伯努利方程的应用实际液体的流动

关于理想流体的几个概念(perfectfluid)

1.理想流体

理想流体绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。2.定常流动一般情况下,同一时刻流体各处的流速不同,但有些场合,

流体质点流经空间任一给定点的速度是确定的，且不随时间变化，称为定常流动。例如,沿着管道或渠道缓慢流动的水流,在一段不长的时间内可以认为是定常流动。1

3.流线

为了形象地描述流体的运动,在流体中画一系列曲线,每一点的切线方向与流经该点流体质点的速度方向相同,称为流线。定常流动中的流线

·不随时间变化；

·质点的运动轨迹；

·任何两条流线不相交。4.流管

流线围成的管状区域。········2理想流体的连续性方程(theequationofcontinuity)

v1v2S1S2对于不可压缩流体S1

v1=S2

v2

或

Sv=恒量

上式称为理想流体的连续性方程。在方程两边同乘以流体密度

,即

Sv

=恒量

上式是一般流体的连续性方程。3伯努利(Bernoulli)方程

v1v2S1S2S1′′S2h2h1

恒量上面两式都称为伯努利方程,它们描述了理想流体作定常流动时的基本规律。4例1、有流量为0.12m3/s的水流过如图所示的管子。A点的压强为2×105N/m2,A点的截面积为100cm2,B点截面积为60cm2。假设水的内摩擦可以忽略不计，求A、B点的流速和B点的压强。解：由连续性方程，得

SA

vA=SB

vB=Q得vA=

？

vB=？由伯努利(Bernoulli)方程

得PB=?5hABQo它由两个同轴细管组成,内管的开口在正前方。外管的开口在管壁上,如图中B所示。两管分别与U型管的两臂相连,在U型管中盛有液体(如水银),构成了一个压强计,由U型管两臂的液面高度差h确定气体的流速。例1：皮托管是测定流体流速的仪器,常用来测定气体的流速。练习题6

解：在A处气流速率为零,在流线OA上运用伯努利方程,得到对于流线QB点O和点Q非常接近,可认为各量相等。又因皮托管一般都很细,点A与点B的高度相差很小,hA=hB

。考虑到这些条件,得vB

是待测气流的流速。7如果压强计中液体的密度为

,则

比较上面两式得所以

这样，就可以由压强计两液面的高度差h,计算出待测气流速率。8例2：求水从容器壁小孔中流出时的速率。

解：水从小孔中流出时的流速可以根据伯努利方程求解。设水面距离小孔的高度为h，ABC为一条流线(见图)。A和B分别是这条流线在水面和小孔处的两点,在这条流线上运用伯努利方程,得其中水面上点A和孔口处点B都与大气接触,所以那里的压强都等于大气压p0

。ABC9取小孔处的高度为零，则hA=h。容器的横截面比小孔的截面大得多,根据连续性方程,vA<<vB,故认为vA=0。将以上条件代入上式,即可求得小孔处的流速为

可见,小孔处水的流速，与物体从h处自由下落到小孔处的速率是相同的。103.粘滞流体在半径为R的水平流管中流动，流量为Q，如在半径为R/4的水平流管中流动，其流量为_____________。4.如图所示，在大水桶侧面开一小孔，要使流出液体的射程L最大，其孔的高度h应开在______处。LHh115.伯努力方程的适用条件是()

6.

注射器活塞面积为1.2cm2，注射用针头截面积为1mm2，当注射器水平放置时用4.9N的力推动活塞，使活塞移动了4cm，问水从注射器中流出所需的时间为多少？7.课本第38页,全部掌握.1213一、流体的黏性(viscosityoffluid)黏性作相对运动的两层流体之间的接触面上,存在一对阻碍两流体层相对运动的大小相等而方向相反的摩擦力,这种摩擦力称为流体的黏力,或内摩擦力。由于黏性的存在,管道中流动的流体出现了分层流动,各层只作相对滑动而彼此不相混合,这种现象称为层流。图示为充满两个平行板之间的流体的流动。两板之间各流体层的速率梯度的大小为，在此处是常量。yzvo黏性流体的运动14一般情况下,速率梯度的大小不是常量,z0

处速率梯度的大小为实验表明,流体内部相邻两流体层间黏力的大小正比于接触面积,正比于该处速率梯度的大小，即的方向如图中的箭头。比例系数

称为流体的黏度,是流体黏性的量度，与温度有密切关系。yzoz015表1几种流体的黏度

流体温度/℃黏度

/(10-3Pa

s)

酒精甘油水银氧氮氦

202020152323

168301.550.01960.01770.0196表2水的黏度随温度的变化

温度/℃

020406080100

/(10-3Pa

s)

1.7921.00500.65600.46880.35650.283816气体

空气

二氧化碳氢气

温度/℃

020671020302

-120251

/(10-6Pa

s)1818.1421414.8278.38.813表3几种气体的黏度随温度的变化

影响液体和气体流动性的因素是不同的。在国际单位制中黏度的单位是Pa

s(帕

秒)。黏度也常用P(泊)作单位1P=0.1Pa

s17二、黏性流体的运动规律黏性流体作稳定流动时所遵从的规律。

如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作定常流动

或18

可见，由于黏力的存在,要流体在管道中作定常流动,须保证管道两端的压强差(p1

p2)

或保证管道两端的高度差(h1

h2)

或者两者兼而有之。19*三、泊肃叶定律(Poiseuille’slaw)黏性流体在水平放置的圆形截面的管道中作层流时,算得流量为

l和r分别是管道的长度和半径。上式称为泊肃叶定律。流阻如果令,那么上式可写成:20*四、湍流和雷诺数(Turbulentflow)

湍流流体中沿垂直于管轴方向的速度分量的不规则流动。实验表明，发生湍流的临界流速与雷诺数Re相对应。雷诺数21由层流过渡到湍流的雷诺数，称为临界雷诺数Rec

。圆形管道的临界雷诺数Rec在1000~1500的范围内。

当流速的值使雷诺数Re处于临界值Rec时，此时的流速就是临界流速，大小为如果流速从低于vc增大到高于vc，那么流动将会从层流转变为湍流。22*五、斯托克斯黏性公式

(Stokes’viscosityresistanceformula)当固体物在黏性流体中作相对运动时，将受到流体的阻力作用。

斯托克斯黏性公式固