第节全微分方程

第五节全微分方程

一、全微分方程

二、全微分方程的判定

三、全微分方程求解

四、积分因子华南理工大学数学科学学院

杨立洪博士一、全微分方程

一阶微分方程可以等价地写成：（1）如果存在二元函数，使得（2）则方程（1）称为全微分方程；这时，方程（1）便等价于于是（3）是方程（1）的隐式通解，其中c为任意常数例求的通解。是全微分方程，其通解为：二、全微分方程的判定怎样判断方程（1）是否为全微分方程？定理：若在单连通区域G内具有一阶连续偏导数，则方程（1）为全微分方程的充要条件是：在区域G内，有（4）且当条件（4）满足时，有：的一个原函数是：恒成立，(5)三、全微分方程求解

提出问题：则方程（1）是全微分方程，

是它的隐式通解，其中，呢？那么如何求设方程（1）满足条件：方法一：与起点、终点有关，而与路径无关这一性质，“直角形折线”，取积分路径为得：或（曲线积分法）利用原函数的积分仅方法二：又则由得即再由得由上式解得，再积分得从而可求得为所求，（不定积分法）设把方程（1）分成若干组，每组求得原函数，来，从而求得再利用微分法则将每个小组的原函数组合起方法三：（分项组合凑微分法），四、例题（I）先讲求解全微分方程的例题。例1

解方程解一（曲线积分法）在整个平面上，P、Q具有一阶连续偏导数，且在整个平面上恒成立，这里，,于是所以，原方程的通解为：因此，所给方程是全微分方程解二（不定积分法）,即此方程是全微分方程（判断同解一）所以，原方程的通解为：（不妨设）解三：（分项组合凑微分法）为所求通解。原方程可化为：例2

解方程解一（曲线积分法）且在全平面上成立，故该方程是全微分方程。所以，原方程的通解为：∴原方程的通解为解二（分项组合微分法）把原方程逐步化为五、积分因子对于方程如果则它不是全微分方程，但可能存在使（6）成为全微分方程，则称为积分因子。熟记下列常见的全微分式子将有助于求得积一般，积分因子是不容易求得的。

分因子：例：方程不是全微分方程，乘上其中任何一个积分因子后，都能求得都是它的积分因子，但通解：六、例题（II）下面介绍利用积分因子求解微分方程的例题。例3

解方程解：

所以，这不是全微分方程。将原方程化为：取，在方程两端乘上后，得

即故原方程通解为：即七、小结本节主要内容：

1．全微分方程的判定与求解（三种方法）。

2．常见全微分与常见积分因子。

八、重点1．全微分方程的三种解法。

2．常见积分因子。

九、难点

利用积分因子求解一阶微分方程。十、主要题型

1．全微分方程的求解。2．用积分因子法求方程的解。十一、建议学习方法

1．一题多解，掌握全微分方程的三种解法。2．特别记住的积分因子。十二、学习辅导

1．一阶微分方程的总结。

①一阶微分方程一般形式：

或②四种特殊题型：a.

可分离变量方程b.

齐次方程

c.

一阶线性方程贝努利方程d.

全微分方程且满足③解法：初等积分法。解题分析过程：是否一阶方程→是否可分离变量方程→是否齐次方程→是否一阶线性方程→是否全微分方程→若都不是，找适当的变换或积分因子，化为上述四种类型。我们讨论的一阶微分方程的解法，是针对方程的类型来展开的，所以类型与解法之间存在着一种对应。只要辨别出方程的类型，也就有了相应的解法。

十三、课堂练习

1．解方程2．解方程十四、课堂练习题解

1．解：

在整个平面上成立，故这是一个全微分方程。由于通解为：2．解：这不是全微分方程，原方程化为考虑到的四个积分因子适合本题的积分因子应是故取即通解为所以十五、自测题

1．解方程

2．解方程

3．解方程

4．解方程

5．试用多种方法解方程

十六、自测题解

1．解法一（曲线积分法）：在

内成立，故这是全微分方程。

通解为：解法二（凑微分法）

通解为2．解：

所以这不是全微分方程。原方程化为取，两端乘以得：，即通解为：3．解：

原方程是全微分方程通解为：4．解：将方程重新组合即取积