专题14 反比例函数性质综合（解析版）

专题14反比例函数性质综合1．对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（）A．图象经过点（1，﹣5）B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＞0时，y随x的增大而增大【答案】C【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：反比例函数y＝﹣，A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2.（2022·湖南邵阳）如图是反比例函数y=的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由反比例函数的几何意义可知，k=1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是．【详解】解：设A（x，y）则OB=x，AB=y，∵A为反比例函数y=图象上一点，∴xy=1，∴S△ABO=AB•OB=xy=×1=，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，即k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍，数形结合比较直观．3.（2022·湖北武汉）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．【详解】解：∵点，）是反比例函数的图象时的两点，∴．∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．4．（2022·天津）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：，解得；，解得；，解得；∵-8<2<4，∴，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．5.（2021·四川广安市·中考真题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数中k＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵-3＜0，-1＜0，∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵-3＜-1＜0，∴0＜y1＜y2．∵2＞0，∴点C（2，y3）位于第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故选：A．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．6．（2022·湖南怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】设，由S△BCD=即可求解.【详解】解：设，∵BD⊥y轴∴S△BCD==5，解得：故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．7.（2022·四川德阳）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．8．（2021·浙江金华市·中考真题）已知点在反比例函数的图象上．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的图象与性质解题．【详解】解：反比例函数图象分布在第二、四象限，当时，当时，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．10．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数图像的增减性分析解答．【详解】解：反比例函数经过第一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，∴当时，故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键．11.（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解．【详解】解：设D点坐标为，∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为，∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为，∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，，∴E点坐标为，同理可得C点坐标为，∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为，∵点E为AC的中点，的面积为1，∴，即，可得，，解得，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程．12.（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，∵点B的横坐标为2，∴点A的横坐标为-2，由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，∴当或时，，故选：C．【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键．13.（2021·浙江温州市·中考真题）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．【详解】解：如图，设OD=m，∵∴OC=∵轴于点，轴于点，∴四边形BEOD是矩形∴BD=OE=1∴B(m，1)设反比例函数解析式为，∴k=m×1=m设AC=n∵轴∴A（，n）∴，解得，n=，即AC=∵AC=AE∴AE=在Rt△AEF中，，由勾股定理得，解得，（负值舍去）∴故选：B【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．14.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______．【答案】0【解析】【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴，故答案为：0.【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.15.（2021·甘肃武威市·中考真题）若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”）【答案】【分析】先确定的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，再利用反比例函数的性质可得答案．【详解】解：＞的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，＞＜故答案为：【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握利用反比例函数的图像与性质比较函数值的大小是解题的关键．16.在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____．【答案】-1．【解析】【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．【详解】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，点一定在第三象限，在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，反比例函数的图象经过，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．17．如图，已知点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，的面积是2．则k的值是_________．【答案】4【解析】【分析】根据△OAB的面积等于2即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k值．【详解】解：设点A的坐标为()，，由题意可知：，∴，又点A在反比例函数图像上，故有．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键．18.（2022·湖南株洲）如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________．【答案】3【分析】由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案．【详解】解：轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6，，，故答案为3．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键．19.（2022·浙江湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．