4.1 滤波器基础+典型模拟滤波器设计

——数字滤波器基础与典型模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器的设计)内容纲目1.数字滤波器基础数字滤波器基础与典型模拟滤波器设计SHUZILVBOQIJICHUYUDIANXINGMONILVBOQISHEJI2.典型模拟滤波器设计内容纲目1.滤波器基本概念3.数字滤波器常用指标★4.数字滤波器设计方法简介2.数字滤波器原理数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU基本概念滤波器定义能改变信号中频率分量比例的系统、模块或软件称作滤波器。数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU基本概念数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU

输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件或算法。数字滤波器基本概念数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU数字滤波举例基本概念数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU数字滤波举例滤波器分类按照实现结构或单位取样响应分类按照滤波器的通带位置分类按照信号与噪声的频谱位置分类经典滤波器、现代滤波器根据滤波器对信号的处理作用分类选频滤波器和其他滤波器滤波器可用于波形成型、噪声信号分离和信道均衡等。低通、高通、带通和带阻滤波器FIR滤波器、IIR滤波器数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU基本概念滤波器分类数字滤波器基础常用于有用信号和噪声信号各自占用不同频段，至少主要能量在同一频带内不重叠时的信号分离。在信号和噪声频谱重叠的情况下,根据有用信号或噪声的统计特性，设计匹配滤波器，最大限度的分离出有用信号。如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等。相对位置决定滤除方法或滤波器种类的选择经典滤波器现代滤波器按照信号与噪声的频谱位置分类数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU基本概念滤波器分类按照滤波器的功能分类（经典滤波器）低通滤波器(LowPass-LP)高通滤波器(HighPass-HP)带通滤波器(BandPass-BP)带阻滤波器(BandStop-BS)

数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU基本概念滤波器分类按照实现结构或单位取样响应分类有限脉冲响应滤波器FiniteImpulseResponse（FIR）——h(n)为有限长序列M阶FIR滤波器N阶IIR滤波器无限脉冲响应滤波器InFiniteImpulseResponse（IIR）——h(n)为无限长序列数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU基本概念数字滤波原理

频域滤波原理时域滤波原理例:解：若把v(n)和u(n)中的一个看作有效信号,另一个看作干扰信号,则

x(n)

就是有效信号和干扰信号的叠加。数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU时域滤波原理v(n)得到加强

u(n)被滤除数字滤波器基础时域运算实现滤波f1=250,f2=50,Fs=1000数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU数字滤波原理滤波技术指标理想低通滤波器通频带阻止带数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU理想低通滤波器通频带阻止带非因果非稳定系统阻带内信号被完全拒止的系统做不出来滤波技术指标滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度通带阻带过渡带通带边界频率阻带边界频率实际滤波器通阻带特点理想滤波器通阻带特点数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU滤波技术指标线性比例衰减指标通带阻带过渡带通带边界频率阻带边界频率通带最大衰减阻带最小衰减对数比例衰减指标数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU滤波技术指标3dB通带截止频率设计一滤波器需要确定滤波器的哪些技术指标呢？通带截止频率通带最大衰减阻带的最小衰减阻带的截止频率ABCD提交多选题1分通带阻带过渡带通带边界频率阻带边界频率实际滤波器通阻带特点理想滤波器通阻带特点数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU课前回顾线性比例衰减指标通带阻带过渡带通带边界频率阻带边界频率通带最大衰减阻带最小衰减对数比例衰减指标数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU课前回顾3dB通带截止频率设计方法简介数字滤波器设计实现步骤

按照实际任务，确定滤波器性能指标;确定一个可实现的系统函数H(z)来逼近所需要的频率响应；实现所设计的H(z)。数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHUIIR滤波器设计方法以模拟滤波器函数为基础的变换方法。在原型滤波器基础上先设计一个满足指标要求的模拟滤波器，再将模拟滤波器系统函数Ha(s)变换为数字滤波器的系统函数H(z)。（有很多成熟原型滤波器设计结论可用）零极点累试法：

根据零极点对滤波器频率响应的影响，在Z平面上通过直接添加零极点和调整零极点位置的方法设计数字滤波器。（需要多次反复尝试）数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU设计方法简介IIR滤波器设计方法FIR滤波器设计方法最优化设计法

