正交加筋板声透射特性研究

正交加筋板声透射特性研究

空间谐波展开法建立平面声波倾斜入射下正交加筋板声透射理论模型作为一种典型的结构单元，正交拉筋板广泛应用于工程领域（如飞机设备、船舶和船舶）。该类结构的声学性能,往往影响着飞机的乘坐舒适性及舰船的水下声隐身性能。因此,开展正交加筋板的声振特性研究,分析结构参数对其声振特性的影响,对于提高飞机舒适度及舰船隐身性能具有重要意义。广大学者针对连续周期性结构的隔声性能和振动特性已经开展了广泛的研究[5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]。Mead和Pujara首先提出应用空间谐波展开法来研究声波在周期支撑梁中的传播问题。基于此,Lee和Kim通过先把加强筋对平板的作用等效成弹簧和扭簧的组合模型,然后将单向加筋薄板简化成一维周期支撑梁,研究了其在平面声波作用下的声透射问题。由于这种采用周期支撑梁模型过于简化,必然会使结果产生差异。为此,Mace提出采用周期性支撑板模型并结合傅里叶变换法来研究了单向加筋薄板在任意点激励或线激励作用下的声辐射问题。不过他在考虑加强筋的影响时仍然采用的是弹簧和扭簧组合模型,没有考虑惯性项的影响。随后,Mace进一步拓展,研究了正交加筋薄板的声辐射问题,通过分析加强筋的弯曲运动把惯性项的影响考虑进来了,但是却忽略了扭转运动的影响。因此,为了更好地揭示结构声透射的物理规律,有必要建立更为准确的正交加筋板声透射理论模型。本文在上述研究的基础上,采用周期性支撑板模型,通过充分考虑加强筋的弯曲运动和扭转运动计及其对平板的影响,再考虑流-固交界面处的边界条件和波动方程,运用空间谐波展开法建立平面声波倾斜入射下正交加筋板的声透射理论板梁模型。基于此,首先研究单向加筋板的隔声性能,比较理论结果与已有计算结果的一致性,验证板梁理论模型的有效性;然后进一步研究声波入射角、加强筋惯性矩及间距对正交加筋板声振特性的影响。1正交和钢筋混凝土的声音传播理论模型1.1透射异常的声压考虑如图1所示的无限大正交加筋板,x和y方向均设置均匀分布的矩形截面加强筋,加强筋间距分别为lx和ly。当平面声波从一侧以角度φ和θ入射到平板上,将引起加筋板的振动,一部分入射声波被反射回去,形成反射声波。入射声波(Pi)和反射声波(Pr)的声压共同构成了入射域内的声压P1。其余部分则透射过平板传播到正交加筋板另一侧,形成透射声波(Pt)。其声压构成了透射域内的声压P2。为便于分析,建立如图1所示的笛卡尔坐标系,其中x-y平面和平板上表面重合。平板厚度为h,x向及y向加强筋的宽度和高度分别为tx,ty,hx和hy。平板和加强筋采用相同材料,其杨氏模量为E,泊松比为μ,密度为ρ。为反映加强筋在正交加筋板受迫振动中的作用,本文将加强筋视为平板的动反力及动反力矩;这样,正交加筋板的声振问题就可描述成:如何求解一块受到动反力和动反力矩作用的均匀平板的声振问题。1.2振动方程的建立由结构周期性理论可知,无限大正交加筋板可看成是由无限大平板被x和y方向等间距分布的加强筋划分的无数基本单元组成,且基本单元在加筋边界处将受到动反力和动反力矩的作用。这样正交加筋板的声振特性可通过分析基本单元的声振特性得到,基本单元的受力分析如图2所示。y方向上,板和加强筋交界处的动反力及动反力矩是指均匀分布的横向力Qym=Qym(y,t)和扭矩MmΤymTy=MmΤymTy(y,t)。同理,x方向上,板和加强筋交界处的动反力及动反力矩是指均匀分布的横向力Qnxnx=Qnxnx(x,t)和扭矩MnΤxnTx=MnTx(x,t)。假设:(1)忽略平板弯曲运动时的剪切变形和扭转惯性距;(2)不考虑平板的面内运动。