第二章热传导方程

第二章热传导方程第一节热传导方程的导出和定解条件一、热传导方程的导出：给定一空间内物体，设其上的点在时刻的温度为。问题的数学提法：（建立直角坐标系）问题：研究温度的运动规律。在三维空间中，考虑一物体，假定它内部有热源，并且与周围介质有热交换，研究物体内部温度的分布和变化。（例如：水坝坝体内温度的变化、公路地基内温度的变化）物理问题：分析：（两个物理定律）

1、热量守恒定律:2、傅里叶（Fourier）热传导定律:单位时间内，流出单位面积区域的热量与成正比，即温度变化吸收的热量通过边界流入的热量热源放出的热量为热传导系数，“-”表示热量是从温度高处向温度低处流。任取物体内一个由光滑闭曲面所围成的区域，研究物体在该区域内热量变化规律。热传导方程的推导：热量守恒定律区域内各点的温度从时刻的温度改变为时刻的温度所吸收（或放出）的热量，应等于从时刻到时刻这段时间内通过曲面流入（或流出）内的热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即

内温度变化所需要的热量=通过曲面流入内的热量+热源提供的热量下面分别计算这些热量

（1）内温度变化所需要的能量那么包含点的体积微元的温度从变为所需要的热量为设物体的比热（单位质量的物体温度改变所需要的热量）为密度为

整个内温度变化所需要的能量

（2）通过曲面进入内的热量由傅里叶热传导定律，从到这段时间内通过进入内的热量为由高斯公式知

（3）热源提供的热量用表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从到这段时间内内热源所提供的热量为由热量守恒定律得：由及的任意性知三维无热源热传导方程：三维有热源的热传导方程：（均匀且各向同性物体，即都为常数的物体）其中称为非齐次项（非自由项）。通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6）为齐次热传导方程。二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：边界条件：1、第一边界条件（

Dirichlet

边界条件）特别地：时，物体表面保持恒温。2、第二边界条件（Neumann

边界条件）特别地：时，表示物体绝热。3、第三边界条件(D-N混合边界条件

)其中：

表示沿边界上的单位外法线方向的方向导数注：注意第三边界条件的推导：研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题把一个温度变化规律为的物体放入空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度为，它与物体表面的温度并不相同。这给出了第三边界条件的提法。热传导试验定律或牛顿定律从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：其中比例常数称为热交换系数流过物体表面的流量可以从物质内部（傅里叶定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：或即得到（1.10）：三、定解问题定义1

在区域上，由方程（1.5）、初始条件（1.7）组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。例如三维热传导方程的初值问题为：定义2

在区域上，由方程（1.5）和初始条件（1.7）和边界条件（1.9）、（1.10）、（1.11）中的其中之一组成的定解问题称为初边值问题或混合问题。例如三维热传导方程的第一初边值问题为：2、上述界条件形式上与波动方程的边界条件一样，但表示的物理意义不一样；3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方程有两个初始条件。1、方程（1.6）不仅仅描述热传导现象，也可以刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程(推导略）注4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方程：而对于薄片的热传导，可得二维热传导方程：第二节初边值问题的分离变量法考虑一维热传导方程的初边值问题不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题和上述定解问题可分解为下面两个混合问题：则（II）的解为:问题（I）的通解形式为：其中由下面给出：考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题（I）：问题（II）的解：其中非齐次方程混合问题的解：定理2.1：则由公式(2.14)给出的级数是混合问题(2.1)-(2.4)的古典解。设齐次方程、齐次边界条件的混合问题的解为：►

当为有界函数时，(2.14)

式给出的形式解关于以及均是任意次连续可导的，且满足方程(2.1)和边界条件

(2.3)-

(2.4)

。分离变量法的解题步骤：1、令代入方程和边界条件，确定所满足的常微分方程的特征值问题以及所满足的方程；2、解常微分方程的特征值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应的表达式；3、将所有变量分离形式的解叠加起来，利用初值定出所有待定常数；4、证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论。注：1、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是至关重要的，关键是构造辅助函数；2、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将其转化为齐次化方程来求解，但也可以直接求解。（1）、将变量分离形式代入相应的齐次方程和其次边界条件，得到相应的特征值问题，并求出全部特征值和特征函数