【答案】【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案．【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：∵，设，，∴点A为（，0），点B为（0，）；∵四边形ABCD是正方形，∴，，∴，∴，同理可证：，∵，∴≌≌，∴，，∴，∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），∵点C在函数的函数图像上，∴，即；∴，∴经过点D的反比例函数解析式为；故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C和点D的坐标，从而进行解题．20.（2022·安徽）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．【答案】3【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，∴CD∥BE，∵四边形ABCO为平行四边形，∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，∴四边形CDEB为平行四边形，∵CD⊥OA，∴四边形CDEB为矩形，∴CD=BE，∴在Rt△COD和Rt△BAE中，，∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），∴S△OCD=S△ABE，∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=AD，∵反比例函数的图象经过点C，∴S△OCD=S△CAD=，∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=，∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，∴．故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．21.（2022·浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点（0，4），（3，4），将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图象经过点和的中点，则的值是______．【答案】6【分析】作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，设AC=EO=BD=a，表示出四边形ACEO的面积，再根据三角形中位线的性质得出FG，EG，即可表示出四边形HFGO的面积，然后根据k的几何意义得出方程，求出a，可得答案．【详解】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，设AC=EO=BD=a，∴四边形ACEO的面积是4a．∵F是DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG是△EDQ的中位线，∴，，∴四边形HFGO的面积为，∴，解得，∴k=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确的作出辅助线构造矩形是解题的关键．22．（2022·浙江舟山）如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（，）的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则_____．【答案】32【分析】根据求出A点坐标，再代入即可．【详解】∵点B的坐标为∴∵，点C与原点O重合，∴∵与y轴平行，∴A点坐标为∵A在上∴，解得故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质；得出A点坐标是解题关键．23．（2022·四川凉山）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝_______．【答案】6【分析】设点的坐标为，则，先利用三角形的面积公式可得，再将点代入反比例函数的解析式即可得．【详解】解：由题意，设点的坐标为，轴于点，，的面积为3，，解得，将点代入得：，故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数与几何面积，熟练掌握反比例函数的几何应用是解题关键．24.（2022·四川广元）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是_____．【答案】4【分析】过B作于D，设，根据三角形的面积公式求得，进而得到点A的坐标，再求得点C的坐标，结合一次函数的解析式得到列出方程求解．【详解】解：过B作于D，如下图．∵点B在反比例函数的图象上，∴设．∵的面积为6，∴，∴．∵点C是AB的中点，∴．∵点C在反比例函数的图象上，∴，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．25.（2022·湖北随州）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为______．【答案】2【分析】过点C作CH⊥x轴，垂足为H，证明△OAB∽△HAC，再求出点C坐标即可解决问题．【详解】解：如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，∴将y=0代入，得，将x=0代入，得y=1，∴A（，0），B（0，1），∴OA=，OB=1，∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，∴△OAB∽△HAC，∴∵OA=，OB=1，，∴∴AH=，CH=2，∴OH=1，∵点C在第一象限，∴C（1，2），∵点C在上，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标．26.（2020•甘孜州）如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标．【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可求m的值，再将点A坐标代入反比例函数解析式，可求解；（2）联立方程组可求解．【解析】（1）∵一次函数y=1∴m=1∴点A（2，2），∵反比例函数y=k∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为：y=4（2）联立方程组可得：y=1解得：x1=-4y∴点B（﹣4，﹣1）．27.（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=m（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．【分析】（1）把A（3，4）代入y=m（2）根据题意得到B（-b【解析】（1）∵反比例函数y=m∴k＝3×4＝12，∴反比例函数的表达式为y=12（2）∵直线y＝kx+b过点A，∴3k+b＝4，∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，∴B（-b∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，∴12×4×|-bk|＝2∴b＝±2，当b＝2时，k=2当b＝﹣2时，k＝2，∴直线的函数表达式为：y=228.（2022·山东泰安）如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D．(1)求k值；(2)求的面积．【答案】(1)2(2)【分析】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可；（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积．(1)解：根据题意可得，在中，，，，，，，，的中点是B，，；(2)解：当时，，，，．【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．29.（2022·甘肃武威）如图，B，C是反比例函数y=（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．(1)求此反比例函数的表达式；(2)求△BCE的面积．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．(1)解：当y=0时，即x-1=0，∴x=1，即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），∴OA=1=AD，又∵CD=3，∴点C的坐标为（2，3），而点C（2，3）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×3=6，∴反比例函数的图象为y=；(2)解：方程组的正数解为，∴点B的坐标为（3，2），当x=2时，y=2-1=1，∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，∴EC=3-1=2，∴S△BCE=×2×（3-2）=1，答：△BCE的面积为1．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．