新高一小班定义域与函数

第页函数的定义域与值域函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注意：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)例题：1.求下列函数的定义域：⑴⑵2.设函数的定义域为，则函数的定义域为__3.若函数的定义域为，则函数的定义域是4.函数，若，则=二．值域:函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。5.求下列函数的值域：⑴⑵(3)(4)3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。(6)中x二、抽象函数的定义域1.已知的定义域，求复合函数的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。2.已知复合函数的定义域，求的定义域方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。3.已知复合函数的定义域，求的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。4.已知的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。一.复合函数求定义域的几种题型解:由题意知:解：由题意知:的定义域为练习听懂了么定义域为，定义域听懂了么题型三：已知函数的定义域，求含参数的取值范围解:定义域为一切实数，对(1)当K=0时,3≠0成立当时，由以上（1）（2）知，练习:若函数的定义域是R，求实数a的取值范围。方法总结：函数y=f[g(x)]的定义域是（a，b），求f(x)的定义域，其方法是：利用a<x<b，求得g(x)的范围就是f(x)的定义域；函数y=f(x)的定义域是（a，b），求f[g(x)]的定义域，其方法是：利用a<g(x)<b，求得x的范围就是f[g(x)]的定义域；函数值域八种常见求法做不出来的是SUPERBOY做不出来的是SUPERBOY5.部分分式法求的值域。解：（利用部分分式法）由，可得值域小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。6.基本不等式法：例：求函数的值域解：原函数可化为当且仅当时取等号，故值域为7.有界性法：（非负性）求函数的值域例7.求函数的值域。你丫就是不会做你丫就是不会做解：由原函数式可得：∵∴解得：故所求函数的值域为8.数形结合法求函数的值域。结合图形不难得到：。例16.求函数的值域。解：原函数可化简得：-013-0134-4xy求的值域解法一：（图象法）可化为观察得值域二次函数在闭区间上的值域问题二次函数在闭区间上的值域问题，常见的有三种类型，（1）“轴定区间定”型，（2）“轴动区间定”型，（3）“轴定区间动”型。这三种类型都是根据对称轴和区间的位置关系，来确定函数的值域。第（2）、（3）种类型，可按闭区间将数轴分成三个部分来分类，对称轴在区间内，在区间左侧或右侧，只要对这三种情况讨论，就可确定函数的值域。例1、（1）已知，求其值域。（2）已知，求其值域。（3）已知，求其值域。解：（1）易得值域为。解：（2）对称轴为 (ⅰ)当时，在上为增函数，易得值域为(ⅱ)当时，，若 ，若，则。即当时，值域为当时，值域为。（ⅲ）当时，在上为减函数，，值域为综上所述：当时值域为；当时，值域为；当时，值域为；当时值域为。解：（3），对称轴为(ⅰ)当即时，在上为增函数，值域为(ⅱ)当即时，若则；若则即当时，值域为当时，值域为(ⅲ)当即时，在上为减函数，值域为综上所述:当时,值域为;当时，值域为;当时，值域为;当时,值域为二、形如（、不同为0）的函数的值域形如（、不同为0）的函数，若恒成立，可将其转化为关于的二次方程，用判别时法来求值域。用此方法时，需注意项的系数为0的情况下的值。另外，这种形式的函数，也可以用均值不等式来求值域。方法是：在分子、分母中凑次数较低的一方，再变形成可用均值不等式的形式。别问你家喵哥例3、求函数的值域。别问你家喵哥解法一：由原式得：当时，由则当时函数有意义且在内，因此，函数的值域为解法二：由原函数得：（ⅰ）当时，（ⅱ）当时（当且仅当时取等号）且此时（ⅲ）当时（当且仅当时取等号）且此时综上所述:原函数的值域为。二、形如的函数值域问题（学完单调性再学）由于函数的图像形如“对勾反对勾”，因此把它叫“对勾反对勾”型函数。它在区间和上单调递增，在区间和上单调递减。在求其值域时，可用其单调性来解决。例2、（1）求的值域。（2）求的值域。（3）求的值域。解：（1）易得其在时取得最小值。时，值域为解：（2）在上为增函数，值域为解：（3）在时取得最小值，（ⅰ）当即时在上为增函数，故值域为（ⅱ）当即时在时取得最小值，其最大值在或处取得。令则故当时，值域为当时，值域为（ⅲ）当即时在为减函数，值域为综上所述：当时，值域为；当时，值域为当时，值域为；当时，值域为。练习：1．函数y＝eq\f(x＋10,\r(|x|－x))的定义域是()A．{x|x<0}B．{x|x>0}C．{x|x<0且x≠－1}D．{x|x≠0，且x≠－1，x∈R}2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是()x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345A.[2,5] B．NC．(0,20] D．{2,3,4,5}3．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定义域是()A．[0,1] B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)4．函数y＝eq\f(2,x－1)的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()A．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))B．(－∞，2]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[2，＋∞)D．(0，＋∞)5．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋16．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，|x|≥1，,x，|x|<1，))g(x)是二次函数，若f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是()A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C．[0，＋∞)D．[1，＋∞)8．(2012·南京模拟)若函数f(x)＝eq\f(x－4,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是________．9．若函数y＝f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则函数F(x)＝f(x)＋eq\f(1,fx)的值域是________．不会做的是小学生三、解答题(共3个小题，满分35分)不会做的是小学生10．求下列关于x的函数的定义域和值域：(1)y＝eq\r(1－x)－eq\r(x)；(2)x012345y23456711．已知函数f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a>0，x>0)，(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，求a的值．（学完单调性做）12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)，x∈[－2，－1，,－2，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，,x－\f(1,x)，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).))(1)求f(x)的值域．做不出来就是我的同类(2)设函数g(x)＝ax－2，x∈[－2,2]，若对于任意的x1∈[－2,2]，总存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求实数a的取值范围．做不出来就是我的同类13、设函数，则使得的自变量的取值范围为（）A、B、C、D、14、函数对于任意实数满足条件，若则__________。1、求下列函数的定义域：⑴⑵⑶2、设函数的定义域为，则函数的定义域为___；函数的定义域为________；3、若函数的定义域为，则函数的定义域是；函数的定义域为。知函数的定义域为，且函数的定义域存在，求实