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文档简介
专题05平行线中的三种几何模型全攻略类型一、“M”模型例.如图l,点在上,点在上,点在直线之间,连接.(1)直接写出的度数为;(2)如图2,平分,交的延长线于点证明:(3)如图3,点在的延长线上,点在上,点在内,连,则的值为.【答案】(1)108°;(2)见解析;(3)72°【详解】(1)过点F作FG∥AB,∵CD∥AB,∴FG∥CD∥AB,∴∠AEF+∠EFG=180,∠CHF+∠GFH=180,∴∠AEF+∠CHF+∠EFH=360,又∵∠AEF+∠CHF=∠EFH,∴∠EFH+∠EFH=360,解得:∠EFH=108;故答案为:108;(2)过点F作∥AB,过点M作∥,设∠FHD=,∵AB∥CD,∴∥∥AB∥CD,∴∠=,∴∠3=∠EFH-∠=108°-,∴∠=∠3=108°-,∵∠1=∠2,∴∠1=,∵∥CD,∴∠=∠1,∴∠FMH+108°-=,∴2∠FMH+2108°-=180°-,∴-2∠FMH=36°,即∠FHD-2∠FMH=36°;(3)过点F作FG∥AB,延长NK交CD于Q,设∠FHD=,同理CD∥AB∥FG,∴∠GFH=∠FHD=,∴∠BEF=∠EFG=108-,∴∠PEB=180-∠BEF=180-108+=72+,∵,∴∠NEB=∠PEB=(72+),∵NK∥FH,∴∠NQD=∠FHD=,∵CD∥AB,∴∠NKB=∠NQD=,∵∠NKB=∠NEB+∠ENK,∴=(72+)+∠ENK,∴=72+3∠ENK,故∠FHD-3∠ENK=72.例2.(1)如图①,已知,图中,,之间有什么关系?(2)如图②,已知,图中,,,之间有什么关系?(3)如图③,已知,请直接写出图中,,,,之间的关系(4)通过以上3个问题,你发现了什么规律?【答案】(1)∠2=∠1+∠3;(2);(3);(4)当时,∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n.【详解】解:(1)∠2=∠1+∠3,理由是:过E作EMAB,推出ABEMCD,过E作,∵ABCD,∴ABEMCD,∴∠1=∠NEM,∠3=∠MEO,∴∠NEO=∠NEM+∠MEO=∠1+∠3;∴∠2=∠1+∠3,(2);理由如下:过E作,过F作∵,,∴∴同理:∴即:即:已知,图中,,,之间关系:.(3);理由如下:过点G,作由(2)可知:∵∴∴、即:(4)通过以上3个问题,发现:当时,∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n.【变式训练1】已知直线,直线EF分别与直线a,b相交于点E,F,点A,B分别在直线a,b上,且在直线EF的左侧,点P是直线EF上一动点(不与点E,F重合),设∠PAE=∠1,∠APB=∠2,∠PBF=∠3.(1)如图,当点在线段上运动时,试说明∠1+∠3=∠2;(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况.①如图2写出∠1,∠2,∠3之间的关系并给出证明;②如图3所示,猜想∠1,∠2,∠3之间的关系(不要求证明).【答案】(1)证明见详解(2)①;证明见详解;②;证明见详解【详解】(1)解:如图4所示:过点作,∵∴∴,,∵,∴;(2)解:①如图5过点作,∵∴∴,,∵,∴;②如图6过点作,∵∴∴,,∵,∴.【变式训练2】如图所示,,是两直线内部一点.(1)与的平分线交于点,探究和之间的的数量关系.(2)如图所示,,,与之间又有何数量关系?(3)若,,与之间又有又有何数量关系?【答案】(1);(2);(3).【详解】(1).侧M图ABFDC知,由侧M图ABEDC知,所以.(2).侧M图ABFDC知,因为,,所以,由侧M图ABEDC知,所以.(3).侧M图ABFDC知,因为,,所以,由侧M图ABEDC知,所以.【变式训练3】如图1,AB//CD,E是AB,CD之间的一点.(1)判定∠BAE,∠CDE与∠AED之间的数量关系,并证明你的结论;(2)如图2,若∠BAE,∠CDE的角平分线交于点F,直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系;(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3,若∠AGD的余角等于2∠E的补角,求∠BAE的大小.