由经典薄板理论,受力平板的振动方程可表示为D(1+jη)∇4W+ρh∂2W∂t2=-∞∑m=-∞[Qmyδ(x-mlx)+{ΜmΤyδ′(x-mlx)}]-∞∑n=-∞[Qnxδ(y-nly)+{ΜnΤxδ′(y-nly)}]+Ρ1(x,y,0)-Ρ2(x,y,h)(1)式中∇4=(∂2/∂x2+∂2/∂y2)2;W(x,y,t),ρ和h分别表示板的横向位移、密度和板厚。η为材料的损耗因子。δ(·)为Diracdelta函数。D=Eh3/12(1-μ2)表示为平板的弯曲刚度。方程(1)右边的第一项和第二项代表平板和加强筋的耦合作用部分,第三项代表声固耦合作用部分。P1(x,y,0)表示入射域声波的声压,P2(x,y,h)表示透射域声波的声压。1.3加强筋的翘曲作用假设平板振动时忽略板面内和面外的耦合运动,只考虑平板的横向弯曲运动。因此,伴随着平板的弯曲振动,加强筋将产生弯曲变形和扭转变形。为研究方便,假设加强筋具有垂直于平板的对称矩形截面,因此,横向运动和扭转运动之间不存在耦合作用;忽略加强筋的翘曲作用。y方向上,做受迫弯曲运动和扭转运动的加强筋的运动方程可以表示为EΙm∂4W∂y4+ρAm∂2W∂t2=Qmy(y,t)(2)-GJm∂3W∂x∂y2-ω2ρΙm0∂W∂x=ΜmΤy(y,t)(3)式中EIm为加强筋的弯曲刚度,GJm为加强筋的圣维南扭转刚度,ρAm为加强筋单位长度上的质量,ρIm0表示加强筋单位长度上的质量惯性距。x方向上,做受迫弯曲运动和扭转运动的加强筋的运动方程可以表示为:EΙn∂4W∂x4+ρAn∂2W∂t2=Qnx(x,t)(4)-GJn∂3W∂y∂x2-ω2ρΙn0∂W∂y=ΜnΤx(x,t)(5)式中EIn为加强筋的弯曲刚度,GJn为加强筋的圣维南扭转刚度,ρAn为加强筋单位长度上的质量,ρIn0表示为加强筋单位长度上的质量惯性距。2正交和钢筋混凝土声音传播理论模型的求解2.1入射域声场的声压由于正交加筋板为无限大周期结构,因此,当其受到简谐平面声波激励时,其横向位移W(x,y,t)可表示成一系列空间谐波叠加的形式,即W(x,y,t)=+∞∑m=-∞+∞∑n=-∞Amn×e-j[(kx+2mπ/lx)x+(ky+2nπ/ly)y-ωt](6)式中系数Amn为结构振动的幅值。上式中,结构被表示成一系列关于正向波和反向波谐波的分量之和,且分别对应于m,n=0,±1,±2,±3,…。虽然对于某一空间谐波而言并不满足边界条件,但是它们之和却被强制满足边界条件。由于入射域和透射域中的介质是理想流体,因此,声压P1和P2满足如下波动方程c20∇2Ρi=∂2Ρi∂t2(i=1‚2)(7)式中入射域声场的声压P1可以定义为Ρ1(x,y,z,t)=e-j(kxx+kyy+kzz-ωt)++∞∑m=-∞+∞∑n=-∞Bmn⋅e-j[(kx+2mπ/lx)x+(ky+2nπ/ly)y-kz,mnz-ωt](8)式中系数Bmn为反射波声压第(m,n)阶分量的幅值。式中的第一项代表入射波的声压,第二项写成一系列级数和的形式代表反射波声压。与此相类似,透射域声场的声压P2可以表示成如下形式Ρ2(x,y,z,t)=+∞∑m=-∞+∞∑n=-∞Cmn×e-j[(kx+2mπ/lx)x+(ky+2nπ/ly)y+kz,mnz-ωt](9)式中系数Cmn为透射波声压第(m,n)阶分量的幅值。上述两式中的波数kx,ky和kz与入射角θ和φ有关,可以表示成如下:kx=k0sinφcosθ‚ky=k0sinφsinθ‚kz=k0cosφ(10)式中波数k0=ω/c0,ω为入射声波的圆频率,c0为声波在空气中的传播速度。kz,mn为声波的谐波分量在z方向上的波数,通过把等式(8)和(9)代入到等式(7)中,便可以导出kz,mn如下式kz,mn=√(ωc0)2-(kx+2mπlx)2-(ky+2nπly)2(11a)当(ω/c0)2<(kx+2mπ/lx)2+(ky+2nπ/ly)2时,相关的压力波为耗散波。