2024版高考数学一轮总复习第5章平面向量复数第5节解三角形的实际应用教师用书

第五节解三角形的实际应用考试要求：能用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题．一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图(3))．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分方位角与方向角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图(4)，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图(4)，i为坡度)．坡度又称为坡比．5．解三角形应用题的步骤二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β. (√)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2. ((3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°. (×)(4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是0，π2. (2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东80° D．南偏西80°D解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.3．如图，设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为()A．2522m B．25C．502m D．503mC解析：在△ABC中，∠ABC＝30°，由正弦定理得ACsin30°＝ABsin45°，即5012＝AB4．如图，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得点A的仰角分别为60°，30°，则点A离地面的高度AB＝___________．32a解析：由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝3a，所以在Rt△ADB中，AB＝12AD＝35．如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在点C处测得塔顶A的仰角是45°，在点D处测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为_________．40m解析：设电视塔的高度为xm，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40m．考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为_________．805解析：由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°.由正弦定理得AC＝80sin150°sin15°＝在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°.由正弦定理CDsin∠CBD得BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝80×在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋43)＋1600×(8－43)＋2×1600×(6+2)×(6-2)×12＝1600×16＋1600×4解得AB＝805，故图中海洋蓝洞的口径为805.测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．考向2测量高度问题如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角．小王沿河岸向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.6002解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AMsin∠MCA＝ACsin∠AMC，即120022＝AC32，解得AC＝6006(m)．在△ACD中，因为tan∠DAC＝DCAC＝求解高度问题的基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．考向3测量角度问题如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．解：(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝23－2，BC＝4.根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC＝26.即AC的长为26nmile.(2)根据正弦定理得，sin∠CAB＝BC·sin∠ABCAC＝4×3测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．[提醒]方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．1．如图，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，且乙船正向北行驶．若甲船的速度是乙船的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．30°解析：设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3.由正弦定理，得ACBC＝sin120°sin∠BAC＝3，所以sin∠BAC＝12.因为0°<∠BAC<60°2．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖点P的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32-22×所以PB＝12×606-24＝30(6+2)，所以树的高度为PB·sin45°＝30(6+考点2解三角形的综合应用——综合性考向1与平面几何相结合(2022·临沂一模)在圆内接四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝2∠D，∠ACB＝π12，求△ACD面积的最大值．解：因为四边形ABCD是圆内接四边形，可得∠B＋∠D＝π.