概略地构造一个描述滤波器系统的差分方程，在一定的最小误差准则下通过不断调整输入输出加权系数，使该系统的性能逼近所要求的性能。最小误差准则设定后，加权系数的调整均需借助计算机完成。窗函数法：对理想滤波器单位脉冲响应进行时域截取频率取样法：对所期望滤波器频率响应在频域直接逼近最优化的设计方法：计算机辅助设计数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU设计方法简介(1)在相同的技术指标下，IIR滤波器由于存在着输出对输入的反馈，所以可用比FIR滤波器较少的阶数来满足指标的要求，所用的存储单元少，运算次数少，较为经济。(2)FIR滤波器可得到严格的线性相位，而IIR滤波器做不到这一点，IIR滤波器的选择性愈好，其相位的非线性愈严重。因而，如果IIR滤波器要得到线性相位，又要满足幅度滤波的技术要求，必须加全通网络进行相位校正，这同样会大大增加滤波器的阶数。从这一点上看，FIR滤波器又优于IIR滤波器。(3)FIR滤波器主要采用非递归结构，因而无论是从理论上还是从实际的有限精度的运算方面，它都是稳定的，有限精度运算的误差也较小。IIR滤波器必须采用递归结构，极点必须在z平面单位圆内才能稳定，对于这种结构，运算中的四舍五入处理有时会引起寄生振荡。(4)从设计工具看，IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。IIR与FIR数字滤波器的比较(1)在满足相同设计指标情况下，FIRDF的阶数约等于5-10倍IIRDF的阶数(2)FIRDF能够得到严格线性相位；IIRDF具有良好的幅度特性，但相位特性是非线性的(3)FIRDF采取非递归结构，稳定，误差小；IIRDF采取递归结构，可能引起振荡IIRVSFIRIIR滤波器FIR滤波器h(n)无限长h(n)有限长极点位于z平面任意位置滤波器阶次低非线性相位递归结构不能用FFT计算可用模拟滤波器设计用于设计规格化的选频滤波器极点固定在原点滤波器阶次高得多可严格的线性相位一般采用非递归结构可用FFT计算设计借助于计算机可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器窗函数设计法等波纹逼近法频率采样法窗函数设计法IIR滤波器脉冲响应不变法双线性变换法数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU设计方法简介FIR滤波器内容纲目1.数字滤波器基础数字滤波器基础与典型模拟滤波器设计SHUZILVBOQIJICHUYUDIANXINGMONILVBOQISHEJI2.典型模拟滤波器设计★以模拟滤波器函数为基础的变换方法。在原型滤波器基础上先设计一个满足指标要求的模拟滤波器，再将得到的模拟滤波器系统函数Ha(s)变换为数字滤波器的系统函数H(z)。数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU设计方法简介数字滤波器基础SHUZILVBOQIJICHU设计方法简介拉氏变换与Z变换的关系首先讨论序列的Z变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换的关系。设连续信号为xa(t)，理想抽样后的抽样信号为，它们的拉普拉斯变换分别为:将，代入可得抽样序列x(n)=xa(nT)的Z变换为

对比可以看出，当z=esT时，抽样序列的Z变换就等于其理想抽样信号的拉普拉斯变换：这说明，从理想抽样信号的拉普拉斯变换到抽样序列的Z变换，就是由复变量S平面到复变量Z平面的映射，其映射关系为:标准变换下面来讨论这一映射关系。将S平面用直角坐标表示为：s=σ+jΩ而Z平面用极坐标表示：z=re

jω将它们代入式中，得到rejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT因此:r=eσTω=ΩT

