性无关的，因为如果只有当所有的

时才成立.

(3.2.5)事实上,如果至少有一个则(3.2.5)式的左端是一个不高于n次的多项式，它最多可有n个不同的根.它在所考虑的区间上不能有多于n个零点,更不可能恒为零.10注1：在函数中有一个函数等于零,则函数在（a,b）上线性相关。

则在（a,b）上线性无关的充要条件为

或在（a,b）上不恒为常数.

注2：考虑到两个函数构成的函数组

如果

或

在(a,b)上有定义,11注3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取的区间。例4:

函数

上是线性无关,而在上是线性相关的.

和事实上在区间上不是常数,分别在区间和上是常数.例3:在任何区间上都线性无关.

在任何区间上都线性相关.12Wronskian行列式:称为这些函数的Wronskian行列式,通常记做由定义在区间（a,b）上的k个k-1次可微函数

所作成的行列式13证明:由假设知存在一组不全为零的常数使得依次将此恒等式对t

微分,得到n

个恒等式定理3.3

如果函数组

在区间(a,b)上线性相关,则在(a,b)上它们的Wronskian行列式恒等于零,即.14上述n个恒等式所组成的方程组是关于的齐次方程组,它的系数行列式就是Wronskian行列式,由线性代数的知识知,要使方程组存在非零解,则必有15如果函数组的某点处不等于0,

即,

推论3.1Wronskian行列式在区间（a,b）上则该函数组在区间上线性无关。定理3.3

如果函数组

在区间(a,b)上线性相关,则在(a,b)上它们的Wronskian行列式恒等于零,即.16显然对所有的t,恒有但在上线性无关.事实上,假设存在恒等式则当时,有当时,有故在上线性无关.注:定理3.3的逆定理不一定成立.例17定理3.4

若函数组

是齐线性方程在区间（a,b）上的n个线性无关的解,则它们的Wronskian

行列式在该区间上任何点都不为零.证明:用反证法假设有使得18其系数行列式故它有非零解现以这组解构造函数由定理3.2知,是齐线性方程的解.考虑关于的齐次线性代数方程组19即这个解满足初始条件又也是齐线性方程满足初始条件的解,由解的惟一性知,由不全为零,知矛盾,从而定理得证.20则该解组在（a,b）上线性相关.使得它的Wronskian

行列式在区间（a,b）上的n个解。如果存在

推论3.2：设是方程(3.2.2)推论3.3:

方程（3.2.2）的n个解

在其定义区间（a,b）上线性无关的充要条件存在一点

使得

是在该区间上21定理3.5

n阶齐次线性方程（3.2.2）一定存在n个线性无关的解.

线性无关解组,基本解组及通解的关系?证明:由定理3.1知,方程满足初始条件的解一定存在,因为所以这n个解一定线性无关,故定理得证.22定理3.6

如果是n阶齐次方程（3.2.2）的n个线性无关的解。即方程（3.2.2）的任一解

都可以表示成证明:设是方程(3.2.2)的任一解,并且满足条件则它一定是该方程的基本解组，23考虑方程组由于它的系数行列式是方程的n个线性无关解的Wronskian

行列式在处的值,故它不为零.因而上面的方程组有惟一解现以这组解构造函数由解的叠加原理和惟一性定理得即24定理3.7(通解结构定理)若是方程（3.2.2）的n个线性无关的解，则方程的通解可以表示成其中

是任意常数

.25定理3.8是方程（3.2.2）的n个解，

设

(等价命题)(1)方程（3.2.2）的通解为

(2)是方程的基本解组.

(3)在(a,b)上线性无关.

(4)存在使(5)任给有26定理3.9(刘维尔公式)注1：在内有一点为零，则在整个上恒为零.设是（3.2.2）的任意n个解，

是它的Wronskian行列式，则对(a,b)上任意都有

一点，上述公式我们称为刘维尔(Liouville)公式.27注2：对二阶微分方程

若

是方程的一个解，则可得通解.设是与不同的解，则由刘维尔公式推得用乘以上式两端可得

由此得

28取,则为另一个解，因为所以与线性无关.29例5

求方程的通解.

解：易知为一特解，所以

30三、非齐次线性方程解的结构定理3.10n阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与它所对应的齐次方程的通解之和.

31证明:设是方程（3.2.10)的一个特解，是方程（3.2.2)的通解。是方程（3.2.10)的解。首先我们证明所以是方程（3.2.10)的解。即事实上(3.2.10)32是非齐方程的通解。其次证即证对于非齐方程的任意一解总可以表示为其中是由中的任意常数取某一特定的值而得到的。所以是齐次方程的解，于是事实上，因为可由中的任意常数取某一特定的值而得到。其中33定理

3.11设与分别是非齐次线性方程和则是方程

的解。的解,证明：34常数变易法求特解是齐线性方程的设

n个线性无关的解，因而齐线性方程的通解为(3.2.11)为求非齐线性方程的一个特解,将(3.2.11)

中的常数看成关于t

的函数,此时(3.2.11)

式变为(3.2.12)将(3.2.12)代入齐线性方程得到一个所满足的关系式.(3.2.10)(3.2.2)35我们还需要另外n-1个条件来求出在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便,我们按下面的方法来给出这n-1个条件.对(3.2.12)

式两边对t

求导得令得到(3.2.12)36对上式两边继续对t

求导,重复上述做法,令继续上述做法,直到获得第n-1个条件令37最后,将上式两边对t

求导得将上面得到的代入(3.2.10),

得到由n

个未知函数所满足的方程组:(3.2.10)38该方程组的系数行列式