因为∠B＝2∠D，所以∠B＝2π3，∠D＝在△ABC中，因为∠ACB＝π12，所以∠BAC＝π－2π3由正弦定理得ACsinB＝BCsin∠BAC，所以AC＝BCsin在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD，即24＝AD2＋CD2－AD·CD≥2AD·CD－AD·CD＝AD·CD，当且仅当AD＝CD时，取等号，即AD·CD≤24，所以S△ACD＝12AD·CDsinD＝34AD·CD≤63，即△ACD面积的最大值为61．三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．2．几何计算问题要注意(1)根据已知的边角画出图形并在图中标示．(2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.考向2与三角函数相结合将函数f(x)＝sinx＋3cosx的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)(1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinπ3-Bcosπ6+B＝14，c＝gπ6，b解：(1)f(x)＝sinx＋3cosx＝2sinx+π3，f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到y＝2sinx+π6的图象，横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)得到y＝2sin2x+π6的图象，所以令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，解得－π3＋kπ≤x所以g(x)的单调递增区间为-π3+kπ，π(2)由(1)知，c＝gπ6＝2sin2×π因为sinπ3-Bcosπ6+B＝cos2π6+B＝1又因为B∈(0，π)，所以B＋π6∈π当cosπ6+B＝12时，B＋π6＝π3，B＝π6，此时由余弦定理可知，4＋a2－2×2×acosπ6＝12，解得所以S△ABC＝12×2×(3+11)×sinπ当cosπ6+B＝－12时，B＋π6＝2π3，B＝π2，此时由勾股定理可得，所以S△ABC＝12×2×22＝22综上，△ABC的面积为3+112或解三角形与三角恒等变换问题的注意点(1)熟练记忆正、余弦定理及其适用类型、三角形内角和定理．(2)熟练使用两角和与差的有关三角公式、同角三角函数的基本关系及诱导公式．1．(2022·株洲检测)如图所示，在四边形ABCD中，tan∠BAD＝－33，tan∠BAC＝32(1)求∠DAC的大小；(2)若DC＝2，求△ADC周长的最大值．解：(1)因为∠DAC＝∠BAD－∠BAC，且tan∠BAD＝－33，tan∠BAC＝32所以tan∠DAC＝tan(∠BAD－∠BAC)＝tan∠BAD-tan∠因为∠DAC∈(0，π)，所以∠DAC＝π3(2)由正弦定理得DCsin∠DAC＝ADsin∠所以AD＝433sin∠ACD，AC＝433所以△ADC的周长为2＋AD＋AC＝2＋433·(sin∠ACD＋sin∠ADC)＝2＋433sin∠ACD+sin2因为0<∠ACD<2π3，所以π6<∠ACD＋π6<5π6，所以所以△ADC的周长的最大值为2＋4×1＝6.2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cosB－bcosC＝0.(1)求角B的大小；(2)设函数f(x)＝2sinxcosxcosB－32cos2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x解：(1)因为(2a－c)cosB－bcosC＝0，所以2acosB－ccosB－bcosC＝0，由正弦定理得2sinAcosB－sinCcosB－cosC·sinB＝0，即2sinAcosB－sin(C＋B)＝0.因为C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sinA.所以sinA(2cosB－1)＝0.在△ABC中，sinA≠0，所以cosB＝12又因为B∈(0，π)，所以B＝π3(2)因为B＝π3，所以f(x)＝12sin2x－32cos2x＝令2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ＋5π12(k∈Z)，即当x＝kπ＋5π12(k∈Z)时，课时质量评价(三十)A组全考点巩固练1．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()A．6km B．2kmC．3km D．2kmA解析：如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以ACsin60°＝2sin45°，所以AC＝2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc等于(A．6 B．5C．4 D．3A解析：因为asinA－bsinB＝4csinC，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝b2+c2-a22bc＝b3．蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年(1621年)，为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB＝357米，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，∠ADB＝150°，则蜚英塔的高度CD是()A．30米 B．307米C．35米 D．357米C解析：设CD＝h，在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，所以AD＝CD＝h，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以BD＝3CD＝3h，在△ABD中，由余弦定理知，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，所以(357)2＝h2＋(3h)2－2h·3h-32，解得h＝所以蜚英塔的高度CD是35米．4．(多选题)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离126nmile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离83nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是()A．A处与D处之间的距离是24nmileB．灯塔C与D处之间的距离是16nmileC．灯塔C在D处的南偏西30°D．