因此,此时kz,mn应该表示成如下形式kz,mn=j√(kx+2mπlx)2+(ky+2nπly)2-(ωc0)2(11b)由垂直流体介质和大平板交界面方向上的法线速度连续性条件可知∂Ρ1∂z|z=0=ω2ρ0W(12)∂Ρ2∂z|z=h=ω2ρ0W(13)式中ρ0为流体介质的密度。因此,把式(6),(8)和(9)代入到边界条件(12)和(13)中,可以确定Amn,Bmn和Cmn之间的关系如下Bmn={1+ω2ρ0A00jkz,当m=0且n=0ω2ρ0Amnjkz,mn,当m≠0或n≠0(14)Cmn=-ω2ρ0Amnejkz,mnhjkz,mn(15)2.2正交加筋板的虚功原理由上述各式可知,一旦求得平板的横向弯曲波振幅Amn,则可通过式(14)和(15)进一步得到系数Bmn和Cmn。而系数Amn则可以通过对正交加筋板某一基本周期单元应用虚功原理得到。由虚功原理可知:系统的一个周期单元上所有外力在虚位移上所做的虚功之和为零,则有下式成立δΠp+δΠx+δΠy=0(16)式中δΠp为周期平板单元的虚功,δΠx和δΠy分别为x方向和y方向上单位长度加强筋的虚功。令虚位移取如下形式δW=δAmne-j[(kx+2mπ/lx)x+(ky+2nπ/ly)y-ωt](17)2.2.1虚功表达的描述在一个基本周期单元内,受到平面声波激励时无限大平板的振动方程如下式D1∇4W+ρh∂2W∂t2-Ρ1(x,y,0)+Ρ2(x,y,h)=0(18)式中D1=D(1+jη)。基本周期平板单元所贡献的虚功表达成如下δΠp=∫lx0∫ly0[D1∇4W+ρh∂2W∂t2-Ρ1(x,y,0)+Ρ2(x,y,h)]δW*dxdy(19)式中δW*表示为虚位移的复数共轭形式。因此,通过把方程(6),(8),(9)和(17)代入到方程(19)中,则基本周期单元平板所贡献的虚功可以进一步写成如下形式δΠp={(D1[(kx+2kπlx)2+(ky+2lπly)2]2-ρhω2)Akl-2ω2ρ0Akljkz,kl}lxlyδA*kl-∫lx0∫ly02e-j(kxx+kyy)ej[(kx+2kπ/lx)x+(ky+2lπ/ly)y]⋅dxdyδA*kl(20)2.2.2[qnx+jn+kk+k/lx在加强筋和平板交界处,沿x方向上(取y=0)横向作用力和力矩在虚位移上所做的虚功为δΠx=-∫lx0[Qnx(x,0)+j(ky+2lπ/ly)⋅ΜnΤx(x,0)]δA*klej(kx+2kπ/lx)xdx=δA*kllx⋅{[-EΙn(kx+2kπ/lx)4+ρAnω2]+(ky+2nπ/ly)(ky+2lπ/ly)(-GJn(kx+2kπ/lx)2+ρΙn0ω2)}∞∑n=-∞Akn(21)2.2.3[0,y+k.4+m/lx]a+k+am型在加强筋和平板交界处,沿y方向上(取x=0)横向作用力和力矩在虚位移上所做的虚功为δΠy=-∫ly0[Qmy(0,y)+j(kx+2kπ/lx)⋅ΜmΤy(0,y)]δA*klej(ky+2lπ/ly)ydy=δA*klly⋅{[-EΙm(ky+2lπ/ly)4+ρAmω2]+(kx+2mπ/lx)(kx+2kπ/lx)(-GJm(ky+2lπ/ly)2+ρΙm0ω2)}∞∑m=-∞Aml(22)2.2.4未知系数amn的建立将方程(20～22)代入到方程(16),由虚位移的任意性可以得到正交加筋板的声振如下{D1(αk2+βl2)2-ρhω2-2ω2ρ0jkz,kl}lxlyAkl+∞∑n=-∞{(ρAnω2-EΙnαk4)+βlβn(-GJnαk2+ρΙn0ω2)}lxAkn+∞∑m=-∞{(ρAmω2-EΙmβl4)+αkαm(-GJmβl2+ρΙm0ω2)}lyAml={2lxly当k=0＆l=00当k≠0‖l≠0(23)式中αk=kx+2kπ/lx,βl=ky+2lπ/ly,αm=kx+2mπ/lx,βn=ky+2nπ/ly。综合考虑其他任意周期单元上的虚功,将会得到一系列相同形式的代数方程,最终构成一个关于未知系数Amn的无限大代数方程组。