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高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市2022-2023学年高二下学期期末数学试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为,,所以,.故选:C.2.若复数,则()A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗因为复数,所以,所以,故选:B.3.从5件不同的礼物中选出3件分别送给3名同学,则不同的送法共有()A.240种 B.125种 C.120种 D.60种〖答案〗D〖解析〗由题意可知,故选:D.4.若一组数据1,1,,4,5,5,6,7的25百分位数是2,则()A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗这组数据为:1,1,,4,5,5,6,7,因为,所以这组数据的25%分位数为从小到大的顺序的第2个数和第3个数的平均数,因此,这组数据的25%分位数为,所以.故选:C.5.已知P是所在平面外一点,M是BC的中点,若,则()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如下图所示:因为为的中点,则,所以,,又因为,且、、不共面,则,,故,,故选:A.6.若,则()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为,所以,,所以.故选:D.7.已知圆台的上、下底面半径分别为和,用一个平行于底面的平面去截圆台,截得上、下两部分的体积之比为,则截面半径为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆台上、下底面圆的圆心分别为、,将圆台还原为圆锥,设圆锥的顶点为S,设截面圆的圆心为,设圆、圆、圆的半径分别为、、,则,,设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、,因为,则,所以,,设圆台的体积为,即,所以,,由题意可知,圆台的体积为,所以,,所以,,又因为,则,因此,.故选:A.8.已知函数若函数有五个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当时,则,此时,则或,当时,则,此时,则,故问题转为,共有四个零点,画出函数图象如下可知:则,故选:D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知,则()A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗令.对于A选项,,A错;对于B选项,的展开式通项为,令,可得,则,B对;对于C选项,,C对;对于D选项,,所以,,D错.故选:BC.10.已知正方体,则()A.平面平面 B.平面C.与所成角为 D.与平面所成角为〖答案〗ABC〖解析〗对于A,,,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面;同理可得:平面;,平面,平面平面,A正确;对于B,四边形为正方形,;平面,平面,;,平面,平面,又平面,;同理可得:;,平面,平面,B正确;对于C,连接,,,四边形为平行四边形,,(或其补角)即为异面直线与所成角,,为等边三角形,,与所成角为,C正确;对于D,平面,与平面所成角为,设正方体的棱长为,则,,,即与平面所成角不是,D错误.故选:ABC.11.已知是定义在上的奇函数,,当时,,则()A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗函数是定义在上的奇函数,由,得,所以函数是周期为4的周期函数,所以,故A错误;由,故B正确;因为,,所以,故C正确;当时,,所以当时,,所以,此时,所以当时,.当时,,所以,此时,综上所述,函数在一个周期内,即时,,而,所以,故D正确.故选:BCD.12.某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果,甲地块产出苹果中一级果个数占75%,乙地块产出苹果中一级果个数占60%,丙地块产出苹果中一级果个数占80%.已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2:5:3,现将三个地块产出的苹果混放一堆,则下列说法正确的是()A.任取一个苹果是甲地块产出的概率为0.2B.任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为0.75C.任取一个苹果是一级果的概率为0.69D.