常微分方程33线性常系数齐次方程

3.3线性齐次常系数方程在上一节中我们讨论了线性方程通解的结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出，对一般的线性方程没有普遍的解法，但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程，可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数齐次方程通解的解法。1一

复值函数

如果

和是区间(a,b)上定义的称为该区间上(a,b)实函数，的复值函数

.

1

连续

如果实函数

和在区间(a,b)上就称在区间上(a,b)上连续.连续,2可微

如果实函数

和在区间(a,b)上就称在区间上(a,b)上可微.可微,且复值函数

的导数定义如下:

2性质1:性质2:性质3:那么有如下性质:若和可微,为复值常数，3

3欧拉公式

1)

复指函数与欧拉公式其中42)

复指函数的性质记表示的共轭.性质1:性质2:性质3:5

4复值解

考虑方程

其中及是区间上的实函数.若有区间（a,b）上复值函数:为上述方程的复值解.满足上述方程，则称6定理3.12

如果方程中所有系数都是实值函数.而是该方程的复值解,以及则的实部和虚部的共轭也都是该方程的解.(3.3.4)7证明：由已知条件及的性质可得由此得所以，都是方程（3.3.4）的解即也是方程（3.3.4）的解.因为可得又(3.3.4)8二

常系数齐次线性方程

（3.3.5）（其中为常数）为n阶常系数齐次线性方程.为求得该方程的通解，我们先利用待定指数函数法求其基本解组.一阶常系数齐次线性微分方程有通解9因此，对方程（3.3.5）求指数函数形式的解（3.3.6）把（3.3.6）代入方程（3.3.5）得成为方程（3.3.5）解的充要条件为：（3.3.5）方程（3.3.7）称为方程（3.3.5）的特征方程，它的根称为方程（3.3.5）的特征根.（3.3.7）101特征根为单根

设是（3.3.7）的n个不相同根，则对应方程（3.3.5）有n个解（3.3.8）（3.3.5）（3.3.7）这n个解在区间a<t<b上线性无关，从而组成方程（3.3.5）的基本组解.11所以解组（3.3.8）线性无关.（3.3.8）12（1）若均为实数，则（3.3.8）是方程（3.3.5）的n个线性无关的实值解，（3.3.5）（3.3.8）其中为任意常数.则方程（3.3.5）的通解为13（2）若中有复数，则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭出现.设是特征根，则也是特征根，则方程相应地有两个复值解：由定理3.12知它们的实部和虚部也是方程的解，故方程的两个实值解为：142特征根有重根

设特征方程有k重根

,则有，因此，若（1）则特征方程有因子则特征方程有形式：

而对应的齐线性方程为：

特征方程的k重零根对应齐线性方程k个线性无关解为

15（2）若,作变换,代入方程：（3.3.9）（3.3.10）（3.3.5）特征方程：（3.3.11）（3.3.7）（3.3.12）的k重根对应着k重零根.对应着方程的个解16类似地，假设方程（3.3.7）的其他根的重数依次为而且则方程（3.3.5）相应有解（3.3.13）（3.3.5）（3.3.7）需要证明（3.3.12）,（3.3.13）构成方程（3.3.5）的基本解组，即证明这些函数线性无关.17求常系数齐线性方程方程的通解的一般步骤：第一步

求方程的特征方程及特征根

第二步计算方程相应的解

a)对每一个单实根

有解b)对每一个m>1重实根

方程有m个解c)对每一个重数为1的共轭复根

方程有2个解：d)对每一个重数m>1的共轭复根……

第三步根据第二步写出基本解组和通解18解：特征方程

故特征根为

例1：求的通解.其中是单根，是二重根，因此有解方程通解为：其中为任意常数.19例2：求的通解.解：特征方程

故特征根为

上述两实根和两复根均是单根，方程通解为：其中为任意常数.20例3：求的通解.解：特征方程

故特征根为

其中为任意常数.方程通解为：其中是单根，是三重根，21例

4：求的通解

方程的四个实值解为：故通解为

解：特征方程

特征根

是二重根.其中为任意常数.22三某些变系数线性齐次微分方程的解法1化为常系数法

欧拉方程

这里为常数.令

将欧拉方程化为常系数 齐次微分方程.特点：的k阶导数的系数是t的k次方的常数倍.23例5

：求

解：令，则,代入原方程得:

方程的通解为:

为任意常数.故原方程的通解为：

其中24考虑二阶变系数方程

化为常系数方程.这里a(t

)是待定的函数.（3.3.17）的系数和

满足什么条件，可经线性变换

（3.3.18）将（3.3.18）代入（3.3.17）得:（3.3.19）如果为常数,……取代入（3.3.19）整理得

（3.3.20）25解：

因为故令

例6：求的通解

故原方程的通解为：

将原方程化为常系数方程：通解为：

262

降阶法对n阶线性齐次微分方程(3.3.22)若能找到k个线性无关解(k<n),则可选择适当的变换,使n阶齐次方程降低k阶，化为n-k阶方程，且保持线性和齐次性．设是齐次方程的一个非零解，作线性变换代入(3.3.22)，则可得：再令……27例7：求