实际计算时通常是对方程组采取截断的办法来求解,即将下标(m,n)限制在一个有限区间内(m=-˜k∼˜k同时n=-˜l∼˜l)。而方程项数m和n的具体取值则要通过收敛性分析来确定。最终,有限项方程组可表达成矩阵形式如下(其中Κ=2˜k+1,L=2˜l+1)。详细的推导过程见附录。ΤΚL×ΚL×AklΚL×1=FklΚL×1(24)一旦通过式(24)求得了所有的未知系数Amn,然后再由方程(14)和(15)逐个求出其他2个未知系数Bmn和Cmn,则平板的横向位移W(x,y,t),入射域和透射域内的声压P1和P2就可以被确定下来。至此板梁理论模型就建立起来了,借助该模型就能研究结构的隔声性能和振动特性。2.3正交加筋板振幅的计算由于声波透射系数τ(φ,θ)是关于入射角φ和θ的函数。因此为了便于理解结构声透射的物理过程,透射系数被定义为透射声能与入射声能的比值,具体如下式τ(φ,θ)=∞∑m=-∞∞∑n=-∞|Cmn|2Re(kz,mn)kz(25)因此,只要将上述过程确定的Cmn值代入式(25)中便可以得到声波透射系数τ(φ,θ)。最后,透射损失可定义成ΤL=10lg(1τ(φ,θ))(26)为了便于分析正交加筋板的振动特性,定义单位面积上的均方振速为ˉV2=1lxly(∫lx0∫ly0ω2WW*2dxdy)(27)式中W*表示为正交加筋板横向位移的复数共轭形式。将式(6)代入式(27)中可得下式ˉV2=ω2∞∑m=-∞∞∑n=-∞A2mn(28)最终,平均振动速度级(LV)可定义成LV=10lg(ˉVVref)(29)式中Vref为参考振速,取参考值1.0×10-5m/s。3正交加筋板声透射板梁理论模型上述研究从理论角度给出了结构的声透射计算公式,下面将具体讨论正交加筋板声透射板梁理论模型的收敛性及有效性问题。正交加筋板声振系统计算所需参数如表1所示。3.1最高频率的确定由于正交加筋板声振方程的解最终被表示成有限项空间谐波级数之和的形式,故在计算中必须具有足够的项数才能保证截断结果的收敛性,保障计算精度的要求。由收敛性理论可知,一旦计算结果在某一给定频率下收敛,则该结果对于低于该给定频率的所有频率都收敛。根据这一规律,在进行分析前需要首先确定为了使计算结果在所关心的最高频率下收敛所需的最小项数。为了便于讨论,本文分析的最高频率取为5kHz。Lee和Kim指出,一旦前后相邻两次计算出来的结果之差的绝对值小于某一给定的容差(如0.01dB),则可认为结果已经收敛。由此,便可以得到计算低于5kHz时的透射损失所需最小项数。由于方程的解被截断成有限项级数形式,同时本文板梁理论计算模型在x和y方向上具有对称性,故在计算时可假设x和y上所取的项数一样多,即m=-˜k∼˜k,n=-˜l∼˜l(其中˜k=˜l)。图3给出了频率为f=5kHz,入射角分别取φ=45°,θ=0°时,正交加筋板透射损失随级数项数˜k(=˜l)的变化曲线。由图3可知,当正交加筋板空间谐波级数解项数˜k≥12(即m=-12～12,n=-12～12)时即可保证其解在f=5kHz时的收敛性。3.2单向加筋板结构声透射损失曲线的比较由于正交加筋板声透射问题的理论解析解研究较少,为验证本文推导的正确性,本文采用正交加筋板声透射的特殊情况进行验证。作为特例,首先利用本文建立的板梁理论模型计算了无限大单向加筋板的透射损失;然后按照文献给出的简化模型计算了无限大单向加筋板的透射损失,同时按文献给出的解析公式得到了无限大平板的透射损失,最后通过对比这两种理论模型计算得到的透射损失的一致性来验证本文正交加筋板声透射板梁理论模型的有效性。为使两对比模型保持一致,需先将正交加筋板缩减成单向加筋板,这里只保留y方向上的加强筋。计算时采用文献的系统相关参数。单向加筋板几何尺寸如下:h=0.00127m,ty=0.03m,hy=0.06m,lx=0.2m;频率范围为10Hz～100kHz。对比结果如图4所示。