显然，z的模r对应于s的实部σ，z的相角ω对应于s的虚部Ω。

先讨论s的实轴σ与z的模r的关系，

σ=0（S平面虚轴）r=1（Z平面单位圆上）

σ<0（S的左半平面）r<1（Z平面单位圆内部）

σ>0（S的右半平面）r>1(Z平面单位圆外部）再讨论s的虚轴Ω与Z的相角ω的关系式

Ω=0（S平面的实轴）ω=0（Z平面正实轴）

Ω由-π/T增至0→ω由-π增至0

Ω由0增至π/T→

ω由0增至πω=ΩT

r=eσTs平面

z=r

e

j

r

Re[z]Re[s]j

Im[z]j

Im[s]虚轴(

=0)←→

单位圆(r=1)右半平面(

>0)←→单位圆外(r>1)Z平面多值映射左半平面(

<0)←→单位圆内(r<1)re

j

=e

Tej

Ts=

+j

z=esT系统因果稳定，所有极点应位于s平面的左半平面

有了S平面到Z平面的映射关系，就可以进一步通过理想抽样所提供的桥梁，找到连续信号xa(t)本身的拉普拉斯变换Xa(s)与抽样序列x(n)的Z变换X(z)之间的关系。则由理想抽样定理知：将此式代入到X(z)，即得X(z)与Xa(s)的关系：【例】设一平方幅度函数|H(j

)|2的零极点已确定，其分布如图所示，试求其系统函数Ha(s)。图中极点p2与p3共轭成对、p1与p4共轭成对；p5与p6为实数；p1与p3、p2与p4、p5与p6分别关于原点对称。零点之间也有相应的对应关系。解：为了得到稳定的系统，将S平面左半平面的极点p2、p3与p6全部作为Ha(s)的极点（保证系统因果稳定），p1、p4与p5作为Ha(﹣s)的极点。选z2、z3与z5作Ha(s)的零点，得：K为增益调节常数。z1、z4与z6选作Ha(-s)的零点，如此构造的Ha(s)与Ha(-s)的零(极)点之间满足原点对称关系。【例】已知一滤波器的幅度平方函数|H(j

)|2，试确定该滤波器的系统函数Ha(s)。解：1)根据进行变量代换得：2)求Ha(s)Ha(-s)中所有的零极点，Ha(s)Ha(-s)的极点为：p1=5,p2=-5,p3=4,p4=-4Ha(s)Ha(-s)的零点为：z1,2=7j,z3,4=-7j3)为Ha(s)分配零极点。令S平面左半平面极点作为Ha(s)的极点，p2=-5,p4=-4。选取互为共轭的一对z1和z3作为Ha(s)的零点，有：4)确定增益调节常数K。若要求s=0处或直流分量处，Ha(s)和Ha(-s)平分系统增益，则K=6；若要求s=0处，Ha(s)增益为1，则K=20/49，Ha(-s)的增益则为36

49/20。几种常用模拟滤波器（原型滤波器）巴特沃兹(Butterworth)滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器贝塞尔(Bessel)滤波器椭圆(Ellipse)滤波器巴特沃兹(Butterworth)滤波器：滤波器具有单调下降的幅频特性。几种常用模拟滤波器（原型滤波器）

切比雪夫(Chebyshev)滤波器：幅频特性在通带或者在阻带有波动，

可以提高选择性。

椭圆（Elliptic）滤波器在通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性。由于其极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，由此取名为椭圆滤波器。五种类型模拟滤波器的比较

前四种（巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和椭圆滤波器）是主要考虑逼近幅度响应指标的滤波器，第五种（贝塞尔滤波器）是主要考虑逼近线性相位特性的滤波器。几种常用模拟滤波器（原型滤波器）巴特沃兹(Butterworth)滤波器：滤波器具有单调下降的幅频特性。切比雪夫(Chebyshev)滤波器：幅频特性在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性。贝塞尔(Bessel)滤波器：通带内有较好的线性相位特性。椭圆(Ellipse)滤波器：选择性相对前三种是最好的，但在通带和阻带内均为等波纹幅频特性，阶数相对最低，性价比最高。幅频响应的特点|