D在灯塔B的北偏西30°AC解析：由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝126，AC＝83，在△ABD中，由正弦定理得ADsinB＝ABsin∠ADB，所以AD＝126×2232＝24(nmile)，故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD＝AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD，即CD＝832+242-2×83×24×32＝85．(2023·菏泽模拟)如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为30m，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为45°，沿直线步行1min后在B点观察塔顶，仰角为30°，若∠ADB＝30°，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为()A．1m/s B．32C．22m/s D．1D解析：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，得AD＝CD＝30m，在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，可得BD＝CDtan30°＝30在△ADB中，∠ADB＝30°，由余弦定理可得：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝302＋(303)2－2×30×303cos30°＝900，则AB＝30m，所以他的步行速度为3060＝126．(2022·滨州二模)最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面c(c<b)米的C处看此树，离此树的水平距离为____________米时看A，B的视角最大．a-cb-c解析：过C作CD⊥AB则AB＝a－b，AD＝a－c，设∠BCD＝α，∠ACB＝β，CD＝x，在△BCD中，tanα＝BDCD＝b-cx，在△ACD中，tan(α＋β)＝ADCD＝a-cx，所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝a-cx-b-cx1+a-cx·b-cx＝7．(2023·聊城模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3BD＝BC与AD·AC＝0.(1)若b＝c，求A的值；(2)求B的最大值．解：(1)因为AD·AC＝0，所以AB+13BC·AC＝0，即23AB+13AC·AC＝0，所以因为b＝c，所以cosA＝－12因为0<A<π，所以A＝2π(2)因为AD·AC＝23AB+13AC·AC＝23bc·cosA+13b2＝0，所以b2＋c2－a2＋bcosB＝a2+c2-b22ac＝a2+因为0<B<π，所以B的最大值为π68．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c.若acosB＋bcosA＝2，sinA＋sinB＝2sinC且△ABC的面积为3.求角C的大小．解：∵acosB＋bcosA＝2，∴c＝2.又∵sinA＋sinB＝2sinC，∴a＋b＝2c＝4.∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab(1＋cosC)．∴ab＝61+∵12absinC＝3，∴3sinC即3sinC－cosC＝1，∴sinC-π6＝∵C∈(0，π)，∴C－π6∈-π6，5π6，∴C＝π3B组新高考培优练9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，△ABC为锐角三角形，且AB＝3，AC＝7，∠ABC＝60°.(1)求sin∠BAC的值；(2)求△BCD的面积．解：(1)在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝7，∠ABC＝60°，由正弦定理得sin∠ACB＝AB·sin∠ABC因为△ABC为锐角三角形，所以cos∠ACB＝714因为sin∠BAC＝sinπ-π3+∠ACB所以sin∠BAC＝sin∠ACB·cosπ3＋cos∠ACB·sinπ3＝321(2)因为AB∥CD，所以∠ACD＝∠BAC，所以sin∠ACD＝sin∠BAC＝217在Rt△ACD中，AD＝AC×sin∠ACD＝7×217＝3，所以CD＝因为S△BCD＝S△ACD，又S△ACD＝12AD×CD＝3，所以S△BCD＝310．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanB＋tanC＝3cos(1)求角A的大小；(2)若a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面积．解：(1)由tanB＋tanC＝3cosAcoscosC所以sinBcosC＋cosBsinC＝3cosA，所以sin(B＋C)＝3cosA，即sinA＝3cosA.又cosA显然不等于0，所以tanA＝3.因为A∈(0，π)，所以A＝π3(2)由(1)知A＝π3，又a＝4，b＋c＝5根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，所以16＝25－3bc，所以bc＝3，所以S＝12bcsinA＝12×3×3211．(2022·张家口二模)在△ABC中，cosB(3a－bsinC)＝bsinBcosC.(1)求B；(2)若c＝2a，△ABC的面积为233，求△解：(1)由cosB(3a－bsinC)＝bsinBcosC，得3acosB－bcosBsinC＝bsinBcosC，所以3acosB＝bsinBcosC＋bcosBsinC，即3acosB＝bsin(B＋C)，所以3acosB＝bsinA.由正弦定理，得3sinAcosB＝sinBsinA.又sinA≠0，所以3cosB＝sinB，即tanB＝3，0<B<π，所以B＝π3(2)由c＝2a，△ABC的面积为233，得S△ABC＝12acsinB＝12×a×2a×32＝233，解得a＝23由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得b2＝2332＋4332－2×2所以△ABC的周长为a＋b＋c＝233＋2＋433＝212．已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2sinx+π4·cos(1)求f(x)对称轴并写出f(x)如何变换得到函数g(x)＝2sin2x-π(2)△ABC的三内角A，B，C对的边分别为a，b，c，且fB2+π6＝23，a＋c解：(1)f(x)＝23sinxcosx＋2sinx+π4·cosx+π4＝3sin2＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x+π令2x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，解得x＝12kπ＋π6，可得函数