如果取到的一个苹果是一级果,则其是由甲地块产出的概率为〖答案〗ACD〖解析〗已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2:5:3,可设甲、乙、丙地块产出的苹果个数分别为:,现将三个地块产出的苹果混放一堆,对于A,则任取一个苹果是甲地块产出的概率为,故A正确;对于B,由于甲地块产出苹果中一级果个数占75%,所以甲地块产出苹果中一级果个数为,则任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为,故B错误;对于C,由于甲地块产出苹果中一级果个数,乙地块产出苹果中一级果个数为,丙地块产出苹果中一级果个数为,所以三块地总共产出一级果个数为:,所以任取一个苹果是一级果的概率为,故C正确;对于D,由条件概率可知,如果取到的一个苹果是一级果,则其是由甲地块产出的概率为,故D正确;故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13如果随机变量,且,则________.〖答案〗0.8〖解析〗因为,所以,因为该正态分布曲线关于对称,所以,故〖答案〗为:.14.已知向量,,若,则实数________.〖答案〗〖解析〗,又,,解得:.故〖答案〗为:.15.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长分别为4和,其所有面都与同一个球相切,则该球的表面积为________.〖答案〗〖解析〗如图,取底边中点为,则,,所以在等腰中,,,由于正四棱锥的所有面都与同一个球相切,则该球为其内切球,设内切球的半径为,则由等体积法可得,即,故球的表面积为,故〖答案〗为:.16.已知直线与曲线和都相切,请写出符合条件的两条直线的方程:________,________.〖答案〗〖解析〗,,设直线与曲线和相切于点,则所以切线方程分别为,因此则,又,将代入可得或,解得或,将其代入中,因此当时,切线方程为,当时,切线方程为,故〖答案〗为:,.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.有8个相同的小球,上面分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,“从中任取一个小球,球的数字是奇数”记为事件A,“从中任取一个小球,球的数字是3的倍数”记为事件B.(1)试判断A,B是否为相互独立事件,并说明理由;(2)求.解:(1)解法一:,,.若A发生,则B发生的概率为;若A不发生,则B发生的概率为;可见,事件A发生与否不影响事件B发生的概率,因此,A,B为相互独立事件.解法二:,,,.所以,,,即.因此,A,B为相互独立事件.(2)解法一:由概率性质得.解法二:,,,.所以.18.如图,在正三棱柱中,D为的中点.(1)求证:;(2)若,,求点B到平面的距离.(1)证明:在正三棱柱中,平面,因为平面,所以;在正三角形中,,D为中点,所以;又因为,平面,所以平面;因为平面,所以.(2)解:连接,交于点O,在正三棱柱中,侧面为平行四边形,所以O为的中点,所以B到平面的距离等于到平面的距离;设到平面的距离为,因为,,所以正三角形的边长为,所以,的面积为,所以三棱锥的体积.又,在中,,,所以,所以,从而,即.所以点B到平面的距离为.19.已知函数,.(1)若,解关于的不等式;(2)若函数的最小值为-4,求m的值.解:(1)时,由得,,,因为,所以,解得,所以原不等式的解集为.(2)因为,令,因为,所以,(当且仅当时取得等号)则,,①当,即时,在上单调递增,当,即时,,所以,解得,符合题意;②当,即时,在上单调递减,在上单调递增,当,,所以,解得,不合题意,舍去.综上,的值为-3.20.“使用动物做医学实验是正确的,这样做能够挽救人的生命”.一机构为了解成年人对这种说法的态度(态度分为同意和不同意),在某市随机调查了200位成年人,得到如下数据:男性女性合计同意7050120不同意305080合计100100200(1)能否有99%的把握认为成年人对该说法的态度与性别有关?(2)将频率视为概率,用样本估计总体.若从该市成年人中,随机抽取3人了解其对该说法的态度,记抽取的3人中持同意的人数为X,求X的分布列和数学期望.附:,0.0250.0100.0055.0246.6357.879解:(1)提出假设:成年人对该问题的态度与性别无关.根据列联表中的数据可以求得.因为当成立时,的概率约为0.01,这里,所以我们有99%的把握认为,对该问题的态度与性别有关.(2)从该市成年人中随机抽取1人持同意态度的概率为,由题意,,,,,,0123因此,随机变量的数学期望为解法一:.解法二:.21.如图,在三棱锥中,,D是AC的中点,E是AB上一点,平面PDE.(1)证明:平面PBC;(2)若,,求二面角的正弦值.