复合函数零点问题专题

复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设，，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为2、复合函数函数值计算的环节：求函数值遵照“由内到外”的次序，一层层求出函数值。例如：已知，计算解：3、已知函数值求自变量的环节：若已知函数值求的解，则遵照“由外到内”的次序，一层层拆解直到求出的值。例如：已知，，若，求解：令，则解得当，则当，则总而言之：由上例可得，要想求出的根，则需要先将视为整体，先求出的值，再求对应的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回想零点的定义：4、函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一种零点5、复合函数零点问题的特点：考虑有关的方程根的个数，在解这类问题时，要分为两层来分析，第一层是解有关的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一种被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数6、求解复合函数零点问题的技巧：（1）这类问题与函数图象结合较为紧密，在解决问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范畴，则先预计有关的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分派每个函数值被几个所对应，从而拟定的取值范畴，进而决定参数的范畴复合函数：二、典型例题例1：设定义域为的函数，若有关的方程由3个不同的解，则______例2：有关的方程的不相似实根的个数是（）A.3B.4C.5D.8例3：已知函数，有关的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范畴是．例4：已知定义在上的奇函数，当时，，则有关的方程的实数根个数为（）A.B.C.D.例5：若函数有极值点，且，则有关的方程的不同实根的个数是（）A．3B．4C．5D．6例6：已知函数，若方程恰有七个不相似的实根，则实数的取值范畴是（）A.B.C.D.例7：已知函数，若有关的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范畴是（）A.B.C.D.例8：已知函数，则下列有关函数的零点个数判断对的的是（）A.当时，有4个零点；当时，有1个零点B.当时，有3个零点；当时，有2个零点C.无论为什么值，都有2个零点D.无论为什么值，都有4个零点例9：已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有___________个例10：已知函数和在的图像以下，给出下列四个命题：（1）方程有且只有6个根（2）方程有且只有3个根（3）方程有且只有5个根（4）方程有且只有4个根则对的命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案例1：设定义域为的函数，若有关的方程由3个不同的解，则______思路：先作出的图像如图：观察可发现对于任意的，满足的的个数分别为2个（）和3个（），已知有3个解，从而可得必为的根，而另一根为或者是负数。因此，可解得：，因此答案：5例2：有关的方程的不相似实根的个数是（）A.3B.4C.5D.8思路：可将视为一种整体，即，则方程变为可解得：或，则只需作出的图像，然后统计与与的交点总数即可，共有5个答案：C例3：已知函数，有关的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范畴是．思路：所解方程可视为，故考虑作出的图像：，则的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有，因此，解得答案：例4：已知定义在上的奇函数，当时，，则有关的方程的实数根个数为（）A.B.C.D.思路：已知方程可解，得，只需统计与的交点个数即可。由奇函数可先做出的图像，时，，则的图像只需将的图像纵坐标缩为二分之一即可。正半轴图像完毕后可再运用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意拟定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5：若函数有极值点，且，则有关的方程的不同实根的个数是（）A．3B．4C．5D．6思路：由极值点可得：为①的两根，观察到方程①与构造完全相似，因此可得的两根为，其中，若，可判断出是极大值点，是极小值点。且，因此与有两个交点，而与有一种交点，累计3个；若，可判断出是极小值点，是极大值点。且，因此与有两个交点，而与有一种交点，累计3个。总而言之，共有3个交点答案：A例6：已知函数，若方程恰有七个不相似的实根，则实数的取值范畴是（）A.B.C.D.思路：考虑通过图像变换作出的图像（如图），由于最多只能解出2个，若要出七个根，则，因此，解得：答案：B例7：已知函数，若有关的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范畴是（）A.B.C.D.思路：，分析的图像方便于作图，时，，从而在单调递增，在单调递减，，且当，因此正半轴为水平渐近线；当时，，因此在单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则有关的方程中，，从而将问题转化为根分布问题，设，则的两根，设，则有，解得答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和核心点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而确保图像的精确。例8：已知函数，则下列有关函数的零点个数判断对的的是（）A.当时，有4个零点；当时，有1个零点B.当时，有3个零点；当时，有2个零点C.无论为什么值，都有2个零点D.无论为什么值，都有4个零点思路：所求函数的零点，即方程的解的个数，先作出的图像，直线为过定点的一条直线，但需要对的符号进行分类讨论。当时，图像如图所示，先拆外层可得，而有两个对应的，也有两个对应的，累计4个；当时，的图像如图所示，先拆外层可得，且只有一种满足的，因此共一种零点。结合选项，可判断出A对的答案：A例9：已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有___________个思路：先通过分析的性质方便于作图，，从而在单增，在单减，且，为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选用能对应较多的状况，由图像可得，当时，每个可对应3个。只需判断中，能在获得的值的个数即可，观察图像可得，当时，能够有2个，从而能够找到6个根，即最多的根的个数答案：6个例10：已知函数和在的图像以下，给出下列四个命题：（1）方程有且只有6个根（2）方程有且只有3个根（3）方程有且只有5个根（4）方程有且只有4个根则对的命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能获