C函数及其性质

第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数的极限与连续1第一章一、函数的概念二、函数的性质第一节函数及其性质三、建立函数关系举例

2元素a属于集合

M,记作元素a不属于集合M,记作一、函数的概念（一）

集合、区间与邻域：定义

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.3集合表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x

为有理数或无理数开区间闭区间4无限区间点a的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.半开区间点a的去心

邻域点a的左

邻域:右

邻域:5是B的子集

,或称B包含A,

集合之间的关系及运算定义

则称A若且则称A

与B

相等,例如,显然有下列关系:

,

,

若设有集合A、B，记作记作必有6定义

给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:A的余集直积特例:记作为平面上的全体点集.或7（二）函数的概念1.函数的定义

设x和y是两个变量,D是R的非空子集,任意变量y按照某个对应关系(如f)有唯一确定的实数与之对应(记作f(x))，则称y(=f(x))是定义在D上的函数.称为函数的值域.称x为自变量，称y为因变量，D称为函数y(=f(x))的定义域，数集f(D)=函数图形是点集:8(对应关系)(值域)(定义域)定义域:是指使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.对应关系的表示方法，即为函数的表示法，常用的方法有：表格法、图示法及公式法（解析法）

.确定函数的两要素：由定义可知，

两个函数只有它们的对应关系、定义域都相同时，才是同一个函数.9如绝对值函数定义域值域与函数g(x)=x,定义域D=R,值域f(D)=R,虽然定义域相同,但在x<0时对应关系不相同,所以,是两个不同的函数.但f(x)与则是同一个函数.在函数的解析法表示中,除一般的表达式外，还包括分段函数（后面详讲）、参数式函数和隐函数.102.基本初等函数及其图象:幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数以上函数称为基本初等函数.(注意:其他函数都不是)113.复合函数则任意

可得到一个以x为自变量、y为因变量

的函数,和合函数.的复称为中间变量.

是它的定义域,通过

变量y有确定的值

与之对应,记作的定义域为而该函数称为u

设函数

的定义域为且其值域12例如,

函数函数不能构成复合函数

.可定义复合注意：(1)

不是任意两个函数都可以复合成(2)复合函数还可以有两个以上函数的复合而成.=[0,1]复合函数,如函数13例如,可定义复合函数:14(1)会将几个函数复合成复合函数;

学习复合函数的要求:(2)分析复杂函数的构造并会将其分解.例1设函数求解15

例2

分别指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的.

(1)解该函数由(2)解该函数由(3)解该函数由复合而成.复合而成.复合而成.164.初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,

双曲函数与反双曲函数也是初等函数.175.分段函数如果一个函数在自变量不同的取值范围内用不同的式子来表示，这样的函数称为分段函数．注意：分段函数除个别外，一般不是初等函数．如：符号函数当x>0当x=0当x<0显然，符号函数不是初等函数.18例3已知分段函数求

及解函数无定义并写出f(x)定义域及值域

.f(x)定义域f(x)值域19例4求的反函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为20二、函数的性质设函数且有区间1.有界性使称使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界2.单调性为有界函数.在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界当时,称为I

上的称为I

上的单调增加函数;单调减少函数.213.奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦记22又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记234.周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为

周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x

为有理数,x为无理数.24

例5

讨论函数的特性.解

函数的定义域D=R(1)讨论有界性所以函数f(x)在R上是有界的；

(2)

讨论奇偶性

任意

任意25(3)

讨论单调性>0,所以函数f(x)在R上是单调增加函数.

任意所以函数f(x)在R上是奇函数;

26三、建立函数关系的实例

时，2728内容小结1.集合及其运算定义域对应关系3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构作业

P.8习题1.11.(3)(4);5.;6.(2)(4)(6)2.