(1)证明:因为平面PDE,平面PDE,所以,因为,且直线平面ABC,所以,因为平面PBC,平面PBC,所以平面PBC;(2)解:取DE的中点O,连结PO,过点O作交BC于点F,因为,所以,因为平面PDE,平面PDE,所以,因为平面ABC,所以平面,所以.如图,以,为正交基底建立空间直角坐标系,因为D是AC的中点,,所以,,,,因为,所以,即,所以,,,;设平面的一个法向量,则即令,得,,所以平面的一个法向量,设平面PBE的一个法向量,则即令,得,,所以平面PBE的一个法向量,所以,设二面角为,,所以,所以二面角的正弦值为.22.已知函数,.(1)当时,求函数的极值;(2)当时,,求的取值范围.解:(1)的定义域为,当时,,,令,解得,减极小值增所以的极小值.(2)当时,等价于当时,,令,则在上恒成立,所以,令,所以,因为,所以,所以在上单调递增,所以,①当,即时,,所以,即在上单调递增,所以,所以当时,;②当,即时,,又,因为,所以,所以,因为,且的图象在上连续不间断,所以存在,使得,因为当时,,即,所以在上单调递减,所以,这与在上恒成立矛盾,所以不合题意,舍去.综上所述,的取值范围是.江苏省南通市2022-2023学年高二下学期期末数学试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为,,所以,.故选:C.2.若复数,则()A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗因为复数,所以,所以,故选:B.3.从5件不同的礼物中选出3件分别送给3名同学,则不同的送法共有()A.240种 B.125种 C.120种 D.60种〖答案〗D〖解析〗由题意可知,故选:D.4.若一组数据1,1,,4,5,5,6,7的25百分位数是2,则()A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗这组数据为:1,1,,4,5,5,6,7,因为,所以这组数据的25%分位数为从小到大的顺序的第2个数和第3个数的平均数,因此,这组数据的25%分位数为,所以.故选:C.5.已知P是所在平面外一点,M是BC的中点,若,则()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如下图所示:因为为的中点,则,所以,,又因为,且、、不共面,则,,故,,故选:A.6.若,则()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为,所以,,所以.故选:D.7.已知圆台的上、下底面半径分别为和,用一个平行于底面的平面去截圆台,截得上、下两部分的体积之比为,则截面半径为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆台上、下底面圆的圆心分别为、,将圆台还原为圆锥,设圆锥的顶点为S,设截面圆的圆心为,设圆、圆、圆的半径分别为、、,则,,设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、,因为,则,所以,,设圆台的体积为,即,所以,,由题意可知,圆台的体积为,所以,,所以,,又因为,则,因此,.故选:A.8.已知函数若函数有五个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当时,则,此时,则或,当时,则,此时,则,故问题转为,共有四个零点,画出函数图象如下可知:则,故选:D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知,则()A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗令.对于A选项,,A错;对于B选项,的展开式通项为,令,可得,则,B对;对于C选项,,C对;对于D选项,,所以,,D错.故选:BC.10.已知正方体,则()A.平面平面 B.平面C.与所成角为 D.与平面所成角为〖答案〗ABC〖解析〗对于A,,,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面;同理可得:平面;,平面,平面平面,A正确;对于B,四边形为正方形,;平面,平面,;,平面,平面,又平面,;同理可得:;,平面,平面,B正确;对于C,连接,,,四边形为平行四边形,,(或其补角)即为异面直线与所成角,,为等边三角形,,与所成角为,C正确;对于D,平面,与平面所成角为,设正方体的棱长为,则,,,即与平面所成角不是,D错误.故选:ABC.11.已知是定义在上的奇函数,,当时,,则()A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗函数是定义在上的奇函数,由,得,所以函数是周期为4的周期函数,所以,故A错误;由,故B正确;因为,,所以,故C正确;当时,,所以当时,,所以,此时,所以当时,.当时,,所以,此时,综上所述,函数在一个周期内,即时,,而,所以,故D正确.