第二单元第10讲指数指数函数与幂函数

第10讲指数、指数函数与幂函数11.(1)化简:(2

)0+2-2·(2

)

-(0.01)0.5=

.(2)

=

.333===.(1)(2)0+2-2·(2)-(0.01)0.5=1+()-()=1+-=.(2)=333332(-∞,-2)2.(2010·北京海淀模拟)函数f(x)=a-2x的图象经过原点，则不等式f(x)>的解集是

.由f(x)的图象经过原点知a=1，所以f(x)=1-2x>2x<x<-2.3设f(x)=xn过点（-2，-）,得(-2)n=-

n=-3f(x)=x-3=27x=.3.(2010·江苏无锡期末）幂函数y=f(x)的图象经过点（-2，-18)，则满足f(x)=27的x的值是

.44.设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则()A.y3>y2>y1B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2D幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，不同底先化成同底.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=()-1.5=21.5.又因为y=2x在R上是单调增函数，1.8>1.5>1.44,所以y1>y3>y2.5函数f(x)要在R上是增函数

2-a>0

a>1

a≥2-a+15.（2010·江西模拟)已知f(x)=(2-a)x+1(x<1)

ax(x≥1),且f(x)是R上的增函数,那么a的取值范围是()AA.[,2)B.(1,)C.(1,2)D.(1,+∞)≤a<2.6题型一指数函数的性质例1求下列函数的定义域、值域并判断单调性.

(1)y=()6+x-2x2;

(2)y=()-|x|.7因为二次函数u=6+x-2x2=-2(x-)2+,所以函数的值域为{y|y≥()}.又因为二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,在［,+∞）上u=6+x-2x2是减函数，在(-∞,］上是增函数，又函数y=()u是减函数，所以y=()6+x-2x2在［,+∞)上是增函数，在(-∞,］上是减函数.利用换元法，化为基本函数求解.(1)函数的定义域为R.令u=6+x-2x2,则y=()u.8(2)定义域为x∈R.因为|x|≥0，所以y=()-|x|=()|x|≥()0=1.故y=()-|x|的值域为{y|y≥１}.又因为y=()-|x|是偶函数，()x(x>0)()x(x<0),所以函数y=()-|x|在(-∞,0］上是减函数，在［0,+∞)上是增函数.(此题可借助图象思考)且y=()-|x|=9合函数的值域可采用换元法，结合中间变量的范围求函数的值域；复合函数y=f(x)的单调性要根据y=au,u=f(x)两函数在相应区间上的单调性确定，遵循“同增异减”的规律.10题型二幂函数的性质例2已知幂函数f(x)=xm2-m-2(m∈Z)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数,求函数f(x)的解析式,并讨论

g(x)=a-(x(a、b∈R)的奇偶性.利用幂函数的定义和性质求解析式，根据奇偶性的定义判断奇偶性.11由题意可知,m2-m-2是偶数,且m2-m-2<0,即-1<m<2.又因为m∈Z,所以m=0,1.此时m2-m-2=-2,故f(x)=x-2.于是g(x)=-bx,g(-x)=+bx.当a≠0且b≠0时,g(x)为非奇非偶函数；当a＝0且b≠0时,g(x)为奇函数；当a≠0且b＝0时,g(x)为偶函数；当a＝0且b＝0时,g(x)既为奇函数又为偶函数.12题型三幂、指数函数的综合问题例3

(1)若直线y=2a与y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a∈

；(2)已知f(x)=(+)x，x≠0，若f(x)>0在定义域内恒成立,则a的取值范围为

.(1,+∞)0<a<13（1）数形结合法.当a>1时，作图知无解；当0<a<1时,作图知0<2a<10<a<.（2）f(x)=>0x(ax-1)>0.当x>0时,ax-1>0ax>a0,又x>0,所以a>1；当x<0时,ax-1<0ax<a0,又x<0,所以a>1.综上，a的取值范围为(1,+∞).14(2009·北京丰台区期末）已知函数f(x)=3x，f(a+2)=18，g(x)=λ·3ax-4x的定义域为[0,1].（1）求a的值；（2）若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围.15

(方法一)(1)由已知得3a+2=183a=2a=log32.（2）此时g(x)=λ·2x-4x.设0≤x1<x2≤1，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以g(x1)-g(x2)=(2x1-2x2)(λ-2x2-2x1)>0恒成立，即λ<2x2+2x1恒成立.由于2x2+2x1>20+20=2，所以实数λ的取值范围是(-∞,2].16(方法二)(1)由已知得3a+2=183a=2a=log32.（2）此时，g(x)=λ·2x-4x.因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以g′(x)=λln2·2x-ln4·4x=ln2[-2·(2x)2+λ·2x]≤0成立.设2x=u∈[1,2],上式成立等价于-2u2+λu≤0恒成立.因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，所以实数λ的取值范围是(-∞,2].171.分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算.在运算过程中，要贯彻先化简后计算的原则，并且注意运算的顺序.2.指数函数y=ax的底数须满足条件a>0且a≠１，研究几个指数函数尽量化为同底.183.指数函数的性质主要是单调性,比较大小是单调性的一个重要应用，比较时注意底数与１的大小分类讨论.(1)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性来比较；(2)若底数、指数均不相同，则可引入中间量或画图象来比较.4.利用指数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考题型,应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用.19学例1(2009·山东卷)函数y=的图象大致为（）A20要使函数有意义，需使ex-e-x≠0，其定义域为｛x|x≠0｝,排除C、D.又因为y===,所以当x>0时，函数为减函数，故选A.21学例2