30.（2022·浙江杭州）设函数，函数（，，b是常数，，）．(1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)，①求函数，的表达式：②当时，比较与的大小（直接写出结果）．(2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．【答案】(1)①，；②(2)1【分析】（1）①把点B(3，1)代入，可得；可得到m=3，再把点，点B(3，1)代入，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解；（2）根据点在函数的图象上，可得，再根据点的平移方式可得点D的坐标为，然后根据点D恰好落在函数的图象上，可得，即可求解．(1)解：①把点B(3，1)代入，得，∴．∵函数的图象过点，∴，∴点B(3，1)代入，得：，解得，∴．②根据题意，画出函数图象，如图∶观察图象得∶当时，函数的图象位于函数的下方，∴．(2)解∶∵点在函数的图象上，∴，∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，∴点D的坐标为，∵点D恰好落在函数的图象上，∴，∴，解得．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键．31.（2022·江苏连云港）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)求的面积．【答案】(1)，(2)【分析】（1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式；（2）令PQ与轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可．(1)将代入，解得，∴反比例函数表达式为．当时，代入，解得，即．将、代入，得，解得．∴一次函数表达式为．(2)设一次函数的图像与轴交点为，将代入，得，即．∵，，，∴．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键．32.（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．（1）求k的值；（2）求直线MN的解析式．【答案】（1）6；（2）【分析】（1）设点A坐标为（m，n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k值；（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出MN的解析式．【详解】解：（1）设点A坐标为（m，n），∵∠ABO=90°，∴B（m，0），又AN=，∴N（m，），∵△AOB的面积为12，∴，即，∵M为OA中点，∴M（，），∵M和N在反比例函数图像上，∴，化简可得：，又，∴，解得：，∴，∴M（2，3），代入，得；（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，），设直线MN的表达式为y=ax+b，则，解得：，∴直线MN的表达式为．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求出相应的点的坐标是解决问题的关键．33.（2021·四川广安市·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．【详解】解：（1）由题意可得：点B（3，-2）在反比例函数图像上，∴，则m=-6，∴反比例函数的解析式为，将A（-1，n）代入，得：，即A（-1，6），将A，B代入一次函数解析式中，得，解得：，∴一次函数解析式为；（2）∵点P在x轴上，设点P的坐标为（a，0），∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，∴直线AB与x轴交于点（2，0），由△ABP的面积为4，可得：，即，解得：a=1或a=3，∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．34.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，一次函数＝kx＋b（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；（3）将直线向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值时，求x的取值范围．【答案】（1）y1＝x＋1；；（2）N（0，7）或（0，－5）；（3）－2＜x＜－1或1＜x＜2【分析】（1）先用待定系数法求反比例函数解析式，再求出B点坐标，再求一次函数解析式即可；（2）根据面积求出MN长，再根据M点坐标求出N点坐标即可；（3）求出直线y3解析式，再求出它与反比例函数图象的交点坐标，根据图象，可直接写出结果．【详解】解：（1）∵过点A（1，2），∴m＝1×2＝2，即反比例函数：，当x＝－2时，a＝－1，即B（－2，－1）y1＝kx＋b过A（1，2）和B（－2，－1）代入得，解得，∴一次函数解析式为y1＝x＋1，（2）当x＝0时，代入y＝x＋1中得，y＝1，即M（0，1）∵S△AMN＝1∴MN＝6，∴N（0，7）或（0，－5），（3）如图，设y2与y3的图像交于C，D两点∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x＋1∴y3＝x－1，联立得解得或∴C（－1，－2），D（2，1），在A、D两点之间或B、C两点之间时，y1＞y2＞y3，∴－2＜x＜－1或1＜x＜2．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形结合思想解决问题．35.（2020•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=m（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP=12•PC•y【解析】（1）将点A（1，2）代入y=m∴y=2当y＝﹣1时，x＝﹣2，∴B（﹣2，﹣1），将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，得：k+b=2-2k+b=-1解得k=1b=1∴y＝x+1；∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y=2（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），设P（m，0），则PC＝|﹣1﹣m|，∵S△ACP=12•PC•y∴12解得m＝3或m＝﹣5，∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．36.（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=m（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：y=-【解析】（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y=12（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则4=3k+b2=6k+6，解得k=-故一次函数的表达式为：y=-当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，△ACD的面积=12×CD•x37.已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，．（1）求反比例函数的解析式；（2）当时，求点C的坐标．【答案】（1）；（2）点C的坐标为【解析】【分析】（1）过点B作轴于点M，由设BM=x，MO=2x，由勾股定理求出x的值，得到点B的坐标，代入即可求解；（2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：，将B点坐标代入AB的函数关系式，可得，令y=0得到，令，解得两个x的值，A点的横坐标为，由列出方程求解即可．【详解】解：（1）过点B作轴于点M，则在中．设，则．又．．又，∴点B的坐标是∴反比例的解析式为．（2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：．又∵点在直线AB上将点B的坐标代入直线解析式中，．．∴直线AB的解析式为：．令，则．．令，解得．经检验都是原方程的解．又．．．．．经检验，是原方程的解．∴点C的坐标为．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、分式方程、一元二次方程和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．38．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）的面积为______；（3）直接写出时x的取值范围．【答案】（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.【解析】【分析】（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定