；（2）、将，方程的非齐次项，以及初值都按照特征函数进行

Fourier

展开；————————————————————————其中:（3）、解初值问题解为：非齐次方程混合问题的解：第三节初值问题—Cauchy

问题考虑一维热传导方程的初值问题注意：第一章中波动方程初值问题的求解方法：先化简方程，再用特征线法法求解，但特征线法不适用于目前的问题，下面介绍一种更一般的方法，叫傅里叶（Fourier）变换法。傅里叶变换法同样可以用来求解弦振动方程的初值问题。傅里叶变换是一种可逆的线性的变换，它的主要特点是:可以将求导运算化为乘法运算，对问题（3.1）（3.2）做傅里叶变换后就变为常微分方程的初值问题。

本节系统地介绍Fourier变换的定义、运算性质及其应用。Fourier变换是求解热传导方程的主要求解工具。一、傅里叶（Fourier）变换的定义及其基本性质称之为傅里叶逆变换:记为:记号:上全体绝对可积函数构成的集合给定一函数定义变换的傅里叶变换，记为即定理3.1：（Fourier积分定理）若在上绝对可积且连续可微，则有:简记为:公式（3.5）称为Fourier反演公式。证明略性质1、（线性性质）性质2、（微商性质）如果性质3、（乘多项式性质）证明：直接用定义即可。那么性质4、（卷积性质）若则定义的卷积为如果则且性质5、（乘积性质）如果那么证明：这等价于证明事实上1)、（位移性质）2)、（相似性质）3)、（对称性质）补充性质：例3、设

例2、设

例1、设

注、高维傅里叶（Fourier）变换称之为傅里叶逆变换:记为:给定一多元函数定义变换的傅里叶变换，记为注：高维傅里叶变换的性质与一维相似二、热传导方程柯西问题的解考虑齐次热传导方程的初值问题解为:解：采用Fourier变换法求解注：从（3.17）可知热传导方程解有明显的性质：无限传播性，即假设初值只在一小段上不为零，不妨设，则当后，杆上任一点处的温度为正。也就是说，顷刻之间，热量就传到杆上任一点。这一点，与波动方程有本质的区别。对非齐次热传导方程的齐次初始条件问题解为:这可以使用齐次化原理来获得：由齐次化原理知（3.18）（3.19）的解可写为其中为下述问题的解：同于初值问题（3.14）-（3.15）的Fourier变换法求解公式（3.17）可得下述初值问题的解为令则由（3.19）（3.22）可得（3.18）（3.19）的解为公式（3.23）：结论：对非齐次热传导方程的非齐次初始条件的初值问题解为:注：也可以对非齐次热传导方程的非齐次初始条件的初值问题直接使用Fourier变换法求解，留作习题。定理3.2：函数是柯西问题(3.14)-(3.15)的有界解。设且有界，则由(3.17)

式给出的知识回顾注：同样可以使用Fourier变换法求解一维齐次弦振动方程的初值问题：其解为:注：同样可以使用Fourier变换法求解高维热传导方程的初值问题：其解为:例：试求下述定解问题的有界解解为:解:变量变换和Fourier变换法第四节极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性一、极值原理讨论的是方程的解的最大值和最小值的分布位置从实际问题中看极值原理：设有一物体，内部没有热源，则该物体的温度的最大值和最小值必在初始时刻或在该物体的边界上取到。

可以设想：一块0℃的冰，放在0℃到10℃的空气中，这块冰内部的温度，永远不会超过10℃，也不会低于0℃。

其原因是：热量总是从温度高的地方流向温度低的地方。因此，温度高的点有温度降低的趋势，温度低的点有温度升高的趋势（如果没有热量流入）。

是物体的温度,且设为物体占据的空间区域，极值原理的数学表述：

则其中,称为的抛物型边界。满足记定理4.1（（弱）极值原理）：设且则注：表示吸热，因此不会使内部温度升高。

证明：因为是有界闭集，而故在上的最大值存在。下面分两种情况来证明最大值必在抛物型边界上取到。令情形1：此时，不能在内取最大值。否则，存在，使得则

从而：于是：这就得出矛盾。所以但由假设：在中的最大值只能在内取到，从而而情形2：此时，通过适当的函数变换，可以化为情形1,任意的，令对用情形1的结论，就有则且所以，令就得到注：上面证明中，所用的函数称为辅助函数，这一证明方法称为辅助函数法，它是偏微分方程理论中经常使用的一种技巧。