故选:BCD.12.某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果,甲地块产出苹果中一级果个数占75%,乙地块产出苹果中一级果个数占60%,丙地块产出苹果中一级果个数占80%.已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2:5:3,现将三个地块产出的苹果混放一堆,则下列说法正确的是()A.任取一个苹果是甲地块产出的概率为0.2B.任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为0.75C.任取一个苹果是一级果的概率为0.69D.如果取到的一个苹果是一级果,则其是由甲地块产出的概率为〖答案〗ACD〖解析〗已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2:5:3,可设甲、乙、丙地块产出的苹果个数分别为:,现将三个地块产出的苹果混放一堆,对于A,则任取一个苹果是甲地块产出的概率为,故A正确;对于B,由于甲地块产出苹果中一级果个数占75%,所以甲地块产出苹果中一级果个数为,则任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为,故B错误;对于C,由于甲地块产出苹果中一级果个数,乙地块产出苹果中一级果个数为,丙地块产出苹果中一级果个数为,所以三块地总共产出一级果个数为:,所以任取一个苹果是一级果的概率为,故C正确;对于D,由条件概率可知,如果取到的一个苹果是一级果,则其是由甲地块产出的概率为,故D正确;故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13如果随机变量,且,则________.〖答案〗0.8〖解析〗因为,所以,因为该正态分布曲线关于对称,所以,故〖答案〗为:.14.已知向量,,若,则实数________.〖答案〗〖解析〗,又,,解得:.故〖答案〗为:.15.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长分别为4和,其所有面都与同一个球相切,则该球的表面积为________.〖答案〗〖解析〗如图,取底边中点为,则,,所以在等腰中,,,由于正四棱锥的所有面都与同一个球相切,则该球为其内切球,设内切球的半径为,则由等体积法可得,即,故球的表面积为,故〖答案〗为:.16.已知直线与曲线和都相切,请写出符合条件的两条直线的方程:________,________.〖答案〗〖解析〗,,设直线与曲线和相切于点,则所以切线方程分别为,因此则,又,将代入可得或,解得或,将其代入中,因此当时,切线方程为,当时,切线方程为,故〖答案〗为:,.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.有8个相同的小球,上面分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,“从中任取一个小球,球的数字是奇数”记为事件A,“从中任取一个小球,球的数字是3的倍数”记为事件B.(1)试判断A,B是否为相互独立事件,并说明理由;(2)求.解:(1)解法一:,,.若A发生,则B发生的概率为;若A不发生,则B发生的概率为;可见,事件A发生与否不影响事件B发生的概率,因此,A,B为相互独立事件.解法二:,,,.所以,,,即.因此,A,B为相互独立事件.(2)解法一:由概率性质得.解法二:,,,.所以.18.如图,在正三棱柱中,D为的中点.(1)求证:;(2)若,,求点B到平面的距离.(1)证明:在正三棱柱中,平面,因为平面,所以;在正三角形中,,D为中点,所以;又因为,平面,所以平面;因为平面,所以.(2)解:连接,交于点O,在正三棱柱中,侧面为平行四边形,所以O为的中点,所以B到平面的距离等于到平面的距离;设到平面的距离为,因为,,所以正三角形的边长为,所以,的面积为,所以三棱锥的体积.又,在中,,,所以,所以,从而,即.所以点B到平面的距离为.19.已知函数,.(1)若,解关于的不等式;(2)若函数的最小值为-4,求m的值.解:(1)时,由得,,,因为,所以,解得,所以原不等式的解集为.(2)因为,令,因为,所以,(当且仅当时取得等号)则,,①当,即时,在上单调递增,当,即时,,所以,解得,符合题意;②当,即时,在上单调递减,在上单调递增,当,,所以,解得,不合题意,舍去.综上,的值为-3.20.“使用动物做医学实验是正确的,这样做能够挽救人的生命”.一机构为了解成年人对这种说法的态度(态度分为同意和不同意),在某市随机调查了200位成年人,得到如下数据:男性女性合计同意7050120不同意305080合计10010020

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