Ha(j

)|单调下降；阶次

N

越高，特性越接近矩形；BWF幅度特性N=8N=4N=2|

Ha(j

)|2在

=

0

点的1至2N-1阶导数都为零，称为最大平坦性；任意阶次

N

下都有

|

Ha(j

c)|

=

0.707。巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯滤波器模拟低通滤波器的设计指标有：αp,Ωp,αs、Ωs和Ωc。对于单调下降的幅度特性，有半功率截止频率典型模拟滤波器设计DIXIANGMONILVBOQISHEJI巴特沃斯低通滤波器设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数巴特沃斯低通滤波器传输函数Ha(s)必须是因果稳定，因此极点必须落在S平面的左半平面，相应的Ha(-s)的极点落在右半平面.典型模拟滤波器设计DIXIANGMONILVBOQISHEJI巴特沃斯滤波器巴特沃斯低通滤波器设计方法由幅度平方函数确定系统函数系统函数

Ha(s)

没有零点

Ha(s)

·

Ha(-s)

的极点为k=0,1,2,…,2N-1巴特沃斯圆553由幅度平方函数确定系统函数(1)

Ha(s)

·

Ha(-s)

的极点等间隔

(角度间隔

/

N

)

地分布在以

|

s

|

=

c

为半径的圆周上，这个圆称为巴特沃斯圆。(2)Ha(s)

·

Ha(-s)

在虚轴上没有极点。(3)极点在

s

平面上象限对称。N

为奇数时，实轴上有极点，N

为偶数时，实轴上没有极点。k=0,2,…,2N-1k=0,1,2,…,N-1巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数巴特沃斯低通滤波器传输函数典型模拟滤波器设计DIXIANGMONILVBOQISHEJI巴特沃斯滤波器巴特沃斯低通滤波器设计方法归一化极点Ha(p)N=3N向上取整由此确定的半功率截止频率在对应带内通常有冗余低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，求出滤波器的阶数N和Ωc。求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。进一步由Ha(s)得到H(z)已知设计指标αp,Ωp,αs、ΩsΩc与N待求典型模拟滤波器设计DIXIANGMONILVBOQISHEJI巴特沃斯滤波器巴特沃斯低通滤波器设计方法归一化频率典型模拟滤波器设计DIXIANGMONILVBOQISHEJI巴特沃斯滤波器巴特沃斯低通滤波器设计方法例：已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361典型模拟滤波器设计DIXIANGMONILVBOQISHEJI巴特沃斯滤波器巴特沃斯低通滤波器设计方法b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361典型模拟滤波器设计DIXIANGMONILVBOQISHEJI巴特沃斯滤波器巴特沃斯低通滤波器设计方法巴特沃斯低通滤波器设计方法典型模拟滤波器设计DIXIANGMONILVBOQISHEJI巴特沃斯滤波器已知N，查表便可得到很多结论，感谢历史上的巨人。阻带指标有富裕量通带指标有富裕量已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361典型模拟滤波器设计DIXIANGMONILVBOQISHEJI巴特沃斯滤波器巴特沃斯低通滤波器设计方法MATLAB实现[b,a]=butter(N,wc,'s')确定阶数为N，3-dB截频为wc(radian/s)的Butterworthfilter分子和分母多项式。's'表示模拟域。[N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')确定模拟Butterworthfilter的阶数N和3-dB截频wc。wc是由阻带参数确定的。's'表示模拟域。[z,p,k]=buttap(N)确定N阶归一化的Butterworthfilter的零点、极点和增益(gain)幅频特性方面,Butterworth与Bessel滤波器在整个频带(通带、过渡带、阻带内)幅频特性函数单调下降，Butterworth滤波器在通带显现出平坦特性，过渡带较窄；ChebyshevⅠ型和Ⅱ型拥有相同的过渡带，此过渡带比Butterworth的要窄，但是比椭圆滤波器要宽。通带内ChebyshevⅡ型的幅频特性与Butterworth几乎是完全一样的。Bessel滤波器的幅频最差，其过渡带宽是最宽的，且通带指标不满足要求。相频特性方面:Butterworth滤波器通带内具有近似的线性相位，Bessel滤波器较以上四种滤波器在更宽频带内拥有线性相位，但幅频特性要差得多。复杂性：相同性能指标下，Butterworth阶数最高，椭圆滤波器阶数最低，性价比最高。

模拟滤波器设计相同滤波器阶数，相同技术指标要求下：通带平坦性：Butterworth,ChebyshevⅡ过渡带窄：椭圆＞

ChebyshevⅠ,ChebyshevⅡ