【答案】(1);(2);(3)【详解】(1)∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下:作EF∥AB,如图1∵AB∥CD,∴EF∥CD∴∠1=∠BAE,∠2=∠CDE,∴∠BAE+∠CDE=∠AED(2)如图2,由(1)的结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F∴∠BAF=∠BAE,∠CDF=∠CDE,∴∠AFE=(∠BAE+∠CDE)∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED(3)由(1)的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射线DC沿DE翻折交AF于点G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2(∠AED-∠BAE)=2∠AED-∠BAE∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED,∴∠BAE=60°【变式训练4】如图,,点,为直线,上两定点,.(1)如图1,当点在左侧时,,,满足数量关系为;(2)若平分,平分,;①如图2,点在左侧时,求的角度;②如图3,点在右侧,求的角度;(3)如图4,平分,平分,,点在右侧,若与的角平分线交于点,与的角平分线交于点;此次类推,则=.(直接写出结果)【答案】(1)(2)①;②(3)【解析】(1)解:如图,过点,,,,,,,,故答案为:;(2)①如图,点在左侧时,由(1)可得,,平分,平分,,,;②如图,点在右侧时,过点作,则,,,,平分,平分,,;(3)依题意由(2)②可知,,,,由(2)①可知,;同理可得,……,.类型二、铅笔模型例.问题情景:如图1,AB∥CD,∠PAB=140°,∠PCD=135°,求∠APC的度数.(1)丽丽同学看过图形后立即口答出:∠APC=85°,请补全她的推理依据.如图2,过点P作PE∥AB,因为AB∥CD,所以PE∥CD.()所以∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°.()因为∠PAB=140°,∠PCD=135°,所以∠APE=40°,∠CPE=45°,∠APC=∠APE+∠CPE=85°.问题迁移:(2)如图3,AD∥BC,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β,求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系?请说明理由.(3)在(2)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系.【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线平行(或平行公理推论),两直线平行,同旁内角互补;(2),理由见解析;(3)或【详解】解:(1)如图2,过点P作PE∥AB,因为AB∥CD,所以PE∥CD.(平行于同一条直线的两条直线平行)所以∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°.(两直线平行同旁内角互补)因为∠PAB=140°,∠PCD=135°,所以∠APE=40°,∠CPE=45°,∠APC=∠APE+∠CPE=85°.故答案为:平行于同一条直线的两条直线平行;两直线平行,同旁内角互补;(2)∠CPD=∠α+∠β,理由如下:如图3所示,过P作PE∥AD交CD于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;(3)当P在BA延长线时,如图4所示:过P作PE∥AD交CD于E,同(2)可知:∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠β-∠α;当P在AB延长线时,如图5所示:同(2)可知:∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠α-∠β.综上所述,∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为:∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β.【变式训练1】(1)问题发现:如图①,直线𝐴𝐵//𝐶𝐷,E是AB与AD之间的一点,连接BE,CE,可以发现∠𝐵+∠𝐶=∠𝐵𝐸𝐶.请把下面的证明过程补充完整:证明:过点E作𝐸𝐹//𝐴𝐵,∵𝐴𝐵//𝐷𝐶(已知),𝐸𝐹//𝐴𝐵(辅助线的作法).∴𝐸𝐹//𝐷𝐶().∴∠𝐶=∠𝐶𝐸𝐹()∵𝐸𝐹//𝐴𝐵,∴∠𝐵=∠𝐵𝐸𝐹(同理).∴∠𝐵+∠𝐶=(等量代换)即∠𝐵+∠𝐶=∠𝐵𝐸𝐶.(2)拓展探究:如果点E运动到图②所示的位置,其他条件不变,进一步探究发现:∠𝐵+∠𝐶=360°−∠𝐵𝐸𝐶,请说明理由.(3)解决问题:如图③,𝐴𝐵//𝐷𝐶,∠𝐶=120°,∠𝐴𝐸𝐶=80°,请直接写出∠𝐴的度数.【答案】(1)平行于同一直线的两直线平行;两直线平行,内错角相等;∠BEF+∠CEF;(2)见解析;(3)20°【详解】解:(1)证明:如图①,过点E作EF∥AB,∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),∴EF∥DC(平行于同一直线的两直线平行),∴∠C=∠CEF.