辽宁省普通高中2020届高三上学期学业水平测试数学试卷及参考答案

实用文档数学(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟)注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。参考公式：球的表面积公式（其中R为球的半径）。一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合QUOTE，QUOTE，则QUOTE(

)A.

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE

2.已知命题QUOTEQUOTE，那么是(

)A.QUOTE

B.C.QUOTE

D.

3.QUOTE是的(

)A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.函数的定义域为(

)A.

B.

C.QUOTE

D.5.甲,乙,丙三名学生随机站成一排,则甲站在中间的概率为(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE

6.如果,那么下列不等式一定成立的是(

)A.

B.

C.QUOTE

D.

7.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三人中,抽取35QUOTE人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为13人,则QUOTE等于(

)A.660QUOTE

B.720

C.780

D.800QUOTE

8.已知QUOTE,是第三象限的角,则QUOTE的值为(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.

D.QUOTE

9.函数QUOTE的零点个数为(

)A.0

B.1

C.2

D.3

10.设QUOTE是QUOTE边QUOTE的中点，若,则QUOTE的值为(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE1

D.2

11.如果棱长为QUOTE的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE

12.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好(

)

A.指数函数:

B.对数函数:

C.幂函数:

D.二次函数:

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。13.计算:QUOTE

=.14.已知向量QUOTEQUOTE，则=QUOTE.15.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则=.

16.设为正数，则QUOTE的最小值为.

三、解答题：本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)

已知向量（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的值.18.(本小题满分10分)

在中,角的对边分别为，且，.（Ⅰ）求角的大小;（Ⅱ）若,求.19.(本小题满分10分)如图，在四棱锥中，QUOTE平面QUOTE，底面是正方形，QUOTE与QUOTE交于点QUOTE，为QUOTE的中点.（Ⅰ）求证：∥平面QUOTE;（Ⅱ）求证：QUOTE.20.(本小题满分10分)

某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图).已知上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),

[60,80),

[80,100].

（Ⅰ）求直方图中的值;（Ⅱ）如果上学所需时间在

[60,100]的学生可申请在学校住宿,请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿.21.(本小题满分12分)如图,某市拟在长为8

的道路的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段,该曲线段为函数,的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段.为保证参赛运动员的安全,限定.（Ⅰ）求点的坐标;（Ⅱ）应如何设计,才能使折线段赛道最长?

数学（三）答案一、选择题BCACBDBABCDA二、填空题13.114.215.16.9三、解答题17.解：（Ⅰ）因为，所以，所以.…………5分（Ⅱ）因为，所以，所以，解得.………………10分18.解：（Ⅰ）因为QUOTEc-2bsin

C=0,

所以QUOTEsin

C-2sin

Bsin

C=0.

因为0<C<π,所以sin

C≠0,

所以sin

B=QUOTE.

因为0<B<π,且a>b>c,所以B=QUOTE.…………5分

（Ⅱ）因为b=QUOTE,a=2,

所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos

B,

得(QUOTE)2=c2+4-2c×2×QUOTE,即c2-2c+1=0.

所以c=1.…………10分

19.（Ⅰ）证明：∵QUOTE，QUOTE点分别是QUOTE，QUOTE中点，

∴QUOTE，

∵QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，

∴EO∥平面QUOTE.…………5分（Ⅱ）证明：∵四边形QUOTE是正方形，

∴QUOTE，

又∵QUOTE底面QUOTE，QUOTE底面QUOTE，

∴QUOTE，

∵QUOTE，QUOTE，QUOTE平面QUOTE，

∴QUOTE平面QUOTE，

∵平面QUOTE，

∴QUOTE.…………10分20.解：（Ⅰ）由直方图可得到20+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1.

所以=0.012

5.…………5分

（Ⅱ）由直方图可知,新生上学所需时间在

[60,100]的频率为0.003×2×20=0.12.

所以估计全校新生上学所需时间在

[60,100]的概率为0.12.因为800×0.12=96.所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿.…………10分

21.解：（Ⅰ）由题意知A=2QUOTE,QUOTE=3,

∵T=QUOTE,∴ω=QUOTE,∴y=2QUOTEsinQUOTEx.

当x=4时,y=2QUOTEsinQUOTE=3,∴M(4,3).…………6分（Ⅱ）连接MP,如图所示.又∵P(8,0),∴MP=QUOTE=5.解法一:在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5.

设∠PMN=θ,则0°<θ<60°,∵QUOTE.

∴NP=QUOTEsinθ,MN=QUOTEsin(60°-θ).

∴NP+MN=QUOTEsinθ+QUOTEsin(60°-θ)

=QUOTEsin(θ+60°).

∵0°<θ<60°,∴60°<θ+60°<120°,

∴5<QUOTEsin(θ+60°)QUOTE.

∴当θ=30°时,折线段赛道MNP最长.

所以将∠PMN设计为30°时,折线段赛道MNP最长.……