比较由板梁理论模型计算得到的单向加筋板的透射损失和简化模型的结果,可以看出当频率低于f1(单向加筋板共振频率)时,两条曲线之间存在一定差异,但是与简化模型的结果相比,板梁理论模型的计算结果的变化趋势更加接近无限大平板TL曲线的变化趋势;两种理论模型计算单向加筋板透射损失的差异主要是因为文献采用弹簧和扭簧的组合简化模型来模拟加强筋的实际弯曲运动和扭转运动时,弹簧的等效刚度远大于加强筋弯曲运动的真实动刚度,因此,导致简化模型的结果在结构的整体振动刚度控制区域内远大于实际结构的透射损失。而当频率超过f1以后,由两种理论模型计算得到的单向加筋板的透射损失TL曲线完全一样,且与无限大平板具有相同的变化趋势;当频率超过频率fc(吻合频率)以后,由两种理论模型计算得到的两条TL曲线和无限大平板基本一致。由于加强筋的作用是使位移分布增加了周期性分量,并不能改变其大体趋势。因此,无限大单向加筋板透射损失曲线的变化趋势应当和无限大平板一样。由于本文在建立结构声透射计算模型时,准确考虑了加强筋的弯曲运动和扭转运动,及加强筋和平板之间的相互作用。因此,本文提出的板梁理论模型更接近实际情况,特别是在结构的整体振动刚度控制区域内更能揭示结构声透射的物理本质。4参数对板声特性的影响对于正交加筋板结构而言,人们往往关心声波入射角(φ,θ)、加强筋惯性矩及间距等参数对正交加筋板声振特性的影响。为此,本文利用已建立的板梁理论模型,分别讨论了声波入射角(φ,θ)、加强筋惯性矩及间距对正交加筋板声振特性的影响。4.1tl曲线的绘制为了研究声波入射角(φ,θ)对正交加筋板隔声性能的影响,固定正交加筋板的其他尺寸,只改变角度φ。图5给出了φ分别等于30°,45°和60°且θ=45°时,透射损失TL随频率变化的曲线。由结构的受迫振动可知,当声波入射频率等于正交加筋板的固有频率时,就会引发结构共振,这样必然导致结构的声辐射能力大大增加,隔声性能明显下降,体现在TL曲线上就是隔声波谷。由于结构的周期特性,因此正交加筋板的TL曲线就会出现如图5所示的一系列隔声波谷和波峰。从图5可知,随着入射角度φ的增大,第一个隔声波谷以后的所有波谷和波峰的位置逐渐向低频偏移,其中第二个隔声波谷随着φ的增大向低频推移的更快一些,并逐渐追赶上接近了第一个波谷。随着φ的不断增加,透射损失TL曲线整体趋势下降,透射能量有所增加,也就是说,入射角度小时其TL平均值要比入射角度大的大。这说明加筋平板对入射角度大的声波的隔声效果不如入射角小的好,即当声波垂直入射时加筋平板的隔声效果最好。4.2透射损失曲线假设x和y向加强筋尺寸相同,并保持其他参数都不变的情况下,图6给出了不同加强筋惯性矩(即高宽比hx/tx=hy/ty=4/3,8/3和12/3)下的正交加筋板透射损失曲线。当加强筋的高宽比从4/3增加到8/3时,正交加筋板的隔声性能明显提高。这是由于加强筋的惯性矩增大使得正交加筋板的刚度增大,而在低频段又是刚度控制域,所以随着结构刚度的增加其隔声效果提高会比较明显。但是,随着加强筋的高宽比继续增加到12/3时,隔声效果的提升就不显著了。由此可知,增大加强筋惯性矩能够明显提高加筋板在低频段的隔声性能,但是一味地增加加强筋惯性并不能取得更好预期效果。因此,在实际应用中可以采用声学优化设计得到使正交加筋板隔声性能最好的加强筋的高宽比。4.3加强筋间距对动力特性的影响工程设计中,加强筋的作用是用于减轻结构重量同时增加结构的稳性和强度。因此,可以预料到改变加强筋的间距必将影响加筋平板的隔声性能和振动特性。假设x和y方向上的间距相同(即lx=ly),图7表示改变加强筋的间距,正交加筋板单位面积上的平均振动速度级(LV)随频率变化的曲线。随着加强筋间距增加,LV曲线的波峰和波谷都向低频移动,LV值在低频段大大增加;而且明显改善了正交加筋板的整体振动性能。这是由于增加加强筋间距会使正交加筋板的刚度降低,因此将导致结构固有频率