(两直线平行,内错角相等),∵EF∥AB,∴∠B=∠BEF(同理),∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF(等量代换)即∠B+∠C=∠BEC,故答案为:平行于同一直线的两直线平行;两直线平行,内错角相等;∠BEF+∠CEF;(2)证明:如图②,过点E作EF∥AB,∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),∴EF∥DC(平行于同一直线的两直线平行),∴∠C+∠CEF=180°,∠B+∠BEF=180°,∴∠B+∠C+∠AEC=360°,∴∠B+∠C=360°-∠BEC;(3)解:如图③,过点E作EF∥AB,∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),∴EF∥DC(平行于同一直线的两直线平行),∴∠C+∠CEF=180°,∠A=∠BEF,∵∠C=120°,∠AEC=80°,∴∠CEF=180°-120°=60°,∴∠BEF=80°-60°=20°,∴∠A=∠AEF=20°.故答案为:20°.【变式训练2】问题情境:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC度数.思路点拨:小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可分别求出∠APE、∠CPE的度数,从而可求出∠APC的度数;小丽的思路是:如图3,连接AC,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数;小芳的思路是:如图4,延长AP交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数.问题解决:请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算,你求得的∠APC的度数为°;问题迁移:(1)如图5,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;(2)在(1)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系.【答案】问题解决:110°;问题迁移:(1)∠CPD=∠α+∠β,理由见解析;(2)∠CPD=∠β﹣∠α,理由见解析【详解】解:小明的思路:如图2,过P作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE=180°﹣∠A=50°,∠CPE=180°﹣∠C=60°,∴∠APC=50°+60°=110°,故答案为:110;(1)∠CPD=∠α+∠β,理由如下:如图5,过P作PE∥AD交CD于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;(2)当P在BA延长线时,∠CPD=∠β﹣∠α;理由:如图6,过P作PE∥AD交CD于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α;当P在BO之间时,∠CPD=∠α﹣∠β.理由:如图7,过P作PE∥AD交CD于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β.【变式训练3】(1)问题情境:如图1,AB//CD,∠PAB=120°,∠PCD=130°,求∠APC的度数.小辰的思路是:如图2,过点P作PE//AB,通过平行线性质,可求得∠APC的度数,请写出具体求解过程.(2)问题迁移:①如图3,AD//BC,点P在射线OM上运动,当点P在A,B两点之间运动时,设∠CPD=∠,∠ADP=,∠BCP=∠,问:∠、、∠之间有何数量关系?请说明理由.②在①的条件下,如果点P不在A,B两点之间运动(点P与点A,B,O三点不重合),请直接写出∠、、∠间的数量关系.【答案】(1)110°;(2)①;②或【详解】解:(1)如图,过点P作PE//AB,则由平行线的性质可得PE//CD,所以:,所以:,所以,;(2)①,理由如下:如图,过P作PQ//AD交DC于Q,则由平行线的性质得PQ//BC,所以:,∵,∴;②分两种情况讨论:第一种情况,P在射线AM上,如图,过P作PQ//AD交射线DN于Q,则由平行线的性质得PQ//BC,所以:;第二种情况,点P在OB之间,如图,过P作PQ//AD交射线OD于Q,则由平行线的性质得PQ//BC,所以:类型三、锄头模型例.已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上.