另一方面，因为总有所以，证毕。注：还可以进一步证明，如果的最大值在中的某点取到，则在中必恒等于常数。这个结论比定理4.1要强，因此定理4.1称为弱极值原理。推论4.1：设且如果则在上的最小值必在抛物边界上取到，则在上的最大值与最小值都必在抛物边界上取到。证明：做变换，则且由定理4.1得即即而因此，推论4.1第一部分结论成立，再结合定理4.1，就得出推论4.1的第二部分结论。所以于是证毕证明：

令推论4.2：（比较原理）所以，设且则则由定理4.1得即，证毕。注：同于推论4.2的证明，易证下述结论，即设且则让是的抛物边界。注1：若换为，相应的极值原理及其推论同样成立，即注2：一般来说，热传导方程和位势方程都有相应的极值原理，而波动方程没有极值原理。考虑一维非齐次热传导方程定理4.1*：在上的最大值必在边界上达到，即设在矩形上连续，并且在内部满足方程(4.1)。又设，则表示矩形的两个侧边和底边所组成的边界曲线，称为抛物边界例（最大值原理的应用）设满足求在的最大值和最小值。解：推论4.3：（解的最大模估计）设是初值问题（4.3）的古典解，则证明：通过构造适当的辅助函数与问题的解作比较，再用比较原理得出结论。如果，定理自然成立。所以我们只需考虑的情况。考虑一维热传导方程的第一初边值问题二、初边值问题解的唯一性与稳定性首先，使用极值原理获得解的最大模估计从而所以满足要求，且取找,使得：则由比较原理，得且则推论4.4：初边值问题（4.3）的在的解，连续依赖于即，若为（4.3）在中分别对应于非齐次项初值和边值和及和，则证明：令再应用推论4.3的最大模估计即可。推论4.5

边值问题（4.3）在的解是唯一的。证明：直接由推论4.4得出。定理4.2：初边值问题（4.3）在区域上的古典解是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上所给的初始条件和边界条件。注：若解在方程中出现的所有偏导数都连续，则称这种解为古典解。化合推论4.3和推论4.4得：考虑一维热传导方程的混合初边值问题定理4.3：设是初边值问题（4.4）的古典解，则正常数，在上满足如果在上，有那么由定理4.3可得推论4.6：初边值问题（4.4）在区域上的古典解是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上所给的初始条件和边界条件。对于混合初边值问题定理4.3

仍然成立。考虑一维热传导方程的初值问题三、初边值问题解的唯一性与稳定性定理4.4：初值问题（4.10）在有界函数类中的古典解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件。为了证明此定理，我们先建立最大模估计。记命题4.1：证明思路：因为是无解区域，不好直接证明，我们先在的有界子区域中证明有关估计，再让该子区域趋向于得出所要求的估计。设是问题(4.10)的有界解，则证明：记

另外，由题设是有界的，所以也有若或命题4.1自然成立。所以可设我们要证明：（*）记对成立：若（*）成立，则对当时，从而由（*）得：在上式中令得：因为是中任意一点，所以因此，只要证明了（*）式，命题4.1就得证。下面我们来证明（*）式。令则显然且由弱极值原理，得：所以，即（*）式成立。命题4.1证毕。于是，推论4.7：初值问题(4.10)

在注：初值问题(4.10)在中的解并不是唯一的！其原因是：在无穷远“边界”上，

(4.10)对解没有限制，即对的值没有限制。如果要求：存在正常数与使得则可以证明，这样的解是唯一的。中的有界解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件。证明：假设(4.10)在中有两个有界解，对这两个解差应用命题4.1的最大模估计，得出这两个解的差在中恒等于零。而且由最大模估计易得解连续依赖于所给的初始条件。第五节解的渐近性态考虑一维热传导方程的初边值问题一、初边值问题解的渐近性态定理5.1：则，问题(5.1)的唯一古典解指数衰减趋于零，设初始函数证明：由极值原理和分离变量法知，（5.1）的唯一古典解为其中由下面给出：由（5.2）可知，对一切，有由的定义知当时，，故有另一方面，由指数函数的性质知，当时，对一切成立时，对于于是当有即考虑一维热传导方程的初值问题二、Cauchy

问题解的渐近性态定理5.2：柯西问题(5.7)的唯一古典解具有如下性质，设初始函数是有界连续函数且则证明：当是有界函数时，由Fourier变换法初值问题（5.7）的唯一经典解为于是注：对于二维和三维热传导方程的柯西问题，同理可证它们的解具有和的衰减速率。一般地，n维空间热传导方程的柯西问题的解具有衰减速率。第四节极值原理、定解问题解考虑一维非齐次热传导方程