(1)如图1中,∠BME、∠E、∠END的数量关系为:;(不需要证明)如图2中,∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为:;(不需要证明)(2)如图3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度数;(3)如图4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数.【答案】(1)∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND;(2)120°;(3)不变,30°【详解】解:(1)过E作EH∥AB,如图1,∴∠BME=∠MEH,∵AB∥CD,∴HE∥CD,∴∠END=∠HEN,∴∠MEN=∠MEH+∠HEN=∠BME+∠END,即∠BME=∠MEN﹣∠END.如图2,过F作FH∥AB,∴∠BMF=∠MFK,∵AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠FND=∠KFN,∴∠MFN=∠MFK﹣∠KFN=∠BMF﹣∠FND,即:∠BMF=∠MFN+∠FND.故答案为∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.(2)由(1)得∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.∵NE平分∠FND,MB平分∠FME,∴∠FME=∠BME+∠BMF,∠FND=∠FNE+∠END,∵2∠MEN+∠MFN=180°,∴2(∠BME+∠END)+∠BMF﹣∠FND=180°,∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND=180°,即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND=180°,解得∠BMF=60°,∴∠FME=2∠BMF=120°;(3)∠FEQ的大小没发生变化,∠FEQ=30°.由(1)知:∠MEN=∠BME+∠END,∵EF平分∠MEN,NP平分∠END,∴∠FEN=∠MEN=(∠BME+∠END),∠ENP=∠END,∵EQ∥NP,∴∠NEQ=∠ENP,∴∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ=(∠BME+∠END)﹣∠END=∠BME,∵∠BME=60°,∴∠FEQ=×60°=30°.【变式训练1】(1)如图,AB//CD,CF平分∠DCE,若∠DCF=30°,∠E=20°,求∠ABE的度数;(2)如图,AB//CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°,求∠ABE的度数.(3)如图,P为(2)中射线BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,GN//PQ,GM平分∠DGP,若∠B=30°,求∠MGN的度数.【答案】(1)∠ABE=40°;(2)∠ABE=30°;(3)∠MGN=15°.【详解】解:(1)过E作EMAB,∵ABCD,∴CDEMAB,∴∠ABE=∠BEM,∠DCE=∠CEM,∵CF平分∠DCE,∴∠DCE=2∠DCF,∵∠DCF=30°,∴∠DCE=60°,∴∠CEM=60°,又∵∠CEB=20°,∴∠BEM=∠CEM﹣∠CEB=40°,∴∠ABE=40°;(2)过E作EMAB,过F作FNAB,∵∠EBF=2∠ABF,∴设∠ABF=x,∠EBF=2x,则∠ABE=3x,∵CF平分∠DCE,∴设∠DCF=∠ECF=y,则∠DCE=2y,∵ABCD,∴EMABCD,∴∠DCE=∠CEM=2y,∠BEM=∠ABE=3x,∴∠CEB=∠CEM﹣∠BEM=2y﹣3x,同理∠CFB=y﹣x,∵2∠CFB+(180°﹣∠CEB)=190°,∴2(y﹣x)+180°﹣(2y﹣3x)=190°,
∴x=10°,∴∠ABE=3x=30°;(3)过P作PLAB,∵GM平分∠DGP,∴设∠DGM=∠PGM=y,则∠DGP=2y,∵PQ平分∠BPG,∴设∠BPQ=∠GPQ=x,则∠BPG=2x,∵PQGN,∴∠PGN=∠GPQ=x,∵ABCD,∴PLABCD,
∴∠GPL=∠DGP=2y,∠BPL=∠ABP=30°,∵∠BPL=∠GPL﹣∠BPG,∴30°=2y﹣2x,∴y﹣x=15°,∵∠MGN=∠PGM﹣∠PGN=y﹣x,∴∠MGN=15°.【变式训练2】已知,点为平面内一点,于.(1)如图1,点在两条平行线外,则与之间的数量关系为______;(2)点在两条平行线之间,过点作于点.①如图2,说明成立的理由;②如图3,平分交于点平分交于点.若,求的度数.【答案】(1)∠A+∠C=90°;(2)①见解析;②105°【详解】解:(1)如图1,AM与BC的交点记作点O,∵AM∥CN,∴∠C=∠AOB,
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